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简谐运动的描述
知识点梳理
1.振幅
(1)定义：振动物体离开平衡位置的最大距离，用表示.
(2)单位：在国际单位制中，振幅的单位是米().
(3)物理意义：表示振动强弱的物理量，振幅的两倍表示的是做振动的物体运动范围的大小.
(4)振幅和位移的区别：
振幅 位移
物理意义 振幅是振动物体离开平衡位置的最大距离 位移是振动物体相对平衡位置的位移
特点 就某一简谐运动而言，振幅为一定值 位移时刻发生变化
标矢量 标量，振幅在数值上等于最大位移的绝对值 失量，其方向由平衡位置指向物体所处的位置
例1、如图所示，物体A和B用轻绳相连，挂在轻弹簧下静止不动，A的质量为m，B的质量为M，弹簧的劲度系数为k. 当连接A、B的绳突然断开后，物体A将在竖直方向上做简谐运动，则A振动的振幅为(　 　 )
A． B．　　
C． D．
2.周期
(1)全振动：一个完整的振动过程称为一次全振动.
不管以哪里作为开始研究的起点，完成一次全振动的时间总是相同的，
(2)周期：做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间，叫做振动的周期，用表示.
(3)单位：在国际单位制中，周期的单位是秒()
(4)物理意义：表示振动的快慢，周期越长表示物体振动得越慢，周期越短表示物体振动得
越快
(5)简谐运动的周期公式： （公式中为做简谐运动物体的质量，为做简谐运动物体受到的合外力跟位移大小的比例常数）
例2、一个做简谐运动的质点，先后以同样的速度通过相距10cm的A、B两点，历时0.5s，如图所示.过B点后再经过t=0.5s质点以大小相等、方向相反的速度再次通过B点，则质点振动的周期是( ).
A.0.5s B.1.0s C.2.0s D.4.0s
3.频率
(1)定义：单位时间内完成的全振动的次数，叫做振动的频率，用表示.常把物体在1内
完成的全振动次数叫做频率
(2)单位：在国际单位制中，频率的单位是赫兹()
(3)意义：频率是表示物体振动快慢的物理量.频率越大表示振动得越快，频率越小表示振动
得越慢，
(4)周期与频率的关系：
(5)固有频率和固有周期：振子获得能量后，物体开始振动.物体的振动频率，只是由振动系统本身的性质决定，与其他因素无关，其振动频率叫固有频率，振动周期也叫固有周期.
例3、质点沿x轴做简谐运动，平衡位置为坐标原点O,质点经过点(-5cm)和点(=5cm)时速度相同，所用时间= 0.2s,质点由回到点所用的最短时间= 0.4s,则该质点做简谐运动的频率为( )
A.1 Hz B.1.25 Hz C.2 Hz D.2.5 Hz
4.相位
(1)物理意义：在物理学上为描述周期性运动在各个时刻所处的不同状态而引入的量.
例如：两个用长度相同的悬线悬挂的小球，把它们拉起同样的角度同时放开，我们说它们的相位相同，如果两小球不同时释放，则后释放小球的相位落后于前一个小球的相位.通常利用相位来比较两振动物体的振动步调是同相还是反相，是相位超前还是相位滞后.如右图所示，甲为两个同相振动质点的振动图象，乙为两个反相振动质点的振动图象
(2)相位是一个角度，单位是弧度或度.
由于,故相位，所以相位的单位即角度的单位，应为“弧度()”.
5.简谐运动的表达式：
(1)式中表示振动质点相对于平衡位置的位移，表示振动的时间.
(2)表示振动质点偏离平衡位置的最大距离，即振幅.
(3)叫做简谐运动的圆频率，它也表示简谐运动物体振动的快慢. 与周期及频率的关系：，所以表达式也可写成：或.
(4)表示时，简谐运动质点所处的状态，称为初相位或初相.代表了简谐运动的质点在时刻处在一个运动周期中的哪个状态，所以代表简谐运动的相位.
(5)简谐运动的位移和时间的关系也可用余弦函数表示成：,注意同一振动用不同函数表示时相位不同，而且相位是随时间变化的量.
(6)相位每增加就意味着完成了一次全振动，
例4、一质点做简谐运动，从平衡位置运动到最远点需要周期，则从平衡位置走过该距离的一般所需要的时间为（ ）
A.周期 B.周期 C.周期 D.周期
例5、两个简谐运动分别为x1＝4asin(4πbt＋)，x2＝2asin(4πbt＋π)．求它们的振幅之比，各自的频率，以及它们的相位差．
二、技巧总结
1.测量弹簧振子周期的方法
弹簧振子的周期一般较小，测定其周期时，一般是用秒表测出振子完成次全振动所用的时间, 则. 值取大一些（如50）可以减小周期的测量误差.
2.计算振动物体通过的路程的方法
(1)对全振动的理解，应注意把握振动的五种特征：
①振动特征：一个完整的振动过程
②物理量特征：位移()、加速度()、速度()三者第一次同时与初始状态相同
③时间特征：历时一个周期
④路程特征：振幅的4倍
⑤相位特征：增加
(2)求振动物体在一段时间内通过路程的依据是：
①振动物体在一个周期内的路程一定为四个振幅.
②振动物体在半个周期内的路程一定为两个振幅.
③振动物体在T/4内的路程可能等于一个振幅，可能大于一个振幅，还可能小于一个振幅.只有当T/4的初时刻，振动物体在平衡位置或最大位移处，T/4内的路程才等于一个振幅.
计算路程的方法是：先判断所求的时间内有几个周期，再依据上述规律求路程
例6、如图所示，弹簧振子在B、C间振动，O为平衡位置，BO＝OC＝5 cm. 若振子从B到C的运动时间是1 s，则下列说法中正确的是(　 　)
A．振子从B经O到C完成一次全振动
B．振动周期是1 s，振幅是10 cm
C．经过两次全振动，振子通过的路程是20 cm
D．从B开始经过3 s，振子通过的路程是30 cm
3.简谐运动的周期性
简谐运动是一种周而复始的周期性的运动，按其周期性可作如下判断：
(1)若,则、两时刻振动物体在同一位置，运动情况相同.
(2)若,则、两时刻，描述运动的物理量(、、、)均大小相等，方向相反
(3)若或，则当时刻物体到达最大位移处时，时刻物体到达平衡位置；当时刻物体在平衡位置时，时刻到达最大位移处；若时刻物体在其他位置，时刻物体到达何处就要视具体情况而定.
例7、一质点在平衡位置附近做简谐运动，从它经过平衡位置起开始计时，经0.13s质点第一次通过点，再经0.1s第二次通过点，则质点振动周期的可能值为多大？
4.根据表达式画振动图象和根据图象写表达式
(1)根据表达式画振动图象
①根据找出振幅和振动周期
②令,找出初始时刻的位移(的正、负要有明确表示)；
③选好标度，做出正弦函数图象，
(2)根据图象写表达式
①从图象中找出振幅和周期,；
②根据时的位移求出初相,即；
③把、、代入表达式即可.（若图象为余弦或其他形式也可以用该方法求得，只不过不相同)
5.相位差
相位差是指两个相位之差.它反映了两个简谐运动的步调差异，若两振动：
(1)频率相同：
设两简谐运动A和B的振动方程分别为：,,它们的相位差为， 可见，其相位差恰好等于它们的初相之差，因为初相是确定的，所以频率相同的两个简谐运动有确定的相位差
若,则称B的相位比A的相位超前,或A的相位比B的相位落后； 若,则称B的相位比A的相位落后,或A的相位比B的相位超前.
①同相：相位差为零，一般的为.
②反相：相位差为，一般的为.
【注意】比较相位或计算相位差时，要用同种函数来表示振动方程，相位差的取值范围：.
(2)频率不同：
相位差,可见这种情况下相位差是不确定的.这种情况在高中阶段不作要求.
例8.两个简谐运动曲线如图所示，则有（ ）
A.A超前B B.A落后B
C.A超前B D.A落后B
三、针对训练
1.关于振幅的各种说法中，正确的是（ ）
A.振幅是振子离开平衡位置的最大距离 B.位移是矢量，振幅是标量，位移的大小等于振幅
C.振幅等于振子运动轨迹的长度 D.振幅越大，表示振动越强，周期越长
2.（多选）关于简谐运动的频率，下列说法正确的是（ ）
A.频率越高，振动质点运动的速度越大
B.频率越高，单位时间内速度的方向变化的次数越多
C.频率是50Hz时，1s内振动物体速度方向改变100次
D.弹簧振子的固有频率与物体通过平衡位置时的速度大小有关
3.有一个在光滑水平面内的弹簧振子，第一次用力把弹簧压缩x后释放让它振动，第二次把弹簧压缩2x后释放让它振动，则先后两次振动的周期之比和振幅之比分别为(　 　)
A．1∶1　1∶1 B．1∶1　1∶2 C．1∶4　1∶4 D．1∶2　1∶2
4.做简谐运动的物体，振动周期为2s，物体经过平衡位置时开始计时，那么t＝1.2s时，物体(　 　)
A．正在做加速运动，加速度的值正在增大 B．正在做减速运动，加速度的值正在减小
C．正在做减速运动，加速度的值正在增大 D．正在做加速运动，加速度的值正在减小
5.周期为2s的简谐运动，在半分钟内通过的路程是60cm，则在此时间内振子经过平衡位置的次数和振子的振幅分别为(　　)
A．15次，2cm　　　B．30次，1cm C．15次，1cm D．60次，2cm
6.某振子做简谐运动的表达式为x＝2sin(2πt＋)cm则该振子振动的振幅和周期为(　 　)
A．2cm　1s B．2cm　2π s C．1cm　 s D．以上全错
7.有一弹簧振子，振幅为0.8 cm，周期为0.5 s，初始时具有负方向的最大加速度，则它的振动方程是(　　)
A．x＝8×10－3sin(4πt＋) m B．x＝8×10－3sin(4πt－) m
C．x＝8×10－1sin(πt＋) m D．x＝8×10－1sin(t＋) m
8.一个做简谐运动的质点，它的振幅是4cm，频率是2.5Hz，该质点从平衡位置开始经过2.5s后，位移的大小和经过的路程为(　 　)
A．4cm、10cm B．4cm、100cm C．0、24cm D．0、100cm
9.（多选）关于水平放置的弹簧振子所做的简谐运动，下列说法正确的是(　 　)
A．位移的方向是由振子所在处指向平衡位置
B．加速度的方向总是由振子所在处指向平衡位置
C．经过半个周期振子经过的路程一定是振幅的2倍
D．若两时刻相差半个周期，弹簧在这两个时刻的形变量一定相等
E．经过半个周期，弹簧振子完成一次全振动
10.（多选）一振子沿x轴做简谐运动，平衡位置在坐标原点. t＝0时振子的位移为－0.1 m，t＝1 s 时位移为0.1 m，则(　　)
A．若振幅为0.1 m，振子的周期可能为s B．若振幅为0.1 m，振子的周期可能为s
C．若振幅为0.2 m，振子的周期可能为4 s D．若振幅为0.2 m，振子的周期可能为6 s
11.某弹簧振子沿x轴的简谐运动图象如图所示，下列描述正确的是(　　 )
A．t＝1 s时，振子的速度为零，加速度为负的最大值
B．t＝2 s时，振子的速度为负，加速度为正的最大值
C．t＝3 s时，振子的速度为负的最大值，加速度为零
D．t＝4 s时，振子的速度为正，加速度为负的最大值
12.一弹簧振子做简谐运动，周期为T（ ）
A．若t时刻和(t+△t)时刻振子运动速度大小相等、方向相反，则△t一定等于T/2的整数倍
B．若t时刻和(t+△t)时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，则△t一定等于T的整数倍
C．若△t=T/2,则在t时刻和(t+△t)时刻弹簧的长度一定相等
D．若△t=T,则在t时刻和(t+△t)时刻振子运动的加速度一定相等
13.（多选）一个弹簧振子的振幅是A，若在Δt的时间内物体运动的路程是s，则下列关系中可能正确的是(包括一定正确的)(　　)
A．Δt＝2T，s＝8A B．Δt＝，s＝2A C．Δt＝，s＝A D．Δt＝，s>A
14.（多选）物体在ab间做简谐运动，O为简谐运动的平衡位置，在振动过程中，物体从O第一次到M经历时间为0.3s，随后从M运动到b后又回到M所经历时间为0.2s，则该物体的振动频率为(　 　)
A．0.625Hz B．0.375Hz
C．1.875Hz D．2.375Hz
15.光滑的水平面上放有质量分别为m和m的两木块，下方木块与一劲度系数为k的弹簧相连，弹簧的另一端固定在墙上，如图所示．已知两木块之间的最大静摩擦力为f，为使这两个木块组成的系统能像一个整体一样地振动，系统的最大振幅为(　　 )
A． B． C． D．
16.一个弹簧振子在AB间做简谐运动，O是平衡位置以某时刻作为计时零点（t=0），经过1/4周期，振子具有正方向的最大加速度．那么以下几个振动图中哪一个正确地反映了振子的振动情况？（ ）
A． B． C． D．
17.（多选）弹簧振子以O点为平衡位置做简谐运动，从O点开始计时，振子第一次到达M点用了0.3s, 又经过0.2s第二次通过M点，则振子第三次通过M点还要经过的时间可能是( )
A. B. C.1.4 D.1.6
18.（多选）弹簧振子在时刻速度为,时刻速度也为，且方向相同，已知()小于周期T, 则() ()( )
A．可能大于四分之一周期 B．可能小于四分之一周期
C．一定小于二分之一周期 D．可能等于二分之一周期
19.根据如图所示的振动图象：
(1)算出下列时刻振子对平衡位置的位移．
①＝0.5 s；②＝1.5 s
(2)将位移随时间的变化规律写成x＝Asin(ωt＋φ)的形式并指出振动的初相位是多少？
20.一物体沿x轴做简谐运动，振幅为12cm，周期为2s.当t＝0时，位移为6cm，且向x轴正方向运动，求：
(1)初相位；
(2)＝0.5s时物体的位置．
20.弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C两点间做简谐运动，在t＝0时刻，振子从O、B间的P点以速度向B点运动；在t＝0.2 s时刻，振子速度第一次变为－；在t＝0.5 s时，振子速度第二次变为－.
(1)求弹簧振子的振动周期T；
(2)若B、C之间的距离为25 cm，求振子在4 s内通过的路程；
(3)若B、C之间的距离为25 cm，从沿正方向通过平衡位置开始计时，写出弹簧振子的位移表达式，并画出弹簧振子的振动图象。
答案
例题答案
例1.A 例2.C 例3.B 例4.D 例5. A1∶A2＝2∶1；频率都为2b，相位差为π.
例6.D 例7. 0.72s 和0.24s（分类讨论，一种在平衡位置同侧，一种在两侧）
例8.B
针对训练
1.A 2.BC 3.B 4.C 5.B 6.A 7.A 8.B 9.BCD 10.AD 11.A 12.D
13.ABCD 14.AC 15.C 16.D 17.AC 18.AB
19.(1)①5cm　②－5 cm (2)x＝10sincm　
20.(1)设简谐振动的表达式为x＝Asin(ωt＋φ)
A＝12cm，T＝2s，ω＝，t＝0时，x＝－6cm.
代入上式得，6＝12sin(0＋φ)
解得sinφ＝，φ＝或π
因这时物体向x轴正方向运动，故应取φ＝，即其初相为.
(2)由上述结果可得
x＝Asin(ωt＋φ)＝12sin[πt＋]cm
∴x＝12sin(＋)＝12sinπ＝6cm
20.(1)画出弹簧振子简谐运动示意图，如图所示。
由对称性可得T＝0.5×2 s＝1 s。
(2)若B、C之间距离为25 cm
则振幅A＝×25 cm＝12.5 cm
振子4 s内通过的路程
s＝×4×12.5 cm＝200 cm。
(3)根据x＝A sin ωt
A＝12.5 cm，ω＝＝2π rad/s
得x＝12.5sin (2πt)cm
振动图象如图所示。

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