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第7章 三角函数（巩固篇）
姓名：___________考号：___________分数：___________
（考试时间：100分钟 满分：120分）
选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知，，则的值等于（ ）
A． B．
C． D．
2．将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．的图象的一条对称轴为 B．在上单调递增
C．在上的最大值为1 D．的一个零点为
3．已知函数，则（ ）．
A． B． C． D．
4．函数的图像可由函数的图像（ ）
A．向左平移个单位得到 B．向右平移个单位得到
C．向左平移个单位得到 D．向左平移个单位得到
5．已知函数在区间上是增函数，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
6．已知，则的值为（ ）
A． B．
C． D．
7．若实数满足，则的最小值为（ ）
A．0 B． C． D．
8．已知函数，则的大致图像是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知ω> 0，0 <φ<π，直线和是函数的图像上两条相邻的对称轴，则φ等于（ ）
A． B． C． D．
10．函数的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
11．已知函数(，)，其图像相邻两条对称轴之间的距离为，将函数的图像向左平移个单位后，得到的图像关于原点对称，那么函数的图像（ ）
A．关于点对称 B．关于点对称
C．关于直线对称 D．关于直线对称
12．在半径为2的圆中，长度为的弦与其所对劣弧围成的弓形的面积是（ ）
A． B． C． D．
填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．已知是第一象限角，且，则_______
14．设为第二象限角，若，则________．
15．已知，，则______.
16．将函数的图像上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把得到的图像向左平移个单位长度得到函数的图像，则在区间上的值域为_______.
17．函数的图像与直线y＝a在(0，)上有三个交点，其横坐标分别为，，，则的取值范围为_______.
18．设函数，若对任意的实数x都成立，则的最小值为______.
三、解答题（本大题共6小题，共66分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．在锐角中，角A，B，C满足条件：．
（1）求角；
（2）求的取值范围．
20．已知函数.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）若，其中，求的值.
21．设函数.
（1）求的值；
（2）求的最小值及取最小值时的集合；
（3）求的单调递增区间.
22．如图，有一生态农庄的平面图是一个半圆形，其中直径长为，C D两点在半圆弧上满足，设，现要在此农庄铺设一条观光通道，观光通道由和组成.
（1）若，求观光通道l的长度；
（2）用表示观光通道的长l，并求观光通道l的最大值；
23．已知．
（1）求的单调递增区间；
（2）若，求的值．
24．已知向量，，函数．
（1）求函数在上的单调增区间
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围．
（3）当时，讨论函数的零点情况第7章 三角函数（巩固篇）
姓名：___________考号：___________分数：___________
（考试时间：100分钟 满分：120分）
选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知，，则的值等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
解：由，得，
因为，，
所以 ，
所以，
故答案为：A
2．将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．的图象的一条对称轴为 B．在上单调递增
C．在上的最大值为1 D．的一个零点为
【答案】B
，
.
对选项A，因为，故A错误；
对选项B，因为，.
解得，.
当时，函数的增区间为，
所以在上单调递增，故B正确；
对选项C，因为，所以，
所以，，，故错误；
对选项D，，故D错误.
故选：B
3．已知函数，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
由题意，函数，
可得，
所以．
故选：B.
4．函数的图像可由函数的图像（ ）
A．向左平移个单位得到 B．向右平移个单位得到
C．向左平移个单位得到 D．向左平移个单位得到
【答案】A
因为,
所以将向左平移可得到．
故选：A．
5．已知函数在区间上是增函数，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
令，所以，
所以的单调递增区间为，
当时，的单调递增区间为，所以，所以的最大值为，
故选：B.
6．已知，则的值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
因为，所以，
所以，所以，
所以，
故选：C.
7．若实数满足，则的最小值为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
，，，
，
当时，有最小值．
的最小值是．
故选：C
8．已知函数，则的大致图像是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
由，
所以函数为奇函数，排除C、D.
当时，，排除B.
故选：A
9．已知ω> 0，0 <φ<π，直线和是函数的图像上两条相邻的对称轴，则φ等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
∵直线和是的两条相邻的对称轴，∴最小正周期为，
∴，．
，，又，∴．
故选：A．
10．函数的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
记，则，为偶函数，排除D，
当时，，排除B，C．
故选：A．
11．已知函数(，)，其图像相邻两条对称轴之间的距离为，将函数的图像向左平移个单位后，得到的图像关于原点对称，那么函数的图像（ ）
A．关于点对称 B．关于点对称
C．关于直线对称 D．关于直线对称
【答案】A
因为函数图像相邻两条对称轴之间的距离为，
所以，即，
所以，即，
将函数的图像向左平移个单位后，得到函数的图像，且其关于原点对称，
所以，又，令k=1，
解得，即，
令，解得，即对称中心为
令k=0，则一个对称中心为，故A正确，B错误；
令，解得，即对称轴为，故C、D错误，
故选：A
12．在半径为2的圆中，长度为的弦与其所对劣弧围成的弓形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
如下图，圆的半径为2，弦的长度为2，则△为正三角形，，
所以扇形（圆心角为）的面积为，
又△的面积为，
所以弦与其所对劣弧围成的弓形的面积为.
故选：A.
填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．已知是第一象限角，且，则_______
【答案】
是第一象限角，且，
则，解得，
.
故答案为：.
14．设为第二象限角，若，则________．
【答案】
解：方法一 由得，即．
将其代入，得．
因为为第二象限角，
所以．
所以.
方法二 因为是第二象限角，，
所以是第三象限角，
再结合，可得，
所以．
故答案为：.
15．已知，，则______.
【答案】
由，可得，所以
所以
由，
故答案为：.
16．将函数的图像上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把得到的图像向左平移个单位长度得到函数的图像，则在区间上的值域为_______.
【答案】
由题意得，的图像上各点的横坐标缩短到原来的倍，
这时变为，再把得到的图像向左平移个单位长度，
这时变为，
所以，，∵，∴.
故答案为：
17．函数的图像与直线y＝a在(0，)上有三个交点，其横坐标分别为，，，则的取值范围为_______.
【答案】
由题意因为x∈(0，)，则，可画出函数大致的图
则由图可知当时，方程有三个根，由解得，
解得，且点与点关于直线对称，所以，点与点关于直线对称，故由图得，令，当为x∈(0，)时，解得或，所以，，，解得，，则，即.
故答案为：
18．设函数，若对任意的实数x都成立，则的最小值为______.
【答案】2
解：若对任意的实数x都成立，
可得的最小值为，
可得，，
即有，，
由，
可得的最小值为2，此时.
故答案为：2.
三、解答题（本大题共6小题，共66分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．在锐角中，角A，B，C满足条件：．
（1）求角；
（2）求的取值范围．
【答案】（1）；（2）
解：（1）根据正弦定理边角互化得：
整理得
所以由余弦定理得：，
因为为锐角三角形，
所以.
（2）由（1）得，
所以
，
因为为锐角三角形，
所以，所以，
所以.
故的取值范围.
20．已知函数.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）若，其中，求的值.
【答案】（1）单调递增区间为；（2）.
解：（1）因为
所以.
令，得函数的单调递增区间为.
（2）若，则，因为，所以，所以.
.
21．设函数.
（1）求的值；
（2）求的最小值及取最小值时的集合；
（3）求的单调递增区间.
【答案】（1）；（2），；（3）单调递增区间为.
解：（1），
所以.
（2）由于，所以当时，，此时，
所以取最小值时的集合为，
故的最小值为0，取最小值时的集合为.
（3）令，，解得，，
所以的单调递增区间为，.
22．如图，有一生态农庄的平面图是一个半圆形，其中直径长为，C D两点在半圆弧上满足，设，现要在此农庄铺设一条观光通道，观光通道由和组成.
（1）若，求观光通道l的长度；
（2）用表示观光通道的长l，并求观光通道l的最大值；
【答案】（1）观光通道长；（2）当时，观光通道长l的最大值为.
（1）因为，所以
在中，利用余弦定理可得，
，所以，
同理
所以观光通道长
（2）作，垂足为E，在直角三角形中，，
则有，
同理作，垂足为F，，
即：，
从而有：
因为，所以当时，l取最大值5，
即观光通道长l的最大值为.
23．已知．
（1）求的单调递增区间；
（2）若，求的值．
【答案】（1）；（2）.
（1）
当，函数单调递增，
所以的单调递增区间．
（2）由已知得，所以，
而
．
24．已知向量，，函数．
（1）求函数在上的单调增区间
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围．
（3）当时，讨论函数的零点情况
【答案】（1）；（2）；（3）分类讨论，答案见解析．
（1）
由，
得
∵
∴或
∴在上的单调增区间是
（2）由（1）知在上单调递增
∴当时，；
当时，
由题设可得解得
∴的取值范围是
（3）令得：，
得：
∵
∴
令，则．
由图知
①当或，
即或时，0个零点
②当或，
即或时，1个零点
③当或，
即或时，2个零点
④当即时，3个零点
综上：①或时，0个零点
②或时，1个零点
③或时，2个零点
④时，3个零点

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