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函数及其表示
一、温故知新夯实基础
1．函数与映射的概念
函数 映射
定义 建立在两个________到的一种确定的对应关系，使对于集合中的________一个数，在集合中都有________的数和它对应 建立在两个________到的一种确定的对应关系，使对于集合中的________元素，在集合中都有________的元素与之对应
记法 ， ：→
相等函数：如果两个函数的________和________完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．
【答案】非空数集　任意　唯一确定　非空集合　任意一个　唯一确定定义域　对应关系
2．求函数定义域的两种方法
方法一 解读 适合题型
直接法 构造使解析式有意义的不等式(组)求解 已知函数的具体表达式，求的定义域
方法二 解读 适合题型
转移法 若的定义域为，则解不等式即可求出的定义域 已知的定义域，求的定义域
若的定义域为，则求出在上的值域即得的定义域 已知的定义域，求的定义域
3．分段函数的定义和性质
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的________，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．
(1)分段函数的定义域是各段函数解析式中自变量的取值集合的________．
(2)分段函数的值域是各段函数值的________，它的最大值取各段最大值中最大的，最小值取各段最小值中最小的．
(3)分段函数的单调性，首先应该判断各段函数的单调性，若每一段函数单调性一致，再判断分界点处函数值的关系，若符合单调性定义，则该函数在整个定义域上单调递增或递减；若不符合，则必须分区间说明单调性．
【答案】对应关系并集　并集
二、典例剖析举一反三
考点一：函数的概念
1．已知函数的对应关系如下表所示，函数的图象是如图所示的曲线ABC，则的值为（ ）
x 1 2 3
2 3 0
A．3 B．0 C．1 D．2
【答案】D
【分析】根据图象可得，进而根据表格得.
【详解】由题图可知，由题表可知，故．
故选:D．
2．下列各组函数是同一函数的是（ ）
①与； ②与；
③与； ④与.
A．①② B．①③ C．②③④ D．①③④
【答案】C
【分析】利用两函数为同一函数则定义域和对应法则要相同，逐项分析即得
【详解】①与的定义域是，而，故这两个函数不是同一函数；
②与的定义域都是，，这两个函数的定义域相同，对应法则也相同，故这两个函数是同一函数；
③与的定义域是，并且，对应法则也相同，故这两个函数是同一函数；
④与的定义域都是，对应法则也相同，故这两个函数是同一函数，
综上所述，是同一函数的是②③④，
故选：C
3．下列四组函数中，表示相同函数的一组是（ ）
A．，
B．，
C． ，
D．，
【答案】C
【分析】根据相同函数的判断原则进行定义域的判断即可选出答案.
【详解】解：由题意得：
对于选项A：的定义域为，的定义域为，所以这两个函数的定义域不同，不表示相同的函数，故A错误；
对于选项B：的定义域为，的定义域为，所以这两个函数的定义域不同，不表示相同的函数，故B错误；
对于选项C：的定义域为，的定义域为，这两函数的定义域相同，且对应关系也相同，所以表示相同的函数，故C正确；
对于选项D：的定义域为，的定义域为或，所以这两个函数的定义域不同，不表示相同的函数，故D错误.
故选：C
考点二：函数的定义域与值域
1．函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题可得，即得.
【详解】由题意得，
解得，
即函数的定义域是.
故选：C.
2．，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由根式的性质求定义域得集合，由二次函数性质求值域得集合，应用集合交运算求结果.
【详解】由题设或，，
所以.
故选：A
3．已知函数，则定义域、值域分别是_________
【详解】要使函数有意义，则有，解得，
所以函数的定义域为．
因为，，
时，，或时，，
所以．
4．函数的定义域是___________
【答案】
【分析】由偶次根式和分式的基本要求可直接构造不等式组求得定义域.
【详解】由得：或，的定义域为.
故答案为：.
5．函数的定义域为___________.
【答案】
【分析】直接解不等式组求出定义域即可.
【详解】由题意知，，解得，则函数的定义域为.
故答案为：.
6．函数的定义域_____________
【答案】
【分析】由对数的真数大于零和二次根式的被开方数非负，列不等式组求解即可.
【详解】要使函数有意义，
需满足，即，解得
故函数定义域为
故答案为：
考点三：函数的解析式
1．已知函数，则函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用配凑法（换元法）计算可得.
【详解】解：方法一（配凑法）∵，
∴.
方法二（换元法）令，则，∴，
∴.
故选：A
（多选）2．若函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】由换元法求出，可判断C；分别令或可判断A，B；求出可判断D.
【详解】令，则，所以，则，故C错误；
，故A正确；，故B错误；
（且），故D正确．
故选：AD．
3．已知，若，则_____.
【答案】
【分析】令，解出，代入求即可．
【详解】令，解得，则
故答案为：
4．已知函数.求函数的解析式；
【答案】，．
【分析】用换元法求解．
【详解】设，则，，
所以，
所以，．
5．设是一次函数，且，求的解析式.
【答案】或
【分析】利用待定系数法及复合函数从内到外的处理的原则即可求解.
【详解】设，则
,
所以，解得或，
所以函数的解析式为或.
6．已知，求的解析式.
【答案】，.
【分析】用方程组的方法即可.
【详解】利用方程组法求解即可：
因为，
所以，
消去解得，
故答案为：，.
7．若对任意实数，均有，求.
【答案】.
【分析】利用方程组方法即可求解.
【详解】利用方程组法求解即可；
∵（1）
∴（2）
由得，
∴.
故答案为： .
8．已知，则的值域为______.
【答案】
【分析】先求出，再结合二次函数的性质即可得出值域.
【详解】解：令，则，所以，
所以，
故的解析式为，其值域为.
故答案为：.
9．函数的最小值为______，
【答案】 ## ##
【分析】令，则，代入已知函数，利用二次函数的单调性求出最小值以及最小值点即可．
【详解】令，则，所以．又在上是减函数，在上是增函数，所以当时，．故函数的最小值为，最小值点为．故答案为：；．
考点四：分段函数
1．函数,则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】D
【分析】先求，再求即可.
【详解】，
.
故选：D.
2．“”是函数“是定义在上的增函数”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】分段函数若在上单调递增，则要求每一段是增函数，且在临界点处“左低右高”.
【详解】若是定义在上的增函数，
则有，解得，
所以“”是函数“是定义在上的增函数”的充分必要条件.
故选：C.
3．若 ，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】根据分段函数的解析式，代入求值，可得答案.
【详解】由，可得，
故，
故选：C
4．已知函数，若，则（ ）
A． B．6 C． D．
【答案】D
【分析】分析函数的单调性，结合已知条件可得出关于的等式，求出的值，代值计算可得的值.
【详解】因为，所以，函数在和上均为增函数，
因为，所以，可得，
由题意可得，即，解得，合乎题意，
所以，.
故选：D.
5．已知函数，.
(1)求，，的值；
(2)若，求实数a的值.
【答案】(1)，，
(2)或
【分析】（1），代入直接计算，然后先求出再计算；
（2）按分段函数定义分类讨论解方程．
（1）
由题可得，
，
因为，
所以；
（2）
①当时，，
解得，不合题意，舍去；
②当时，，即，
解得或，
因为，，所以符合题意；
③当时， ，
解得，符合题意；
综合①②③知，当时，或．
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