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课件48张PPT。第六篇 不等式、推理与证明
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(时间:120分钟　满分:150分)
【选题明细表】
知识点、方法
题号
不等关系与不等式
1、2
一元二次不等式及其解法
4、10、17、18
简单的线性规划问题
7、8、9、14、19
基本不等式
6、10、13、21
合情推理与演绎推理
3、12、15、16
直接证明与间接证明
5、20
数学归纳法
11、22
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.(2012厦门模拟)设命题p:若a>b,则<,q:若<0,则ab<0.给出以下3个复合命题,①p∧q;②p∨q;③﹁p∧﹁q.其中真命题的个数为(　B　)
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
解析:p为假命题,q为真命题,所以只有②正确,故选B.
2.设0(A)ab(C)2b<2a<2 (D)a2解析:可取a=,b=验证.故选C.
3.(2011湛江模拟)已知A,B 为△ABC的两个内角,则A>B是sin A>sin B的(　C　)
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
解析:A>Ba>b2Rsin A>2Rsin Bsin A>sin B.故选C.
4.已知函数f(x)=若f(2-m2)>f(m),则实数m的取值范围是(　D　)
(A)(-∞,-1)∪(2,+∞) (B)(-1,2)
(C)(-2,1) (D)(-∞,-2)∪(1,+∞)
解析:画出函数f(x)的图象如图,由图可知该函数在R上是减函数,所以f(2-m2)>f(m)等价于2-m20,所以m>1或m<-2,故选D.
5.如图所示,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,则下列等式不成立的是(　C　)
(A)||2=·
(B)||2=·
(C)||2=·
(D)||2=
解析:对于A,·=||||cos A=||2;
对于B,·=||||cos B=||2;
对于C,·=||||cos(π-∠ACD)=-||||cos∠ACD=-||2≠||2;
对于D,由A、B知,(·)(·)=||2·||2=||2||2,
故选C.
6.在算式“+=”的两个□、△中,分别填入两个正整数,使它们的倒数之和最小.则这两个正整数构成的数对(□,△)应为(　D　)
(A) (4,14) (B) (6,6)
(C) (3,18) (D) (5,10)
解析:题中的算式可以变形为“4×□+1×△=30”.设x=□,y=△,则4x+y=30.30(+)=(4x+y)(+)=5+(+)≥5+2=9.当且仅当=,即x=5,y=10时取等号,所求的数对为(5,10).故选D.
7.设不等式组表示的平面区域为M,斜率为-1的直线l与M相交于不同的两点P、Q,若线段PQ的长度为整数,则这样的直线l的条数是(　D　)
(A)5 (B)8 (C)9 (D)10
解析: M是由点A(2,5)、B(2,-3)、C(-6,-3)构成的三角形内部及其边界区域,B到直线x-y+3=0的距离为4,且直线l与AC垂直,故|PQ|的最大值为4,故|PQ|能取得的整数值为1,2,3,4,5,由对称性可知这样的直线l有10条.故选D.
8.已知实数x,y满足条件,则目标函数z=2x-y(　D　)
(A)有最小值0,有最大值6
(B)有最小值-2,有最大值3
(C)有最小值3,有最大值6
(D)有最小值-2,有最大值6
解析:画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.当目标函数z=2x-y过直线x=3与直线y=0的交点A(3,0)时,目标函数取得最大值6;当目标函数z=2x-y过直线x=0与直线x-y+2=0的交点C(0,2)时,目标函数取得最小值-2.故选D.
9.已知x,y满足约束条件若目标函数z=ax+y(其中a为常数)仅在点(,)处取得最大值,则实数a的取值范围是(　A　)
(A)(-1,1) (B)(0,1)
(C)(-2,2) (D)(-1,0)
解析:由x,y满足约束条件画出此不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.由目标函数z=ax+y,得y=-ax+z,因为z仅在点(,)处取得最大值,所以得-1<-a<1,得实数a的取值范围是(-1,1).故选A.
10.若不等式(a-a2)(x2+1)+x≤0对一切x∈(0,2]恒成立,则a的取值范围为(　C　)
(A)(-∞,]
(B)[,+∞)
(C)(-∞,]∪[,+∞)
(D)[,]
解析: ∵x∈(0,2],∴a2-a≥=.要使a2-a≥在x∈(0,2]时恒成立,则a2-a≥()max,由基本不等式得x+≥2,当且仅当x=1时,等号成立,即()max=.故a2-a≥,解得a≤或a≥.故选C.
11.用数学归纳法证明:“(n+1)·(n+2)·…·(n+n)=2n·1×3×…·(2n-1)”,则n=k+1与n=k时相比左端需增乘的代数式为(　B　)
(A)2k+1 (B)2(2k+1)
(C) (D)
解析:当n=k时等式的左端为:(k+1)·(k+2)·…·(k+k)
当n=k+1时,等式的左端为:
(k+1+1)·(k+1+2)·…·(k+k)·(2k+1)·(k+1+k+1)
=(k+1)·(k+2)·…·(k+k)·
=(k+1)·(k+2)·…·(k+k)·2(2k+1)
因此从“k到k+1”左端需增乘的代数式为2(2k+1),故选B.
12.(2011临汾模拟)把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表,设aij(i,j∈N*)是位于这个三角形数表中从上往下数第i行,从左往右数第j个数,如a42=8.若aij=2009,则i与j的和为(　C　)
1
2　4
3　5　7
6　8　 10 　12
9　11　13　15　17
14 16 18 20 22　24
　　　…
(A)105 (B)106 (C)107 (D)108
解析:由三角形数表可以看出,其奇数行为奇数数列,偶数行为偶数数列,2009=2×1005-1,所以2009为第1005个奇数,又前31个奇数行内数的个数的和为961,前32个奇数行内数的个数的和为1024,故2009在第32个奇数行内,所以i=63;因为第63行的第一个数为2×962-1=1923,2009=1923+2(j-1),所以j=44,i+j=107.故选C.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.设x>0,则函数y=x+-1的最小值为　　　　.?
解析:由题意知y=x+-1=(x+)+-≥2-=,当且仅当x+=,即x=时等号成立.即函数y=x+-1的最小值为.
答案:
14.某食品厂为了扩大宣传,需做2个文字版面,3个绘画版面,现有甲、乙两种规格的纸张,甲种规格的纸每张3 m2,可做文字版面1个,绘画版面2个;乙种规格的纸每张2 m2,可做文字版面2个,绘画版面1个.为了节约费用,使总共用的纸张的面积最小,则该食品厂需要买甲种规格的纸　　　张,乙种规格的纸　　　张.?
解析:设用甲种规格纸x张,乙种规格纸y张,由题意得,所用纸的总面积为S=3x+2y,作出不等式组表示的可行域,当直线S=3x+2y过x+2y=2与2x+y=3的交点M(,)时S取得最小值,又x∈N,y∈N,故需要买甲、乙两种规格的纸各1张.
答案:1　1
15.(2011湛江模拟)设直角三角形的两直角边的长分别为a,b,斜边长为c,斜边上的高为h,则有a+b①a2+b2>c2+h2;②a3+b3③a4+b4c5+h5.
其中正确结论的序号是　　　　;进一步类比得到的一般结论是:　　　　　　.?
解析:可以证明②③正确,观察②a3+b3答案:②③　an+bn16.(2011南昌模拟)观察下列等式:
12=1,
12-22=-3,
12-22+32=6,
12-22+32-42=-10
…
由以上等式推测到一个一般的结论:对于n∈N*,12-22+32-42+…+(-1)n+1·n2=　　　　　.?
解析:当n为奇数时,12-22+32-42+…+n2
=12+(32-22)+…+[n2-(n-1)2]
=1+2+3+…+n=,
n为偶数时,12-22+32-42+…+(n-1)2-n2
=-[1+2+3+…+(n-1)+n]=-,
∴12-22+32-42+…+(-1)n+1n2=(-1)n+1·.
答案:(-1)n+1·
三、解答题(本大题共6小题,共70分)
17.(本小题满分10分)
(2011烟台模拟)解关于x的不等式x2-x+a-a2<0.
解:由题意得(x-a)[x-(1-a)]<0
当a<1-a,即a<时,a当a>1-a,即a>时,1-a当a=1-a,即a=时,不等式的解集为.
即a<时,不等式的解集为(a,1-a);a=时不等式的解集为;a>时,不等式的解集为(1-a,a).
18.(本小题满分10分)
已知二次函数f(x)的二次项系数为a,且不等式f(x)>-2x的解集为(1,3).
(1)若方程f(x)+6a=0有两个相等的实根,求f(x)的解析式;
(2)若f(x)的最大值为正数,求a的取值范围.
解:因为f(x)+2x>0的解集为(1,3),
所以f(x)+2x=a(x-1)(x-3)且a<0.
因而f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax2-(2+4a)x+3a,①
(1)由方程f(x)+6a=0得:ax2-(2+4a)x+9a=0,②
因为方程②有两个相等的实根,
所以Δ=[-(2+4a)]2-4a·9a=0,
即5a2-4a-1=0,解得:a=1(舍去)或a=-.
将a=-代入①得f(x)的解析式为:
f(x)=-x2-x-.
(2)f(x)=ax2-2(1+2a)x+3a=a-,
由a<0,可得f(x)的最大值为-,
所以->0,且a<0,解得:a<-2-或-2+故当f(x)的最大值为正数时,a的取值范围是(-∞,-2-)∪(-2+,0).
19.(本小题满分12分)
某人在国庆节那天上午7时,乘摩托艇以v千米/时(4≤v≤20)匀速从A港出发到距50千米的B港去,然后乘汽车以w千米/时(30≤w≤100)匀速自B港向距300千米的C市驶去,应在同一天下午4点至9点到达C市,设汽车、摩托艇所需要的时间分别是x,y小时.
(1)作图表示满足上述条件x,y的范围;
(2)如果已知所需经费p=100+3(5-x)+2(8-y)(元),那么v,w分别是多少时走的最经济?此时花费多少元?
解: (1)由题意得v=,w=,4≤v≤20,30≤w≤100,
①
由于汽车、摩托艇所要的时间和x+y应在9至14个小时之间,
即9≤x+y≤14,②
满足①、②的x,y的可行域是图中阴影部分(包括边界).
(2)因为p=100+3(5-x)+2(8-y),
所以3x+2y=131-p,
设131-p=k,那么当k最大时,p最小.
在通过图中的阴影部分区域(包括边界)且斜率为-的直线3x+2y=k中,使k值最大的直线必通过点(10,4),即当x=10,y=4时,p最小.此时,v=12.5千米/时,w=30千米/时,p的最小值为93元.
20.(本小题满分12分)
(2012泰安模拟)在△ABC中,三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若+=,试问A、B、C是否成等差数列,若不成等差数列,请说明理由.若成等差数列,请给出证明.
解:A、B、C成等差数列.
证明如下:
∵+=,
∴+=3,
∴+=1,
∴c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c),
∴b2=a2+c2-ac.
在△ABC中,由余弦定理,
得cos B===,
∵0°∴A+C=2B=120°,
∴A、B、C成等差数列.
21.(本小题满分12分)
(2012泰州模拟)如图,公园有一块边长为2的等边三角形ABC的边角地,现修成草坪,图中DE把草坪分成面积相等的两部分,D在AB上,E在AC上.
(1)设AD=x(x≥0),ED=y,求用x表示y的函数关系式;
(2)如果DE是灌溉水管,为节约成本,希望它最短,则DE的最小值应为多少?如果DE是参观线路,希望它最长,则DE的最大值应为多少?
解:(1)在△ADE中,
y2=x2+AE2-2x·AE·cos 60°,
∴y2=x2+AE2-x·AE,①
又因S△ADE=S△ABC,
∴x·AE·sin 60°=×××22,
∴x·AE=2.②
②代入①得y2=x2+()2-2,由题意可求得1≤x≤2,
∴y=(1≤x≤2).
(2)如果DE是灌溉水管,y=≥=,
当且仅当x2=,即x=时“=”成立,此时DEmin=.
如果DE是参观线路,记f(x)=x2+,可知函数在[1,]上递减,在[,2]上递增,故f(x)max=f(1)=f(2)=5.
∴ymax==.即DE为AB边上中线或AC边上中线时,DE最长为.
22.(本小题满分14分)
在单调递增数列{an}中,a1=1,a2=2,且a2n-1,a2n,a2n+1成等差数列,a2n,a2n+1,a2n+2成等比数列,n=1,2,3,…
(1)求a3,a5和a4,a6的值;
(2)求数列{an}的通项公式(将an用n表示);
(3)设数列{}的前n项和为Sn,证明:Sn<,n∈N*.
(1)解:由已知,得a3=2a2-a1=2×2-1=3,
a4===,
a5=2a4-a3=2×-3=6,a6===8.
(2)解:∵a2n-1,a2n,a2n+1成等差数列,
∴a2n+1=2a2n-a2n-1,n=1,2,3,…
∵a2n,a2n+1,a2n+2成等比数列,
∴a2n+2=,n=1,2,3,…
又=,=,=,…;=,=,=,…
猜想=,=,n∈N*,
以下用数学归纳法证明:
①当n=1时,===,===()2,猜想成立;
②假设n=k(k≥1,k∈N*)时,猜想成立,即=,=,
那么===-1
=-1=-1=-1=-1=,
==()2=()2
=()2
=()2=()2=,
∴n=k+1时,猜想也成立.
由①、②可知,对任意的n∈N*,猜想成立.
∴a2n-1=a1××××…××
=1××××…××=,
a2n=a2××××…×
=2×()2×()2×()2×…×()2
=.
∴当n为奇数时,an==;
当n为偶数时,an==.
即数列{an}的通项公式为an=
(3)证明:法一:由(2),得=
显然,S1==1<=;
当n为偶数时,
Sn=8[++++++…++]
<8[(+)+(+)+(+)+…+(+)]
=8[(-)+(-)+(-)+…+(-)]=8(-)=;
当n为奇数(n≥3)时,Sn=Sn-1+<+
=+4[+-]
=-<.
综上所述,Sn<,n∈N*.
法二:由(2),得=
以下用数学归纳法证明Sn<,n∈N*.
①当n=1时,S1==1<=,
当n=2时,S2=+=1+=<2=.
∴n=1,2时,不等式成立.
②假设n=k(k≥2,k∈N*)时,不等式成立,即Sk<,
那么,当k为奇数时,Sk+1=Sk+<+
=+4[+-]
=-<;
当k为偶数时,Sk+1=Sk+<+
=+4[+-]
=-<.
∴n=k+1时,不等式也成立.
由①、②可知,对任意的n∈N*,不等式Sn<成立.

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