资源简介

1.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系
判别式
Δ=b2-4ac
Δ>0
Δ=0
Δ<0
二次函数
y=ax2+bx
+c(a>0)的
图象
一元二次方程
ax2+bx+c=0
(a>0)的根
有两相异实根
x1,x2(x1有两相等实根
x1=x2=-
没有实数根
ax2+bx+c>0
(a>0)的解集
{x|xx>x2}
R
ax2+bx+c<0
(a>0)的解集
{x|x1三种基本逻辑结构
名称
内容
顺序结构
条件结构
循环结构
定义
由若干个依次执行的步骤组成,这是任何一个算法都离不开的基本结构
算法的流程根据条件是否成立有不同的流向,条件结构就是处理这种过程的结构
从某处开始,按照一定的条件反复执行某些步骤的情况,反复执行的步骤称为循环体
程序框图
2.不等式的基本性质
性质
性质内容
注意
对称性
a>bb传递性
a>b,b>ca>c
可加性
a>ba+c>b+c
可乘性
ac>bc
c的符号
ac同向可加性
a+c>b+d
同向同正
可乘性
ac>bd
可乘方性
a>b>0an>bn
(nN,n≥1)
a,b同为正数
可开方性
a>b>0
(nN,n≥2)
两条直线位置关系的判定
斜截式
一般式
直线
方程
y=k1x+b1
y=k2x+b2
A1x+B1y+C1=0
A2x+B2y+C2=0
相交
k1≠k2
A1B2-A2B1≠0
垂直
k1k2=-1
A1A2+B1B2=0
平行
k1=k2
且b1≠b2
或
重合
k1=k2
且b1=b2
或
事件的关系与运算
定义
符号表示
包含
关系
对于事件A与事件B,如果事件A发生,则事件B一定发生,这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)
BA
(或AB)
相等
关系
若BA且AB,那么称事件A与事件B相等
A=B
并事件
(和事件)
若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生,称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)
AB
(或A+B)
交事件(积事件)
若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生,则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)
AB
(或AB)
互斥
事件
若AB为不可能事件,那么称事件A与事件B互斥
AB=
对立
事件
若AB为不可能事件,AB为必然事件,那么称事件A与事件B互为对立事件
AB=且
AB=Ω
2.函数的最值
前提
一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足
条件
(1)对于任意的xI,都有
f(x)≤M;
(2)存在x0I,使得f(x0)=M.
(3)对于任意的xI,都有
f(x)≥M;
(4)存在x0I,使得f(x0)=M.
结论
M为最大值
M为最小值
单调函数的定义
增函数
减函数
定
义
一般地,设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1,x2
当x1当x1图象
描述
自左向右看图象是上
升的
自左向右看图象是下
降的
双曲线的标准方程及简单几何性质
标准方程
=1(a>0,b>0)
=1(a>0,b>0)
图形
性
质
范围
x≥a或x≤-a
y≥a或y≤-a
对称性
对称轴:x轴、y轴
对称中心:坐标原点
对称轴:x轴、y轴
对称中心:坐标原点
顶点
顶点坐标:
A1(-a,0),A2(a,0)
顶点坐标:
A1(0,-a),A2(0,a)
渐近线
离心率
e=f,e (1,+∞),其中c=
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|=2a;线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长|B1B2|=2b;a叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长
a、b、c间的关系
c2=a2+b2(c>a>0,c>b>0)
.合情推理
归纳推理
类比推理
定义
由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理
由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征推出另一类对象也具有这些特征的推理
特点
由部分到整体、由个别到一般的推理
由特殊到特殊的推理
一般
步骤
(1)通过观察个别情况发现某些相同性质;
(2)从已知的相同性质中推出一个明确的一般性命题(猜想)
(1)找出两类事物之间的相似性或一致性;
(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想)
共性
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后提出猜想的推理,我们把它们统称为合情推理
向量的线性运算
向量
运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算
交换律:
a+b=b+a;
结合律:
(a+b)+c=
a+(b+c)
减法
求a与b的相反向量-b的和的运算叫做a与b的差
a-b
=a+(-b)
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
|λa|=|λ||a|.
当λ>0时,λa的方向与a的方向相同;当λ<0时,λa的方向与a的方向相反;当λ=0时,λa=0
λ(μa)=
(λμ)a;
(λ+μ)a
=λa+μa;
λ(a+b)
=λa+λb
图象与性质
a>0
a<0
图象
定义域
R
R
值域
y∈
y∈
对称轴
x=-
顶点
坐标
奇偶性
b=0?y=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数
单调性
x∈时
是减函数;
x∈时
是增函数
x∈
时是增函数;
x∈
时是减函数
最值
当x=-时,
ymin=
当x=-时,
ymax=
2.基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f(x)=c(c为常数)
f'(x)=0
f(x)=xα(αQ*)
f'(x)=αxα-1
f(x)=sin x
f'(x)=cos x
f(x)=cos x
f'(x)=-sin x
f(x)=ax(a>0,且a≠1)
f'(x)=axln a
f(x)=ex
f'(x)=ex
f(x)=logax(a>0,且a≠1)
f'(x)=
f(x)=ln x
f'(x)=
奇函数、偶函数及其图象特征
奇函数
偶函数
定
义
一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,
都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)是奇函数,若在x=0处有定义,则有f(0)=0
都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)是偶函数
图象
特征
关于原点对称
关于y轴对称
对数的性质与运算
性质
①loga1=0,②logaa=1,
③=N(a>0且a≠1)
换底公式
logab= (a、c均大于0且不等于1,b>0)
运算性质
条件
a>0,且a≠1,M>0,N>0
结论
　　①loga(M·N)=logaM+logaN
②loga=logaM-logaN
③logaMn=nlogaM(nR)
常用幂函数的图象与性质
函数
特征
图象或性质
y=x
y=x2
y=x3
y=
y=x-1
图象
定义域
R
R
R
[0,+∞)
(-∞,0)
(0,+∞)
值域
R
[0,+∞)
R
[0,+∞)
(-∞,0)
(0,+∞)
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
增
x [0,+∞)
时,增
增
增
x (0,
+∞)时,减
x (-∞,0]
时,减
x (-∞,
0)时,减
特殊点
(1,1)
(0,0)
(-1,-1)
(1,1)
(0,0)
(-1,1)
(1,1)
(0,0)
(-1,-1)
(1,1)
(0,0)
(1,1)
(-1,-1)
常用简单曲线的极坐标方程
曲线
图形
极坐标方程
圆心在极点,半径为r的圆
ρ=r
圆心为(r,0),半径为r的圆
ρ=2rcos θ
圆心为,半径为r的圆
ρ=2rsin θ
(0≤θ<π)
过极点,倾斜角为α的直线
θ=α(ρR)
或θ=π+α(ρR)
过点(a,0),与极轴垂直的直线
ρcos θ=a
过点,与极轴平行的直线
ρsin θ=a
平面向量数量积的性质及其坐标表示
几何表示
坐标表示
模
|a|=
|a|=
数量积
a·b=|a||b|cos θ
a·b=x1x2+y1y2
夹角
cos θ=
cos θ=
ab的
充要条件
a·b=0
x1x2+y1y2=0
|a·b|与
|a||b|的
关系
|a·b|≤|a||b|
(当且仅当a∥b
时等号成立)
|x1x2+y1y2|
≤·
平面的基本性质及相关公(定)理
　　表示
公理、　 　
定理　　　
文字语言
图形语言
符号语言
公理1
如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内
lα
公理2
过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面
A、B、C三点
不共线有且
只有一个平
面α,使A
α,B
α,Cα
公理3
如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线
αβ=l,
且Pl
公理4
平行于同一条直线的两条直线互相平行
m∥n
两角相等
或互补
的定理
空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补
∠A=∠A'或
∠A+∠A'=π
抛物线的标准方程及其简单几何性质
标准
方程
y2=2px
(p>0)
y2=-2px
(p>0)
x2=2py
(p>0)
x2=-2py
(p>0)
图形
顶点
(0,0)
(0,0)
(0,0)
(0,0)
对称轴
x轴
x轴
y轴
y轴
焦点
离心率
e=1
e=1
e=1
e=1
准线



解析式
y=ax(a>0,且a≠1)
参数分类
0a>1
图象
图象特征
在x轴上方,过定点(0,1)
当x逐渐增大时,图象逐渐下降呈“捺”状
当x逐渐增大时,图象逐渐上升呈“撇”状
定义域
R
值域
(0,+∞)
单调性
递减
递增
函数
值变
化规律
当x=0时,y=1
当x<0时,y>1;
当x>0时,0当x<0时,0当x>0时,y>1

排列与排列数
组合与组合数
定义
排列:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
排列数:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数
组合:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
组合数:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数
公式
排列数公式
=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=
组合数公式==
=
性质
=n×(n-1)×(n-2)×…×3×2×1=n!;
0!=1
=1;
=;
+=
备注
n、m∈N*且m≤n
旋转体的表面积
名称
图形
表面积
侧面积
圆柱
S=2πr2+2πrl
=2πr(r+l)
S侧=2πrl
圆锥
S=πr2+πrl
=πr(r+l)
S侧=πrl
圆台
S=π(r'2+r2
+r'l+rl)
S侧=π(r+r')l
球
S=4πR2
样本的数字特征
数字
特征
定义
众数
在一组数据中,出现次数最多的数据叫做这组数据的众数.在频率分布直方图中,众数是最高的矩形的中点的横坐标
中位数
将一组数据按大小依次排列,把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数.
在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图的面积应该相等
平均数
如果有n个数x1,x2,…,xn,那么=(x1+x2+…+xn)叫做这n个数的平均数.在频率分布直方图中,平均数的估计值等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和
标准差
和方差
(1)标准差:是样本数据到平均数的一种平均距离,一般用s表示.
s=
(2)方差:
s2=
1.根式的概念
n次方根的概念及讨论
符号表示
备注
一般地,如果xn=a,那么x叫做a的n次方根
n>1且nN*
当n为奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数
零的n次
方根是零
当n为偶数时,正数的n次方根有两个,它们互为相反数
±(a>0)
负数没有
偶次方根
椭圆的标准方程及其简单几何性质
条件
2a>2c,a2=b2+c2,a>0,b>0,c>0
标准方
程及
图形
=1(a>b>0)
=1(a>b>0)
范围
|x|≤a;|y|≤b
|x|≤b;|y|≤a
对称性
曲线关于x轴、
y轴、原点对称
曲线关于x轴、
y轴、原点对称
顶点
长轴顶点(±a,0)
短轴顶点(0,±b)
长轴顶点(0,±a)
短轴顶点(±b,0)
焦点
(±c,0)
(0,±c)
焦距
|F1F2|=2c
离心率
e= (0,1)
正、余弦定理
定理
正弦定理
余弦定理
内容
===2R(其中R是△ABC外接圆半径)
a2=b2+c2-2bccos A;
b2=c2+a2-2cacos B;
c2=a2+b2-2abcos C
变形
形式
(1)a=2Rsin A,
b=2Rsin B,
c=2Rsin C;
(2)sin A=,sin B=,sin C=;
(3)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C;
(4)asin B=bsin A,bsin C=csin B,
asin C=csin A
cos A=;
cos B=;
cos C=
解决的问题
(1)已知两角和任一边,求另一角和其他两条边;
(2)已知两边和其中一边的对角,求另一边和其他两角
(1)已知三边,求各角;
(2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角;
(3)已知两边和其中一边的对角,求其他角和边
正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
函数
y=sin x
y=cos x
y=tan x
图象
定义域
R
R
值域
[-1,1]
[-1,1]
R
单调性
在
(kZ)上单调递增;
在
(kZ)上单调递减
在[2kπ-π,2kπ]
(kZ)上单调递增;
在[2kπ,2kπ+π]
(kZ)上单调递减
在
(kZ)上
单调递增
最值
x=时,
ymax=1;
x=2kπ- (kZ)时,
ymin=-1
x=时,
ymax=1;
x=2kπ+π(kZ)
时,ymin=-1
无最值
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
对称性
对称中心
对称中心
(kZ)
对称中心
(kZ)
对称轴l:
对称轴l:
x=kπ
(kZ)
周期
2π
2π
π
特殊向量
名称
定义
备注
零向量
长度为零的向量;其方向是任意的
记作0
单位
向量
长度等于1个单位的向量
非零向量a的单位向量为±
平行
(共线)
向量
方向相同或相反的非零向量
0与任一向量平行或共线
相等
向量
长度相等且方向相同的向量
两向量只有相等或不等,不能比较大小.两向量的模可以比较大小
相反
向量
长度相等且方向相反的向量
0的相反向量为0
直线方程的五种形式
名称
已知条件
方程
适用范围
点斜式
斜率k与点(x0,y0)
y-y0=k(x-x0)
不含直线x=x0
斜截式
斜率k与截距b
y=kx+b
不含垂直于x轴的直线
两点式
两点(x1,y1)、(x2,y2)
(其中x1x2、y1y2)
不含直线x=x1(x1=x2)和直线y=y1(y1=y2)
截距式
截距a与b
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式
Ax+By+C=0
(A、B不同时为0)
平面直角坐标系内的直线都适用
程序框图中图形符号的意义
图形符号
名称
功能
终端框(起止框)
表示一个算法
的起始和结束
输入、输出框
表示一个算法输入和输出的信息
处理框(执行框)
赋值、计算
判断框
判断某一条件是否成立,成立时在出口处标明“是”或“Y”;不成立时标明“否”或“N”
流程线
连接程序框
连接点
连接程序框图的两部分
空间中点、线、面之间的位置关系
直线与直线
直线与平面
平面与平面
平行关系
图形
语言
符号
语言
a∥b
a∥α
α∥β
交点
个数
0
0
0
相交关系
图形
语言
符号
语言
ab=A
aα=A
αβ=l
交点
个数
1
1
无数个
其他关系
图形
语言
符号
语言
a、b是异面直线
aα
交点
个数
0
无数个
4.空间向量的有关定理及推论
内容
共线
向量
定理
定理
对于空间任意两个向量a、b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使a=λb
推论
如图所示,l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线,对空间任意一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使
=+ta①
其中向量a叫做直线l的方向向量,在l上取=a,则①式可化为=+t或=(1-t) +t
共面
向量
定理
定理
如果两个向量a、b不共线,那么向量p与向量a、b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb
推论
空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x,y),使=x或对空间任意一点O,有
空间
向量
基本
定理
如果三个向量a、b、c不共面,那么对空间任一向量p,存在有序实数组{x,y,z},使得p=xa+yb+zc.
我们把{a,b,c}叫做空间的一个基底,a、b、c都叫做基向量
3.空间向量的有关概念
名称
定义
空间向量
在空间中,具有大小和方向的量叫做空间向量,向量的大小叫做向量的长度或模
单位向量
长度(或模)为1的向量
零向量
长度(或模)为0的向量
相等向量
方向相同且模相等的向量
相反向量
方向相反且模相等的向量
共线向量
(或平行
向量)
如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量或平行向量,a平行于b记作a∥b
共面向量
平行于同一个平面的向量叫做共面向量
3.线性规划的有关概念
名称
意义
约束条件
由变量x、y组成的不等式(组)
线性约束条件
由x、y的一次不等式(或方程)组成的不等式组
目标函数
欲求最大值或最小值的函数
线性目标函数
关于x、y的一次解析式
可行解
满足线性约束条件的解(x,y)
可行域
所有可行解组成的集合
最优解
使目标函数取得最大值或最小值的可行解
线性规划问题
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题

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