资源简介

三角恒等变换
【考点预测】
知识点一．两角和与差的正余弦与正切
① sin(α± β) = sinαcosβ± cosαsinβ；
② cos(α± β) = cosαcosβ sinαsinβ；
tanα± tanβ
③ tan(α± β) = ；
1 tanαtanβ
知识点二．二倍角公式
① sin2α= 2sinαcosα；
② cos2α= cos2α- sin2α= 2cos2α- 1= 1- 2sin2α；
③ tan2α= 2tanα ；
1- tan2α
知识点三：降次 (幂)公式
sinαcosα= 12 sin2α;sin
2α= 1- cos2α2 ;cos
2α= 1+ cos2α2 ;
知识点四：半角公式
sin α2 =±
1- cosα α 1+ cosα
2 ;cos 2 =± 2 ;
tan α = sinα 1- cosα2 1+ cosα = sina .
知识点五．辅助角公式
asinα+ bcosα= a2+ b2sin(α+ ) ( sin = b cos = a tan = b其中 ， ， )．
a2+ b2 a2+ b2 a
【方法技巧与总结】
1. 两角和与差正切公式变形
tanα± tanβ= tan(α± β) (1 tanαtanβ)；
= tanα+ tanβ = tanα tanβtanα tanβ 1
tan(α+ β) tan( ) 1．α β
2. 降幂公式与升幂公式
sin2α= 1 cos2α cos2α= 1+ cos2α2 ； 2 ；sinαcosα=
1
2 sin2α；
1+ cos2α= 2cos2α；1 cos2α= 2sin2α；1+ sin2α= (sinα+ cosα)2；1 sin2α= (sinα cosα)2．
3. 其他常用变式
sin2α= 2sinαcosα = 2tanα cos2α= cos
2α sin2α = 1 tan
2α tan α = sinα = 1 cosα； ； ．
sin2α+ cos2α 1+ tan2α sin2α+ cos2α 1+ tan2α 2 1+ cosα sinα
3. 拆分角问题：① α= 2 α2 ；α= (α+ β) - β；② α= β- (β- α)；③ α=
1
2 [(α+ β) + (α- β)]；
④ β= 1 [(α+ β) - (α- β)] π + α= π π2 ；⑤ 4 2 - 4 - α ．
π π
注意 特殊的角也看成已知角，如 α= 4 - 4 - α ．
【题型归纳目录】
题型一：两角和与差公式的证明
题型二：给式求值
题型三：给值求值
题型四：给值求角
题型五：正切恒等式及求非特殊角
【典例例题】
题型一：两角和与差公式的证明
例1.(2022·山西省长治市第二中学校高一期末) (1)试证明差角的余弦公式 C(α-β)：cos(α- β) = cosαcosβ+
sinαsinβ；
(2)利用公式C(α-β)推导：
①和角的余弦公式C(α+β)，正弦公式S(α+β)，正切公式T(α+β)；
②倍角公式S(2α)，C(2α)，T(2α).
【答案】(1)证明见解析；(2)①答案见解析；②答案见解析
【解析】在单位圆里面证明C(α-β)，然后根据诱导公式即可证明C(α+β)和S(α+β)，利用正弦余弦和正切的关系即
可证明T(α+β)；用正弦余弦正切的和角公式即可证明对应的二倍角公式.
【详解】
(1)不妨令 α≠ 2kπ+ β,k∈Z.
如图，
设单位圆与 x轴的正半轴相交于点A 1,0 ，以 x轴非负半轴为始
边作角 α,β,α- β，它们的终边分别与单位圆相交于点
P1 cosα,sinα ，A1 cosβ,sinβ ，P cos α- β ,sin α- β .
连接A1P1,AP. 若把扇形OAP绕着点O旋转 β角，则点A,P分別

与点A1,P1重合. 根据圆的旋转对称性可知，AP与A1P1 重合，从

而，AP=A1P1，∴AP=A1P1.
根据两点间的距离公式，得：
cos α- β - 1 2+ sin2 α- β = (cosα- cosβ)2+ (sinα- sinβ)2，
化简得：cos α- β = cosαcosβ+ sinαsinβ.
当 α= 2kπ+ β k∈Z 时，上式仍然成立.
∴，对于任意角 α,β有：cos α- β = cosαcosβ+ sinαsinβ.
(2)①公式C(α+β)的推导：
cos α+ β = cos α- -β
= cosαcos -β + sinαsin -β
= cosαcosβ- sinαsinβ.
公式S α+β 的推导：
sin α+ β = cos α+ β- π2
= cos α- π2 - β
= cosαcos π2 - β + sinαsin
π
2 - β
= cosαsinβ+ sinαcosβ
正切公式T α+β 的推导：
+ = sin α+ β tan α β
cos α+ β
= sinαcosβ+ cosαsinβ
cosαcosβ- sinαsinβ
= tanα+ tanβ
1- tanαtanβ
②公式S 2α 的推导：由①知，sin2α= sin α+ α = cosαsinα+ sinαcosα= 2sinαcosα.
公式C 2α 的推导：由①知，cos2α= cos α+ α = cosαcosα- sinαsinα= cos2α- sin2α.
公式T 的推导：由①知，tan2α= tan α+ α = tanα+ tanα 2tanα 2α 1- tanα tanα = 1- tan2 .α
例2.(2022·云南·昭通市第一中学高三开学考试 (文))已知以下四个式子的值都等于同一个常数
sin226 + cos234 - 3sin26 cos34 ；
sin239 + cos221 - 3sin39 cos21 ；
sin2 -52 + cos2112 - 3sin -52 cos112 ；
sin230 + cos230 - 3sin30 cos30 .
(1)试从上述四个式子中选择一个，求出这个常数.
(2)根据 (1)的计算结果，推广为三角恒等式，并证明你的结论.
【答案】(1)选第四个式子，14 ；(2)证明见解析.
【解析】
(1)选第四个式子，由 sin30° = 1 32 ,cos30° = 2 即可求三角函数式的值；
(2)由题意，设一个角为 α，另一个角为 60°-α，应用两角差的余弦公式展开三角函数，由同角正余弦的平方
和关系化简求值
【详解】
(1)由第四个式子：sin230 + cos230 - 3sin30 cos30 = 14 +
3 - 34 4 =
1
4
(2)证明：sin2α+ cos2 60 - α - 3sinαcos 60 - α
2
= sin2α+ 1 cosα+ 3 sinα - 3sinα 12 2 2 cosα+
3
2 sinα
= sin2α+ 1 cos24 α+
3
2 sinαcosα+
3
4 sin
2α- 32 sinαcosα-
3
2 sin
2α
= 14
【点睛】本题考查了三角函数，利用特殊角的函数值求三角函数式的值，应用两角差余弦公式展开三角函数
式及同角的正余弦平方和关系化简求值，属于简单题
例3.(2022·陕西省商丹高新学校模拟预测 (理))如图带有坐标系的单位圆O中，设∠AOx= α，∠BOx= β，
∠AOB= α- β，
(1)利用单位圆 向量知识证明：cos(α- β) = cosαcosβ+ sinαsinβ
(2) α∈ π ,π β∈ 0, π若 2 ， 2 ，cos(α- β) =-
4 5
5 ，tanα=- 12 ，求 cosβ的
值
【答案】(1)证明见解析；(2) 6365 ．
【解析】
(1)根据向量的数量积公式即可证明；
(2)根据角的范围分别求出正弦和余弦值，利用两角和的余弦公式计算得
出答案．
【详解】

(1)由题意知：|OA| = |OB| = 1，且OA与OB的夹角为 α- β，

所以OA·OB= 1× 1× cos(α- β) = cos(α- β)，

又OA= (cosα,sinα)，OB= (cosβ,sinβ)，

所以OA·OB= cosαcosβ+ sinαsinβ，
故 cos(α- β) = cosαcosβ+ sinαsinβ．
(2) ∵ α∈ π 52 ,π 且 tanα=- 12 ，则 sinα=
5
13 ,cosα=-
12
13 ；
β∈ 0, π2 ，则-β∈ -
π
2 ,0 ，又 α∈
π
2 ,π ，∴ α- β∈ 0,π ，cos(α- β) =-
4
5 ,sin(α- β) =
3
5 ，
cosβ= cos α- α- β = cosαcos α- β + sinαsin α- β =- 12 13 × -
4 5 3 63
5 + 13 × 5 = 65
【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的定义，考查平面向量数量积的坐标运算，考查两角和与差的余弦
公式，属于中档题．
例4.(2022·全国·高三专题练习)如图，考虑点A(1,0)，P1(cosα,sinα)，P2(cosβ,-sinβ)，P(cos(α+ β),sin(α+ β)
)，从这个图出发.
(1)推导公式：cos(α+ β) = cosαcosβ- sinαsinβ；
(2)利用 (1)的结果证明：cosαcosβ= 12 [cos(α+ β) + cos(α- β)
]，并计算 sin37.5° cos37.5°的值.
【答案】(1)推导见解析；(2)证明见解析， 6+ 2
82 【解析】(1)根据图象可知 AP = P1P 22 ，再展开化简，得到两角和
的余弦公式；(2)首先令 β=-β，求 cos α- β ，再代入所证明的公
式；首先根据二倍角公式和诱导公式化简为 sin37.5 cos37.5 =
1
2 sin75
= 12 cos15
，再根据两角差的余弦公式化简.
【详解】
(1)因为P1(cosα,sinα),P2(cosβ,-sinβ),P(cos(α+ β),sin(α+ β))，

根据图象，可得 2AP =PP 2 2 21 2 ，即 |AP| = P1P2 ，
即 (cos(α+ β) - 1)2+ sin2(α+ β) = (cosβ- cosα)2+ (sinβ+ sinα)2.
即 cos(α+ β) = cosβcosα- sinβsinα.
(2)由 (1)可得 cos(α+ β) = cosβcosα- sinβsinα， ①
cos(α- β) = cosβcosα+ sinβsinα ②
由①+②可得：2cosβcosα= cos(α+ β) + cos(α- β)
所以 cosβcosα= 12 [cos(α+ β) + cos(α- β)]，
所以 sin37.5°cos37.5°= 12 sin75
°= 12 cos15
°= 12 cos 45
°- 30° .
= 12 cos45
cos30 + sin45 sin30
= 1 2 3 2 1 6+ 22 2 × 2 + 2 × 2 = 8
【点睛】本题考查两角和差余弦公式的证明，以及利用三角恒等变换求值，重点考查逻辑推理证明，公式的
灵活应用，属于基础题型.
【方法技巧与总结】
推证两角和与差公式就是要用这两个单角的三角函数表示和差角的三角公式，通过余弦定理或向量数量
积建立它们之间的关系，这就是证明的思路.
题型二：给式求值
例5.(2022· 2 6全国·高三专题练习)已知 sinα= 7 ，cos α- β =
10
5 ，且 0< α<
3π 3π
4 ，0< β< 4 ，则 sinβ=
( )
A. 9 15 11 10 15 1035 B. 35 C. 35 D. 35
【答案】A
【解析】易知 sinβ= sin α- α- β ，利用角的范围和同角三角函数关系可求得 cosα和 sin α- β ，分别在
sin α- β = 15 5 和-
15
5 两种情况下，利用两角和差正弦公式求得 sinβ，结合 β的范围可确定最终结果.
【详解】
∵ sinα= 2 6 < 2 且 0< α< 3π ，∴ 0< α< π7 2 4 4 ，∴ cosα= 1- sin
2α= 57 .
又 0< β< 3π 3π π 2 154 ，∴- 4 < α- β< 4 ，∴ sin α- β =± 1- cos α- β =± 5 .
当 sin α- β = 15 5 时，
sinβ= sin α- α- β = sinαcos α- β - cosαsin α- β = 2 6 × 10 - 5 × 15 15 7 5 7 5 =- 35 ，
∵ 0< β< 3π4 ，∴ sinβ> 0，∴ sinβ=-
15
35 不合题意，舍去；
当 sin α- β =- 155 ，同理可求得 sinβ=
9 15
35 ，符合题意.
综上所述：sinβ= 9 1535 .
故选：A.
【点睛】易错点睛：本题中求解 cosα时，易忽略 sinα的值所确定的 α的更小的范围，从而误认为 cosα的取值
也有两种不同的可能性，造成求解错误.
例6.(2020· α四川·乐山外国语学校高三期中 (文))已知 sin 15°- 2 = tan210°，则 sin 60°+α 的值为 ( )
A. 1 1 2 23 B. - 3 C. 3 D. - 3
【答案】A
【解析】根据题意得到 sin 15°- α = 3 进而得到 cos22 3 15°-
α 6
2 = 9 ，cos 30°-α
1
= 3 ，从而有
sin 60°+α = sin 90°- 30°-α = cos 30°-α .
【详解】
∵ sin 15°- α2 = tan210°，
∴ sin 15°- α = tan210° = tan 180°+30° = tan30° = 32 3 ，
则 cos2 15°- α2 = 1- sin
2 15°- α 62 = 9 ，
cos 30°-α = cos2 15°- α2 - sin
2 15°- α 12 = 3 ，
∴ sin 60°+α = sin 90°- 30°-α
= cos 30°-α = 1 3 ，
故选A.
【点睛】本题主要考查二倍角公式，同角三角函数的基本关系，诱导公式，属于基础题.
例7.(2020· π 7 π全国·高三专题练习)若 cos 3 - 2x =- 8 ，则 sin x+ 3 的值为 ( ).
A. 1 B. 7 C. ± 1 D. ± 74 8 4 8
【答案】C
【解析】利用倍角公式以及诱导公式，结合已知条件，即可求得结果.
【详解】
∵ cos π3 - 2x = cos
π
2 6 - x = 2cos
2 π6 - x - 1=-
7
8 ，
∴ cos π6 - x =±
1
4 ，
∵ sin x+ π3 = cos
π π π
2 - x+ 3 = cos 6 - x =±
1
4 ，
故选：C .
【点睛】本题考查利用三角恒等变换解决给值求值问题，属基础题.
8.( π 3+ 1 π例 多选题) (2022·全国·高三专题练习)设 sin β+ 6 + sinβ= 2 ，则 sin β- 3 = ( )
A. 32 B.
1
2 C. -
1
2 D. -
3
2
【答案】AC
【解析】利用三角恒等变换化简已知条件，结合同角三角函数的基本关系式，求得 sin β- π3 .
【详解】
依题意 sin β+ π + sinβ= 3+ 16 2 ，
sin β- π + π + sin β- π + π = 3+ 13 2 3 3 2 ，
cos β- π3 +
1
2 sin β-
π
3 +
3
2 cos β-
π 3+ 1
3 = 2 ，
1
2 sin β-
π + 3+ 23 2 cos β-
π = 3+ 13 2 ，
sin β- π3 + 3+ 2
π
cos β- 3 = 3+ 1，
3+ 1 - sin β- π
cos β- π = 33 + ，代入 sin
2 β- π3 + cos
2 β- π3 2 3 = 1，
π 2
sin2 β- π
3+ 1 - sin β- 3
3 + + = 1，3 2
化简得 8+ 4 3 sin2 β- π3 - 2 3+ 2
π
sin β- 3 - 3+ 2 3 = 0，
两边除以 3+ 2，4sin2 β- π3 +
π
2- 2 3 sin β- 3 - 3= 0，
π π
2sin β- 3 + 1 2sin β- 3 - 3 = 0，
解得 sin β- π =- 1 或 sin β- π3 2 3 =
3
2 .
故选：AC
例9.(2022· π 3 4全国·模拟预测 (文))已知 α,β∈ 0, 2 ，cos2β= 5 ，cos α+ β = 5 ，则 cosα=__________
_.
【答案】11 525
【解析】由 α,β∈ 0, π2 ，cos α+ β
4
= 5 ，即可求得 sin α+ β ，用二倍角公式即可求得 sinβ 和 cosβ ，用拼
凑角思想可表示出 α= α+ β - β，用三角恒等变换公式求解即可.
【详解】
因为 cos α+ β = 4 5 ，且 α,β∈ 0,
π
2 ，所以 sin α+ β =
3
5 . 又因为 cos2β= 1- 2sin
2β= 35 ，解得 sinβ=
5
5 ，则 cosβ= 1- sin
2β= 2 55 ，
故 cosα= cos α+ β - β = cos α+ β cosβ+ sin α+ β sinβ= 4 2 5 3 5 11 5 5 × 5 + 5 × 5 = 25 .
故答案为：11 525
10.(2022· · ) sin α+ π 3例 上海静安 模拟预测 已知 4 =- 2 ，则 sin2α的值为_____________．
【答案】12 ##0.5
【解析】由倍角公式以及诱导公式求解即可．
【详解】
∵ cos2 α+ π4 = 1- 2sin
2 α+ π4 = 1- 2×
3
4 =-
1
2
cos2 α+ π = cos π4 2 + 2α =-sin2α
∴ sin2α= 12
故答案为：12
例11.(2022· π江苏泰州·模拟预测)若 θ= θ0时，f θ = sin2θ- cos2θ取得最大值，则 sin 2θ0+ 4 =______．
【答案】 1010
【解析】首先利用二倍角公式和辅助角公式，化简，再代入求值.
【详解】
f θ = sin2θ- 12 1+ cos2θ
1 1
= sin2θ- 2 cos2θ- 2
= 5 2 5 5 1 5 1 2 5 52 5 sin2θ- 5 cos2θ - 2 = 2 sin 2θ- φ - 2 (其中 cosφ= 5 ，sinφ= 5 )，
当 f θ 取最大值时，2θ0- φ= π2 ，∴ 2θ0= φ+
π
2
sin2θ0= sin φ+ π 2 52 = cosφ= 5 ，cos2θ0= cos φ+
π
2 =-sinφ=-
5
5
∴ sin 2θ + π0 4 =
2 5
5 ×
2 + - 5 2 102 5 × 2 = 10 ．
故答案为： 1010
【方法技巧与总结】
给式求值：给出某些式子的值，求其他式子的值. 解此类问题，一般应先将所给式子变形，将其转化成所求
函数式能使用的条件，或将所求函数式变形为可使用条件的形式.
题型三：给值求值
1- tan α
例12.(2022·福建省福州第一中学三模)若 sinα=- 3 3π 25 ，且 α∈ π, 2 ，则 α = ( )1+ tan 2
A. 12 B. -
1
2 C. 2 D. 2
【答案】D
2sin α cos α 2tan α
【解析】由 sinα= 2sin α cos α 2 2 2 α2 2 = α α = α ，可解得 tansin2 + cos2 tan2 + 1 2
，即可求解
2 2 2
【详解】
2sin α cos α 2tan α
sinα= 2sin α cos α =- 3 ，故 2 2 = 2 =- 32 2 5 ，sin2 α2 + cos
2 α 2 α 5
2 tan 2 + 1
1- tan α
可解得 tan α =- 12 3 或 tan
α
2 =-3，又 α∈ π,
3π
2 ，故 tan
α
2 =-3，故
2 =-2，
1+ tan α2
故选：D
例13.(2022·湖北武汉· π 1 π模拟预测)已知 sin 6 - x = 4 ，则 cos 2x- 3 = ( )
A. - 7 B. 7 C. - 15 D. 158 8 4 4
【答案】B
【解析】根据题意得 sin x- π6 的值，再根据 cos 2x-
π 2 π
3 = 1- 2sin x- 6 求解即可.
【详解】
因为 sin π6 - x =-sin x-
π
6 ，所以 sin x-
π
6 =-
1
4 ，
cos 2x- π = cos 2 x- π
2
3 6 = 1- 2sin
2 x- π6 = 1- 2 -
1
4 =
7
8 .
故选：B.
例14.(2022·湖北·模拟预测)已知 α∈ - π2 ,
π
2 ，且 cos α-
π
4 =
1
2 ，则 cos2α= ( )
A. - 3 32 B. ± 2 C.
1 D. 32 2
【答案】D
【解析】由已知 α的取值范围，求出 α- π4 的取值范围，再结合 cos α-
π
4 =
1
2 即可解得 α的值，cos2α即
可求解
【详解】
因为- π < α< π ，所以- 3π2 2 4 < α-
π < π4 4
又 cos α- π4 =
1
2 ，所以 α-
π
4 =-
π
3 ，所以 α=-
π
12
所以 cos2α= cos - π = cos π = 36 6 2
故选：D
例15.(2022· π全国·模拟预测)已知 sin 3 + α =
1
5 ，则 cos 2α-
π
3 = ( )
A. 2325 B. -
23
25 C.
2 5 D. - 2 55 5
【答案】B
【解析】利用诱导公式化简，然后利用二倍角公式即得.
【详解】
因为 sin π3 + α = cos
π
6 - α = cos α-
π = 16 5 ，
2
所以 cos 2α- π3 = cos2 α-
π
6 = 2cos
2 α- π6 - 1= 2×
1
5 - 1=-
23
25 .
故选：B．
例16.(2022·黑龙江· 3哈师大附中三模 (文))已知 sin 45°+α = 5 ，45° < α< 135°，则 cos2α= ( )
A. 24 B. - 24 7 725 25 C. 25 D. - 25
【答案】B
【解析】首先根据同角三角函数的基本关系求出 cos 45°+α ，再利用二倍角公式及诱导公式计算可得；
【详解】
解：因为 45° < α< 135°，所以 90° < α+ 45° < 180°，又 sin 45°+α = 3 5 ，
所以 cos 45°+α 4 =- 1- sin2 45°+α =- 5 ，
所以 sin2 45°+α = 2sin 3 4 24 45°+α cos 45°+α = 2× 5 × - 5 =- 25 。
即 sin 24 24 90°+2α =- 25 ，所以 cos2α=- 25
故选：B
例17.(2022·广东茂名·模拟预测)已知 sin θ- π6 =
1
2 ，则 cos θ+
π
3 = ( )
A. - 3 B. - 12 2 C.
1
2 D.
3
2
【答案】B
【解析】利用题目条件结合诱导公式即可得出答案.
【详解】
cos θ+ π3 = cos θ-
π + π6 2 =-sin θ-
π
6 =-
1
2
故选：B.
例18.(多选题) (2022·江苏· π 3π 4 2高三专题练习)已知 4 ≤ α≤ π，π≤ β≤ 2 ，sin2α= 5 ，cos(α+ β) = - 10 ，则
( )
A. cosα=- 1010 B. sinα- cosα=
5
5 C. β- α=
3π
4 D. cosαcosβ=-
2
5
【答案】BC
【解析】先根据 sin2α= 45 ，判断角 α的范围，再根据 cos2α求 cosα；
根据平方关系，判断 sinα- cosα的值；利用公式 cos(β- α) = cos[(α+ β) - 2α]求值，并根据角的范围判断
角 β- α的值；利用公式 cos β+ α 和 cos β- α ，联合求 cosαcosβ.
【详解】
①因为 π4 ≤ α≤ π，所以
π
2 ≤ 2α≤ 2π，
又 sin2α= 45 > 0，故有
π
2 ≤ 2α≤ π，
π ≤ α≤ π4 2 ，
解出 cos2α=- 35 = 2cos
2α- 1 cos2α= 15 cosα=
5
5 ，故A错误；
② sinα- cosα 2= 1- sin2α= 15 ，
由①知：π4 ≤ α≤
π
2 ，所以 sinα> cosα，
所以 sinα- cosα= 55 ，故B正确；
③由①知：π ≤ α≤ π ，而 π≤ β≤ 3π ，所以 5π4 2 2 4 ≤ α+ β≤ 2π，
又 cos(α+ β) =- 2 < 0，所以 5π ≤ α+ β≤ 3π10 4 2 ，
解得 sin(α+ β) =- 7 210 ，
所以 cos(β- α) = cos[(α+ β) - 2α]=- 2 310 × - 5 + -
7 2
10 ×
4
5 =-
2
2
又因为 5π4 ≤ α+ β≤
3π π
2 ，-π≤-2α≤- 2 ，
所以 π ≤ β- α≤ π，有 β- α= 3π4 4 ，故C正确；
④由 cos(α+ β) =- 210 cosαcosβ- sinαsinβ=-
2
10 ，
由③知，cos(β- α) = cosαcosβ+ sinαsinβ=- 22 ，
两式联立得：cosαcosβ=- 3 210 ，故D错误．
故选：BC
【点睛】关键点点睛：本题的关键是三角函数恒等变形的灵活应用，尤其是确定角的范围，根据三角函数值
sin2α= 45 ，确定
π
2 ≤ 2α≤ π，且 cos(α+ β) =-
2
10 < 0，进一步确定
5π
4 ≤ α+ β≤
3π
2 ，这些都是确定函数
值的正负，以及角的大小的依据.
【方法技巧与总结】
给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同
或具有某种关系，解题的基本方法是：①将待求式用已知三角函数表示；②将已知条件转化而推出结论，其
中“凑角法”是解此类问题的常用技巧，解题时首先要分析已知条件和结论中各种角之间的相互关系，并根
据这些关系来选择公式.
题型四：给值求角
例19.(2022· · π 2π π π全国 模拟预测)已知 6 < α< 3 ，4 3sin 15 sin α- 3 + 4sin
π
15 cos
π
3 - α + tan
π
15 = 3，则
α=______．
【答案】8π15
【解析】由诱导公式、辅助角公式、倍角公式得出 sin α- π6 = sin
11π
30 ，再由正弦函数的性质结合
π
6 < α<
2π
3 得出 α.
【详解】
π π 3- tan
π
由题知 3sin α- + cos - α = 153 3 ，则 3sin α-
π + cos α- π =
4sin π 3 315
3cos π - sin π 2sin π - π 2sin 2π 2π15 15 cos，即 2sin α- π + π = 3 15 ，即 2sin α- π = 15 15 ，即
4sin π15 cos
π 3 6
15 2sin
2π 6 2π
15 sin 15
sin α- π6 = cos
2π π 2π 11π
15 = sin 2 - 15 = sin 30 ，则 α-
π = 11π + 2kπ 或 α- π + 11π6 30 6 30 = π+ 2kπ，k∈Z．
因为 π < α< 2π ，所以 0< α- π < π ，所以 α- π = 11π ，解得 α= 8π6 3 6 2 6 30 15 ．
故答案为：8π15
例20.(2022 · · π 5 3π 10河南 南阳中学高三阶段练习 (文 ) ) 已知 sin 4 - α = - 5 ,sin 4 + β = 10 ，且 α ∈
π 3π4 , 4 ,β∈ 0,
π
4 ，求 α- β的值为_____．
【答案】π ## 14 4 π
【解析】注意到 α- β= π- π4 - α+
3π
4 + β ，利用诱导公式和两角和的正弦公式求解，注意 α- β范围的
确定.
【详解】
α∈ π , 3π4 4 ,β∈ 0,
π
4 ，则 α- β∈ 0,
3π
4 ，注意到
α- β= π- π4 - α+
3π
4 + β ，于是
sin(α- β) = sin π- π4 - α+
3π
4 + β = sin
π
4 - α+
3π
4 + β ，不妨记
x= π - α,y= 3π + β，于是 sin(α- β) = sin(x+ y) = sinxcosy+ sinycosx，而 x∈ - π4 4 2 ,0 ,sinx=
- 5 ，于是 cosx= 2 5 (负值舍去)，又 y∈ 3π ,π ,siny= 10 ，则 cosy=- 3 105 5 4 10 10 (正值舍去)，于是计算
可得：
sin(α- β) = sin(x+ y) = sinxcosy+ sinycosx= 22 ，而 α- β∈ 0,
3π
4 ，于是
α- β= π4 .
故答案为：π4 .
sinα- sin π
例21.(2022· π π河北石家庄·一模) α∈ 0, 12已知角 2 ，tan 12 = π ，则 α=______.cosα+ cos 12
【答案】π4
sinα- sin π
【解析】化简 tan π = 12 ，即可得到 sin π12 = sin α-
π
cosα+ cos π 6 12
，再根据 α的范围，即可求出结果.
12
【详解】
sinα- sin π sin π sinα- sin π
∵ tan π = 12 12 1212 ，∴ = ，cosα+ cos π12 cos
π
12 cosα+ cos
π
12
∴ sin π cosα+ cos π12 12 = cos
π
12 sinα- sin
π
12 ，
∴ sin π π12 cosα+ sin 12 cos
π = cos π12 12 sinα- cos
π
12 sin
π
12 ，
∴ sin π12 cos
π π π π π
12 + cos 12 sin 12 = cos 12 sinα- sin 12 cosα，
∴ sin π6 = sin α-
π
12 ，∵ α∈ 0,
π
2 ，∴ α-
π
12 ∈ -
π 5π
12 , 12
∴ π6 = α-
π π π π
12 ，则 α= 12 + 6 = 4 .
故答案为：π4 .
例22.(2022·上海市大同中学高三开学考试)若 α∈ 0,π ，且 cos2α= sin π4 - α ，则 α的值为_________
__.
【答案】π 或 7π4 12
【解析】根据二倍角的余弦公式和两角差的正弦公式可得 (cosα+ sinα) (cosα- sinα) = 22 (cosα- sinα)，
分类讨论当 cosα- sinα= 0、cosα- sinα≠ 0 时的情况，结合 α∈ (0,π)和辅助角公式计算即可.
【详解】
由题意知，
cos2α= sin π4 - α
则 cos2α- sin2α= 22 (cosα- sinα)，
即 (cosα+ sinα) (cosα- sinα) = 22 (cosα- sinα)，
当 cosα- sinα= 0 时，cosα= sinα，即 tanα= 1，
由 α∈ (0,π)，得 α= π4 ；
当 cosα- sinα≠ 0 时，cosα+ sinα= 22 ，
所以 2sin α+ π4 =
2
2 ，即 sin α+
π
4 =
1
2 ，
由 α∈ (0,π)，得 α+ π π4 ∈ 4 ,
5π
4 ，所以 α+
π
4 =
5π
6 ，得 α=
7π
12 .
故答案为：π 或 7π4 12
例23.(2022·全国· 5 10 π π 3高三专题练习)若 sin2α= 5 ，sin β- α = ，且 α∈

10 4 , 2 ，β∈ π, 2 π ，则 α+ β的值
是______．
【答案】7π4 ##
7
4 π
【解析】由 sin2α= 5 以及 α∈ π π 5 4 , 2 ，求出 cos2α的值，再求出 β- α∈
π 5
2 , 4 π ，再由 sin β- α
10
= 10
可求出 cos β- α 的值，利用两角和的余弦公式计算 cos β+ α = cos β- α + 2α 的值，结合角 β+ α的
范围即可求得答案.
【详解】
因为 α∈ π , π 4 2 ，所以 2α∈
π
2 ,π ，
2
因为 sin2α= 55 ，所以 cos2α=- 1- sin
22α=- 1- 55 =- 2 55 ，
因为 α∈ π , π 4 2 ，β∈
π, 3 2 π ，所以 β- α∈
π 5
2 , 4 π ，
因为 sin β- α = 10 10 ，所以 β- α∈
π 2 ,π ，
2
所以 cos β- α =- 1- sin2 β- α =- 1- 10 =- 3 10 10 10 ，
所以 cos β+ α = cos β- α + 2α = cos β- α cos2α- sin β- α sin2α
= - 3 10 × - 2 5 - 10 510 5 10 × 5 =
2
2 ，
因为 α∈ π 4 ,
π
2 ，β∈
π, 3 2 π ，所以 β+ α∈
5
4 π,2π ，
所以 α+ β= 7π4 .
故答案为：7π4 .
例24.(2022·吉林·延边州教育学院一模 (理))若 sin2α= 5 ，sin β- α = 10 ，且 α∈ π5 10 4 ,π

β∈ π,
3
， 2 π ，则
α+ β= ( )
A. 7π B. π4 4 C.
4π
3 D.
5π
3
【答案】A
【解析】由两角和与差的余弦公式，结合角的取值范围求解
【详解】
因为 α∈ π 4 ,π ，所以 2α∈
π
2 ,2π

，
因为 sin2α= 55 ，所以 2α∈
π
2 ,π ，即 α∈
π , π 4 2 ，
2
所以 cos2α=- 1- sin22α=- 1- 55 =- 2 55 .
因为 α∈ π π 4 , 2 ，β∈
3
π, 2 π ，所以 β- α∈
π
2 ,
5
4 π ，
因为 sin β- α = 10 10 ，
2
所以 cos β- α =- 1- sin2 β- α =- 1- 10 3 1010 =- 10 .
所以 cos β+ α = cos β- α+ 2α = cos β- α cos2α- sin β- α sin2α
= - 3 1010 × -
2 5 10 5 2
5 - 10 × 5 = 2 .
因为 α∈ π π 3 4 , 2 ，β∈ π, 2 π ，
所以 β+ α∈ 5 π,2π ，所以 α+ β= 7π 4 4 .
故选：A
例25.(2022·上海交大附中高三开学考试)已知 α、β都是锐角，且 3sin2α+ 2sin2β= 1，3sin2α- 2sin2β= 0，那
么 α、β之间的关系是 ( )
A. α+ β= π B. α- β= π4 4 C. α+ 2β=
π
4 D. α+ 2β=
π
2
【答案】D
sin2β
【解析】推导出 = cosαsinα，可得出 cos α+ 2β = 0，求出 α+ 2β的取值范围，即可得解.cos2β
【详解】
因为 3sin2α+ 2sin2β= 1，则 3sin2α= 1- 2sin2β= cos2β，
所以，2sin2β= 3sin2α= 6sinαcosα，
因为 α、β都是锐角，由题意可得 cos2β= 3sin2α> 0，
sin2β
所以， = 3sinαcosα = cosα，
cos2β 3sin2α sinα
所以，cosαcos2β- sinαsin2β= cos α+ 2β = 0，
因为 α、β都是锐角，则 0< α< π2 且 0< β<
π
2 ，则 0< 2β< π，
所以，0< α+ 2β< 3π π2 ，因此，α+ 2β= 2 .
故选：D.
例26.(2022· 1 1江苏省江阴高级中学高三开学考试)已知 tanα= 3 ,tanβ=- 7 ,且 α,β∈ (0,π)，则 2α- β= ( )
A. π4 B. -
π
4 C. -
3π 3π π
4 D. - 4 或 4
【答案】C
【解析】根据给定条件利用三角恒等变换求出 tan(2α- β)的值，再判断 2α- β的范围即可得解.
【详解】
2× 1
因 tanα= 13 ,tanβ=-
1 ，则 tan2α= 2tanα 37 - 2 = 1 2 =
3 ，
1 tan α 1- 43
3 1
( - )= tan2α- tanβ
- -
tan 2α β = 4 7 = 1，
1+ tan2αtanβ 1+ 3 × - 14 7
因 α,β∈ (0,π)，tanα> 0,tanβ< 0，则 0< α< π2 ,
π
2 < β< π，又 tan2α> 0，有 0< 2α<
π
2 ，
于是得-π< 2α- β< 0，因此，2α- β=- 3π4 ，
所以 2α- β=- 3π4 .
故选：C
【方法技巧与总结】
给值求角：解此类问题的基本方法是：先求出“所求角”的某一三角函数值，再确定“所求角”的范围，最后借
助三角函数图像、诱导公式求角.
题型五：正切恒等式及求非特殊角
例27.(2022·湖北·襄阳四中模拟预测)若角 α的终边经过点 P sin70°,cos70° ，且 tanα + tan2α +mtanα
tan2α= 3，则实数m的值为 ( )
A. - 3 B. - 3 33 C. 3 D. 3
【答案】D
【解析】先通过诱导公式变形确认 α的值，再将 tan60° = 3 变形化简．
【详解】
∵ sin70° = cos20°，cos70° = sin20°，∴P cos20°,sin20° ，故 tanα= tan20°，tan2α= tan40°，又 tan60° =
tan 20°+40° = tan20°+tan40° - ° ° = 3，即 tan20°+tan40°+ 3tan20° tan40° = 3，∴m= 3．1 tan20 tan40
故选：D．
例28.(2021·重庆八中高三阶段练习)sin10°+ 34 tan10° = ( )
A. 1 B. 3 C. 14 4 2 D.
3
2
【答案】A
【解析】先将 tan10° = sin10°° 代入所求式子通分化简，再结合二倍角公式、两角差的正弦公式，即可得解．cos10
【详解】
解：sin10°+ 3 tan10° = sin10°+ 3 sin10° = 4sin10°cos10°+ 3sin10°4 4 cos10° 4cos10°
= 2sin20°+ 3sin10° = 2sin(30°-10°) + 3sin10°
4cos10° 4cos10°
2 12 cos10°- 32 sin10° + 3sin10°=
4cos10°
= cos10° = 1 ．
4cos10° 4
故选：A．
°
例29.(2020· 1- 3tan10重庆一中高三阶段练习)求值： = ( )
1- cos20°
A. 1 B. 2 C. 3 D. 2 2
【答案】D
【解析】先化切为弦将 tan10°转化为 sin10°°，然后根据二倍角的正弦和余弦公式、辅助角公式以及诱导公式cos10
进行化简求值.
【详解】
1- 3 sin10°
原式= cos10° = cos10°- 3sin10°
2sin210° 2sin10°cos10°
= 2cos 10°+60° = 2 2cos70° = 2 2cos 90°-20° = 2 2sin20° = 2 2，
2 sin20° sin20° sin20° sin20°2
故选：D.
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于弦切互化以及三角恒等变换公式的运用，一方面需要利用 tan10°
= sin10°° 以及辅助角公式将分子化为一个整体，另一方面需要利用二倍角的正余弦公式将分母化为一个cos10
整体.
例30.(2022·全国·高三专题练习) tan30°+tan70° sin10° =___________.
【答案】 33
【解析】将原式化切为弦，通分，然后利用两角和正弦公式以及二倍角公式，即可求解.
【详解】
tan30°+tan70° sin10° = sin30°° +
sin70° sin10°
cos30 cos70°
= (sin30°cos70°+cos30sin70°)sin10°
cos30°cos70°
= sin100°sin10° = 2sin10°cos10° = 3
3 3
.
2 sin20°
3sin20°
故答案为： 33 .
例31.(2022· 3 1江苏南通·高三期末)若 1+ = sinα，则 α的一个可能角度值为__________.tan80
【答案】50 ,130 ,410 ,490 等答案较多
【解析】先把 1+ 3 化简成
1
，解得 sinα= sin50 后，解三角方程即可解决.tan80 sin50
【详解】
+ 3 = sin80
+ 3cos80 = 2sin(80
+ 60 ) 2sin140 1 =
tan80 sin80 sin80 2sin40 cos40
= 2sin40

= 1 = 1 = 1
2sin40 cos40 cos40 sin50 sinα
则 sinα= sin50 ，故 α= k 360+ 50 ,k∈ Z，或 α= k 360+ 130 ,k∈ Z
故答案为：50 ,130 ,410 ,490 等均符合题意.
例32.(2022·江苏扬州· ) 1- tan75°模拟预测
1+ ° =___________．tan75
【答案】- 33
【解析】由两角差的正切公式化简求值．
【详解】
1- tan75° = tan45°-tan75°+ =-tan(75°-45°) =-tan30° =-
3 ．
1 tan75° 1+ tan45°tan75° 3
故答案为：- 33 ．
例33.(2022·贵州黔东南·一模 (文))若 tan α+ β = 1 3 ，tan a- β =
1
6 ，则 tan2α=___________.
【答案】917
【解析】由 2α= α+ β+ α- β，应用和角正切公式即可求值.
【详解】
1 + 1
tan2α= tan α+ β+ α- β = 3 6 = 9 .
1- 1 × 1 173 6
故答案为：917 .
例34.(2022·山东·青岛二中高三开学考试)tan10°+tan35°+tan10°tan35° =______．
【答案】1
【解析】由 1= tan45° = tan 10°+35° ，利用两角和的正切公式计算即可.
【详解】
因为 1= tan45° = tan 10°+35° = tan10°+tan35° ，
1- tan10°tan35°
所以 tan10°+tan35°+tan10°tan35° = 1．
故答案为：1
【方法技巧与总结】
正切恒等式：当A+B+C= kπ 时，tanA+ tanB+ tanC= tanA tanB tanC．
证明：因为 tan(A+B) = tanA+ tanB- ，tanC=-tan(A+B)，所以 tanA+ tanB=-tanC(1-1 tanAtanB
tanAtanB)
故 tanA+ tanB+ tanC= tanA tanB tanC．
【过关测试】
一、单选题
1. (2022·四川省泸县第二中学模拟预测 (文))已知角 α与角 β的顶点均与原点O重合，始边均与 x轴的非负
3
半轴重合，它们的终边关于 x轴对称．若 cosα= 5 ，则 cos α+ β cos α- β = ( )
A. - 725 B.
1
5 C. -
1 7
5 D. 25
【答案】A
【解析】根据角 α与角 β的位置关系可得 α与 β的关系，进而得出 α与 β的三角函数关系，结合两角和的余弦
公式计算即可.
【详解】
因为 α与 β关于 x轴对称，cosα= 35 ，
所以 α+ β= 2kπ，k∈Z，
则 cos α+ β = 1，sinα=-sinβ，cosα= cosβ= 3 ，sinα=± 45 5 ，
当 sinα= 45 时，sinβ=-
4
5 ，
cos α- β = cosαcosβ+ sinαsinβ= 35
3 - 4 4 75 5 5 =- 25 ，
当 sinα=- 45 时，sinβ=
4
5 ，
cos α- β = cosαcosβ+ sinαsinβ= 3 3 - 4 4 =- 75 5 5 5 25
所以 cos α+ β 7 cos α- β =- 25 ，
故选：A．
2. (2022·全国·模拟预测 (理))已知 sinα+ cosβ= 1，cosα+ sinβ= 3，则 cos(α- β) = ( )
A. 0 B. 12 C.
3
2 D. 1
【答案】C
【解析】将已知两式平方相加可得 sin(α+ β) = 1，即得 β= π2 - α+ 2kπ,k∈ Z，由此求得 sinα,cosα，化简
cos(α- β)为 sin2α ，由二倍角公式可求得答案.
【详解】
因为 sinα+ cosβ= 1，cosα+ sinβ= 3，
两式平方相加得：2+ 2(sinαcosβ+ cosαsinβ) = 4 ，
即 sin(α+ β) = 1 ，即 α+ β= π2 + 2kπ,k∈ Z，
则 β= π2 - α+ 2kπ,k∈ Z，
故 sinα+ cosβ= 1 即 sinα+ cos π2 - α+ 2kπ = 1，k∈ Z，即 sinα=
1
2 ，
cosα+ sinβ= 3 即 cosα+ sin π2 - α+ 2kπ = 3，k∈ Z，即 cosα=
3
2 ，
故 cos(α- β) = cos π 1 3 3 α- 2 - α+ 2kπ = sin2α= 2× 2 × 2 = 2 ，
故选：C
3. (2022· π 1青海·大通回族土族自治县教学研究室三模 (文))已知 tan α+ 4 = 3，tan α+ β = 3 ，则 tanβ=
( )
A. - 17 B.
1
7 C. 1 D. 2或 6
【答案】A
【解析】根据两角和的正切公式求得 tanα，再利用 tanβ= tan α+ β - α ，即可求得答案.
【详解】
因为 tan α+ π 1+ tanα 14 = 3，所以 1- tanα = 3，解得 tanα= 2 ，
1
1 tan α+ β - tanα -
1
又 tan α+ β = 3 ，所以 tanβ= tan α+ β - α
3 2
= + = =-
1 .
1 tan α+ β tanα 1+ 1 × 1 73 2
故选:A.
4. (2022·湖北·黄冈中学模拟预测)公元前 6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作
图，发现了黄金分割约为 0.618，这一数值也可以表示为m= 2sin18°，若m2+n= 4 m n，则
2sin227°- = ( )1
A. - 4 B. - 2 C. 2 D. 4
【答案】B
【解析】已知条件代入后应用平方关系、余弦的二倍角公式、正弦的二倍角公式、诱导公式化简可得．
【详解】
m n = 2sin18° 4- 4sin
218° 2sin18° 2cos18° 2sin36°
2 °- 2 °- = - ° = - ° =-2．2sin 27 1 2sin 27 1 cos54 sin36
故选：B．
5. (2022· π山东烟台·三模)若 2cos2 α- 3 = 1+ cos2α，则 tan2α的值为 ( )
A. - 33 B.
3
3 C. - 3 D. 3
【答案】D
【解析】利用两角差的余弦公式和二倍角的正弦公式化简题给条件，得到三角函数齐次式，进而求得 tan2α
的值
【详解】
2cos2 α- π = 2 1 3
2
cosα+ sinα = 1 + sin2α+ 3 sin2α= 1- 13 2 2 2 2 2 cos2α+
3
2 sin2α
由 1- 1 cos2α+ 32 2 sin2α= 1+ cos2α，可得
3
2 sin2α=
3
2 cos2α
又 cos2α≠ 0，则 tan2α= 3
故选：D
6. (2022·全国·模拟预测 (文))设角 α，β的终边均不在坐标轴上，且 tan α- β + tanβ= tanα，则下列结论正
确的是 ( )
A. sin α+ β = 0 B. cos α- β = 1 C. sin2α+ sin2β= 1 D. sin2α+ cos2β= 1
【答案】D
【解析】根据两角差的正切公式，结合同角三角函数关系式进行判断即可.
【详解】
( - )= - tanα- tanβ = - ( - ) tanαtanβtan α β tanα tanβ + tanα tanβ，tanα tanβ = 0，1 tanαtanβ 1+ tanαtanβ
∵ tanαtanβ≠ 0，tanα= tanβ，∴ α= kπ+ β，k∈ Z.A.B不恒成立；
又 sin2α= sin2 kπ+ β = sin2β，∴ sin2α+ cos2β= sin2β+ cos2β= 1.
故选：D.
( 1+ tanα+ tanβ- tanαtanβ7. 2022·河南·通许县第一高级中学模拟预测 (文))已知 α+ β= 15 ，则 - - - = ( )1 tanα tanβ tanαtanβ
A. - 33 B.
3
3 C. 1 D. 3
【答案】D
【解析】由两角和的正切公式可得出 tanα+ tanβ= tan α+ β 1- tanαtanβ ，再结合两角和的正切公式
化简可得结果.
【详解】
tanα+ tanβ
因为 tan α+ β = - ，所以 tanα+ tanβ= tan α+ β1 tanαtanβ 1- tanαtanβ ，
1+ tanα+ tanβ- tanαtanβ = 1- tanαtanβ + tan α+ β 1- tanαtanβ所以
1- tanα- tanβ- tanαtanβ 1- tanαtanβ - tan α+ β 1- tanαtanβ
1+ tan α+ β 1- tanαtanβ = 1+ tan α+ β = tan45
+ tan15
- + - - + - = tan 45 + 15 = 3. 1 tan α β 1 tanαtanβ 1 tan α β 1 tan45 tan15
故选：D.
β
8. (2022 ·全国 ·高三专题练习 ) 若 0 < α < π ,- π2 2 < β < 0 ,cos
π
4 + α =
1
3 ,cos π - 34 2 = 3 ，则
β
cos α+ 2 = ( )
A. 33 B. -
3
3 C.
5 3
9 D. -
6
9
【答案】C
β
【解析】由于 cos α+ 2 = cos π 4 + α - π
β
4 - 2 结合两角和的余弦公式可求解，由已知条件求出
β
sin π π4 + α ，sin 4 - 2 的值，从而可求出答案
【详解】
β β β β
cos α+ π2 = cos 4 + α - π - 4 2 = cos π4 + α cos π4 - 2 + sin π4 + α sin π4 - 2 ，
因为 0< α< π ,- π2 2 < β< 0
β
所以 π π 3π π4 + α∈ 4 , 4 ，4 - 2 ∈
π , π4 2 ，
因为 cos π + α = 1 π - β 34 3 ，cos 4 2 = 3 ，
β
所以 sin π + α = 2 2 ，sin π 64 3 4 - 2 = 3 ，
则 cos α+ β2 = 13 × 3 2 2 6 5 33 + 3 × 3 = 9 ．
故选：C
二、多选题
9. (2022·海南海口·二模)已知 α∈ tanα β π,2π ，sinα= 2 = tan 2 ，则 ( )
A. tanα= 3 B. cosα= 12 C. tanβ= 4 3 D. cosβ=
1
7
【答案】BD
β
【解析】根据商的关系化简条件可求 cosα，利用平方关系求 sinα，再由商的关系求 tanα，再利用 tan 2 ，结合
二倍角公式及同角三角函数关系求 tanβ，cosβ.
【详解】
因为 sinα= tanαcosα= tanα2 ，
所以 cosα= 12 ，又 α∈ π,2π ，
所以 sinα=- 32 ，tanα=- 3，故A错误，B正确．
β
tan 32 =- 2 ，
β
2tan
所以 tanβ= 2 =-4 3，
- β1 tan2 2
β
cos2 2 -
β β
sin2 2 1- tan
2
cosβ= = 2 = 1
β β β 7
，
sin2 + cos22 2 1+ tan
2
2
故C错误，D正确．
故选：BD.
10.(2022· 1河北邯郸·二模)下列各式的值为 2 的是 ( ).
π
A. sin 17π B. sin π cos π C. cos2 π - sin2 π
tan 8
6 12 12 12 12 D. 1- tan2 π8
【答案】AD
【解析】根据诱导公式，结合二倍角的正弦公式、余弦公式、正切公式逐一判断即可.
【详解】
A. sin 17π6 = sin 2π+ π-
π
6 = sin π-
π = sin π = 16 6 2 ，符合题意；
B. sin π12 cos
π 1
12 = 2 sin 2×
π
12 =
1 π 1
2 sin 6 = 4 ，不符合题意；
C. cos2 π 2 π π12 - sin 12 = cos 2× 12 = cos
π = 36 2 ，不符合题意；
tan π
D. 8 = 1 tan 2× π = 1 tan ππ 2 8 2 4 =
1
2 ，符合题意，1- tan2 8
故选：AD
11. (2022·重庆·西南大学附中模拟预测)已知 α，β，γ∈ 0, π2 ，且 α+ β+ γ=
π
2 ，则 ( )
A. 若 sinα+ cosα= 2，则 tanα= 1
B. 若 tanα= 2，则 sin(β+ γ) = 55
C. tanα，tanβ可能是方程 x2- 6x+ 7= 0的两根
D. tanαtanβ+ tanβtanγ+ tanβtanα= 1
【答案】ABD
【解析】A. 利用平方关系求解判断； B. 利用诱导公式求解判断； C. 利用角的范围判断； D. 利用两角和的正
切公式求解判断.
【详解】
A. 由 sinα+ cosα= 2，sin2α+ cos2α= 1，且 α∈ 0, π2 ，所以 sinα=
2
2 ,cosα=
2
2 ，所以 tanα= 1 故正
确；
B. 因为 tanα= 2，且 α∈ 0, π2 ， cosα=
5
5 ，且 α+ β+ γ=
π
2 ，所以 sin(β+ γ) = sin
π
2 - α = cosα=
5
5 ，故正确；
C. 若 tanα，tanβ可能是方程 x2- 6x+ 7= 0 的两根，则 tanα+ tanβ= 6,tanαtanβ= 7，tan α+ β =
tanα+ tanβ
- =-1，1 tanαtanβ
因为 α，β∈ 0, π2 ，所以 0< α+ β< π，所以 α+ β=
3π
4 ，又 γ∈ 0,
π
2 ，α+ β+ γ=
π
2 ，故错误；
D.tanαtanβ+ tanαtanγ+ tanβtanγ，
= tanαtanβ+ tanγ tanα+ tanβ ，
= tanαtanβ+ tan π2 - α- β tanα+ tanβ ，
= tanα+ tanβtanαtanβ+ ，
tanα+ tanβ
1- tanα tanβ
= tanαtanβ+ 1- tanα tanβ= 1，故正确；
故选：ABD
12.(2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习)已知 cos α+ β =- 55 ，cos2α=-
4
5 ，其中 α,β为锐角，则以下命题
正确的是 (　　)
A. sin2α= 35 B. cos α- β =
2 5
5 C. cosαcosβ=
3
10 D. tanαtanβ=
1
3
【答案】AB
【解析】利用凑角的方式 α- β= 2α- (α+ β)，将角看成整体，但要注意角的范围，
根据同角三角函数的关系，两角和差的余弦公式及解方程即可求解.
【详解】
因为 cos2α=- 45 ，∵ 0< α<
π
2 ,∴ 0< 2α< π，
所以 sin2α= 1- cos22α= 35 ，故A正确；
因为 cos α+ β =- 5 π π5 ，∵ 0< α< 2 ,0< β< 2 ,∴ 0< α+ β< π，
所以 sin α+ β = 1- cos2 α+ β = 2 5 5 ，
所以 cos(α- β) = cos[2α- (α+ β)]= cos2αcos(α+ β) + sin2αsin(α+ β)
= - 4 × - 5 + 35 5 5 ×
2 5
5 =
2 5
5 ，故B正确；
cos(α- β) = cosαcosβ+ sinαsinβ= 2 55 ①，
cos(α+ β) = cosαcosβ- sinαsinβ=- 55 ②，
由①+②得，2cosαcosβ= 55 ，解得 cosαcosβ=
5
10 ；故C不正确；
由①-②得，2sinαsinβ= 3 55 ，解得 sinαsinβ=
3 5
10 ；
3 5
= sinαsinβtanαtanβ = 10 = 3，故D不正确.
cosαcosβ 5
10
故选：AB.
三、填空题
13.(2022·浙江·高考真题)若 3sinα- sinβ= 10,α+ β= π2 ，则 sinα=__________，cos2β=______
___．
【答案】 3 1010
4
5
【解析】先通过诱导公式变形，得到 α的同角等式关系，再利用辅助角公式化简成正弦型函数方程，可求出
α，接下来再求 β．
【详解】
α+ β= π2 ，∴ sinβ= cosα，即 3sinα- cosα= 10，
即 10 3 1010 sinα-
10
10 cosα = 10，令 sinθ=
10
10 ，cosθ=
3 10
10 ，
则 10sin α- θ = 10，∴ α- θ= π2 + 2kπ，k∈ Z，即 α= θ+
π
2 + 2kπ，
∴ sinα= sin θ+ π 3 102 + 2kπ = cosθ= 10 ，
则 cos2β= 2cos2β- 1= 2sin2α- 1= 45 ．
故答案为：3 1010 ；
4
5 ．
14.(2022· π π 2 sinα山东师范大学附中模拟预测)已知 0< α< 2 ，sin 4 - α = 6 ，则 1+ tanα =________.
【答案】4 1751
【解析】由已知条件求出所以 cos π4 - α ，利用-sinα= sin
π
4 - α-
π
4 两角差的正弦展开式可得 sinα，
再根据三角函数的平方关系和商数关系可得答案.
【详解】
因为 0< α< π2 ，-
π < π4 4 - α<
π
4 ，
2
所以 cos π4 - α = 1- 2
34
6 = 6 ，
所以-sinα= sin π π π4 - α- 4 = sin 4 - α cos
π
4 - cos
π
4 - α sin
π
4
= 2 × 2 - 34 × 2 1- 176 2 6 2 = 6 ，所以 sinα=
17- 1
6 ，
cosα= 1- sinα 2= 17+ 1 ，所以 tanα= sinα 6 cosα =
17- 1 ，
17+ 1
17- 1
则 sinα 6 4 171+ tanα = - = 51 .1+ 17 1
17+ 1
故答案为：4 1751 .
15.(2022· ) 3cos 3π湖北省仙桃中学模拟预测 已知 2 - α + cos(π+ α) =-1 ，则 cos 2α-
2π
3 =______
_______ .
【答案】- 12
【解析】首先利用三角函数诱导公式和辅助角公式得到 sin α+ π6 =
1
2 ，再根据 cos 2α-
2π
3 =
cos 2 α+ π 6 - π 求解即可.
【详解】
因为 3cos 3π2 - α + cos(π+ α) =- 3sinα- cosα=-1
所以 sin α+ π6 =
1
2 .
cos 2α- 2π π π 3 = cos 2 α+ 6 - π =-cos 2 α+ 6
=- 1- 2sin
2 α+ π 6 = 2sin
2 α+ π6 - 1= 2×
1
4 - 1=-
1
2 .
故答案为：- 12
16.(2022·陕西·宝鸡中学模拟预测)sin θ+ 75 + cos θ+ 45 - 3cos θ+ 15 =__________.
【答案】0
【解析】由两角和的正弦公式化简 sin(θ+ 75°) = sin[(θ+ 15°) + 60°]，然后然后再由两角差的余弦公式变形
可得．
【详解】
sin θ+ 75 + cos θ+ 45 - 3cos θ+ 15
= sin(θ+ 15°+60°) + cos θ+ 45 - 3cos θ+ 15
= sin(θ+ 15°)cos60°+cos(θ+ 15°)sin60°+cos θ+ 45 - 3cos θ+ 15
= 12 sin(θ+ 15°) +
3
2 cos(θ+ 15°) + cos θ+ 45
- 3cos θ+ 15
= 12 sin(θ+ 15°) -
3
2 cos(θ+ 15°) + cos(θ+ 45°)
= sin30°sin(θ+ 15°) - cos30°cos(θ+ 15°) + cos(θ+ 45°)
=-cos(θ+ 45°) + cos(θ+ 45°) = 0.
故答案为：0．
四、解答题
17.(2022· π π 1江苏南京·模拟预测)已知 0< α< 2 ，cos α+ 4 = 3 ．
(1)求 sinα的值；
(2)若- π2 < β<
β
0，cos 2 - π4 = 33 ，求 α- β的值．
【答案】(1) 4- 26 (2)α- β=
π
4
【解析】
(1)利用同角三角函数的基本关系结合两角差的正弦公式可求得 sinα的值；
(2)利用二倍角的余弦公式可求得 sinβ的值，利用同角三角函数的基本关系以及两角差的余弦公式求出
cos α- β 的值，结合角 α- β的取值范围可求得结果.
(1)
解：因为 0< α< π π π 3π2 ，∴ 4 < α+ 4 < 4 ，
2
又 cos α+ π 14 = 3 ，所以 sin α+
π
4 = 1-
1
3 =
2 2
3 ，
所以 sinα= sin α+ π 4 -
π π π
4 = sin α+ 4 cos 4 - cos α+
π
4 cos
π 2 2 2
4 = 2 3 -
1 = 4- 23 6 .
(2)
β
解：因为 cos - π = 32 4 3 ，
sinβ= cos β- π =
β π 2 β π 1 1
2 cos 2 2 - 4 = 2cos 2 - 4 - 1= 2× 3 - 1=- 3 ，
又因为- π 2 2 22 < β< 0，所以 cosβ= 1- sin β= 3 ，
由 (1)知，cosα= cos α+ π4 -
π
4 = cos α+
π cos π + sin α+ π sin π = 4+ 24 4 4 4 6 ，
所以 cos α- β = cosαcosβ+ sinαsinβ= 4+ 2 × 2 26 3 +
4- 2 × - 16 3 =
2
2 ．
因为 0< α< π ，- π2 2 < β< 0，则 0< α- β< π，所以 α- β=
π
4 ．
18.(2022·江西·高一期中)已知角 α π为锐角，2 < β- α< π
α 1
，且满足 tan 2 = 3 ，sin β- α =
7 2
10
(1) π证明：0< α< 4 ；
(2)求 β.
【答案】(1)证明见解析 (2)β= 3π4 .
【解析】
(1)根据二倍角的正切公式计算可得 tanα< tan π4 即可证明；
(2)根据同角三角函数的关系可得 sinα= 35 ，cosα=
4
5 ，再根据两角和差的正弦公式，结合 sinβ=
sin α+ β- α 求解即可
(1)
证明：因为 tan α 12 = 3 ，
2tan α 2× 1
所以 tanα= 2 = 3 = 3 < 1= tan π ，
1- tan2 α2 1-
1 4 4
9
因为 α为锐角且函数 y= tanx在 0, π2 上单调递增，所以 0< α<
π
4
(2)
tanα= sinα = 3由 cosα 4 ，结合角 α为锐角，解得 sinα=
3 ，cosα= 4 ，
sin2α+ cos2α= 1 5 5
因为 π2 < β- α< π，且 sin
7 2
β- α = 10
所以 cos β- α =- 1- 7 2
2
10 =- 210 .
sinβ= sin α+ β- α = sinαcos β- α + cosαsin β- α
= 3 2 4 7 2 25 × - 10 + 5 × 10 = 2
又 π2 <
π
2 + α< β< π+ α<
5π
4 ，
所以 β= 3π4 .
19.(2022·河南·唐河县第一高级中学高一阶段练习) ( ) =- sinθ(1+ sin2θ)1 已知 tanθ 2，求 的值；
sinθ+ cosθ
(2)已知 tan(α- β) = 12 ，tanβ=-
1
7 ，且 α，β∈ (0,π)，求 2α- β．
【答案】(1) 25 ；(2) -
3π
4
【解析】
(1)先借助平方关系、商数关系及倍角公式化为齐次分式，再切化弦代入 tanθ=-2 即可求解；
(2)先借助正切的和角公式求出 tanα，再求出 tan(2α- β)，结合角的范围即可求解.
【详解】
( ) sinθ(1+ sin2θ)1 = sinθ 1+ sin2θ = sinθ sin
2
θ+ cos
2θ+ 2sinθcosθ
sinθ+ cosθ sinθ+ cosθ sin2θ+ cos2θ sinθ+ cosθ sin2θ+ cos2θ
sinθ sin2θ+ cos2θ+ 2sinθcosθ
2 2
= cosθ cos θ = tanθ tan θ+ 1+ 2tanθ = -2 4+ 1- 4
sinθ+ cosθ sin2θ+ cos2θ tanθ+ 1 tan2θ+ 1 -2+ 1 × 4+ 1 =
cosθ cos2θ
2
5 ；
1 - 1
(2) tan(α- β) + tanβ由 tanβ=- 1 π7 可知 β∈ 2 ,π ，又 tanα= tan(α- β+ β) = - ( - ) =
2 7 = 1 ，α
1 tan α β tanβ 1+ 12 ×
1 3
7
∈ 0, π2 ，
则 α- β∈ -π,0 ，又 tan(α- β) = 12 ，则 α- β∈ -π,-
π
2 ，则 tan(2α- β) = tan α- β+ α =
1 1
tan α- β + tanα 2 + 3
1- = = 1，tan α- β tanα 1- 1 × 12 3
又 2α- β= α- β+ α∈ -π,0 ，则 2α- β=- 3π4 .
20.(2022· 4 5江西·高一阶段练习)在① tan2α= 3 ，② sinα= 5 这两个条件中任选一个，补充到下面的问题中，
并解答．已知角 α是第一象限角，且 ．
(1)求 tanα的值；
(2)求 sin 2α+ π2 + cos
3π
α+ π cos α+ 2 的值．
注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)tanα= 12 (2)
1
5
【解析】
(1)选①，由二倍角的正切公式展开，即可求得答案;
选②，根据同角的三角函数关系可求得 cosα=± 2 55 ，结合角的象限，即可求得答案；
(2)利用三角函数诱导公式化简，再将分母看作 sin2α+ cos2α，利用弦化切，即可求得答案.
(1)
选①:
因为 tan2α= 43 ，所以
2tanα = 4 ，所以 2tan2- 2 3 α+ 3tanα- 2= 0，1 tan α
即 2tanα- 1 tanα+ 2 = 0，解得 tanα= 12 或 tanα=-2．
因为角 α是第一象限角，所以 tanα= 12 ．
选②
因为 sinα= 5 ，所以 cos2α= 1- sin2α= 4 ，即 cosα=± 2 55 5 5 ．
因为角 α是第一象限角，所以 cosα= 2 55 ，
则 tanα= sinα = 1cosα 2 ．
(2)
sin 2α+ π2 + cos α+ π cos α+
3π
2 = cos2α- cosαsinα
= cos
2α- sin2α- cosαsinα 1- tan2= α- tanα ,
sin2α+ cos2α tan2α+ 1
2
1 1- tan2α- tanα 1-
1
2 -
1
因为 tanα= 2 ，所以 =
2 1
tan2α+ 1 1
2 = 5 ，
2 + 1
即 sin 2α+ π2 + cos α+ π cos α+
3π = 12 5 ．
21.(2022· ) tanα= 1 α∈ 0, π β∈ π北京市第九中学高一期中 已知 2 ， 2 ， 2 ,π ，求
(1)求 sinα的值；
( ) 1+ 2sin π- α cos -2π- α 2 求 的值；
sin2 -α - sin2 5π2 - α
(3)若 sin 10 α+ β = 10 ，求 cosβ的值.
【答案】(1) 55 (2) - 3 (3)
7 2
10
【解析】
小问 1：由三角函数基本关系式即可求值，这里要注意角的范围；
小问 2：先由诱导公式对原式进行化简，然后利用齐次式对式子进行求值即可；
小问 3：确定角的范围以后，用已知角来拼凑出所求的角，再利用三角函数恒等变换求值即可.
(1)
2 5 2 5
tanα= sinα 1cosα = 2 ，解得 cosα= 5 cosα=- 或 5 sin2α+ cos2α= 1 sinα= 5 5 sinα=- 55
cosα= 2 5
又∵ α∈ 0, π ，∴ 52 ，即 sinα=
5 .
sinα= 5 55
(2)
∵ 1+ 2sin π- α cos -2π- α = 1+ 2sinαcosα = (sinα+ cosα)
2
2
sin2 -α - sin2 5π - α sin α- cos
2α (sinα+ cosα) (sinα- cosα)
2
= sinα+ cosα tanα+ 1sinα- cosα = tanα- 1 ，
1+ 1
又∵ tanα= 1 ，∴ 原式= 22 1 =-3
2 - 1
(3)
∵ α∈ 0, π2 ，β∈
π
2 ,π ，∴ α+ β∈
π
2 ，
3π
2 ，
又∵ sin 10 π α+ β = 10 > 0，∴ α+ β∈ 2 ,π ，
2
则 cos α+ β 3 10 = 1- sin2 α+ β = 1- 1010 = 10 .
∴ cosβ= cos[(α+ β) - α]= cos(α+ β)cosα+ sin(α+ β)sinα
= 3 10 2 5 10 5 7 210 × 5 + 10 × 5 = 10 .
22.(2019·黑龙江· 3tan12°-3哈尔滨三中高三阶段练习 (文)) 1 求 ° - 2 ° 的值；sin12 1 2sin 12
2 已知 α∈ 0, π ,β∈ 3π4 2 ,2π
1 1
，tan α- β = 2 ，tanβ=- 7 ，求 2α- β的值．
【答案】(1) -8 3． (2) - 7π4 ．
【解析】
1 以切化弦、降幂、二倍角等的原则化简．
2 2α- β= α+ α- β ，α= α- β + β，并判断 2α- β的范围是 -2π,-π ．
【详解】
3sin12°-3cos12°
解：1 原式= cos12° = 2 3sin -48° -2 3 = =-8 3．
sin12°cos24° sin24°cos24 1
2 4
tanα+ tan α- β
2 tan 2α- β = ，
1- tanαtan α- β
1 1
= tan α- β + tanβ
-
又 tanα tan α- β+ β = = 2 7 1
1- = ，tan α- β tanβ 1+ 1 314
1 + 1
∴ tan 2α- β = 3 2 1 = 1，∵ α∈ 0,
π
4 ,β∈
3π
2 ,2π ，1- 6
∴ 2α- β∈ -2π,-π ，则 2α- β=- 7π4 ．
【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系式的应用三角函数化简求值，考查计算能力，是基础题．
23.(2020·全国·高三专题练习)在ΔABC中，满足 sin2A- cos2B+ 2sinAsinB=-cos2C．
(1)求C；
( ) = 3 2 cos α+A cos α+B 2 设 cosAcosB 25 ， = ，求 tanα的值.cos2α 5
【答案】(1) 3π4 (2)1 或 4
【解析】
(1)先利用平方关系将余弦化为正弦，再结合正余弦定理化简可得C .
(2)由 (1)结合两角和与差的余弦公式及同角基本关系式将已知化简整理成关于正切的二次方程，解之即
可.
【详解】
(1) ∵ cos2B= 1- sin2B，cos2C= 1- sin2C，∴ sin2A- cos2B+ 2sinAsinB=-cos2C变形为 sin2A- (1-
sin2B) + 2sinAsinB=- (1- sin2C)，
即 sin2A+ sin2B+ 2sinAsinB= sin2C，
利用正弦定理可得：a2+ b2+ 2ab= c2，由余弦定理可得 cosC=- 22 ，即C=
3π
4 .
(2)由 (1)可得 cos(A+B) = 2 ，A+B= π2 4 ，
= cos(A+B) + cos(A-B)又 cosAcosB 2 =
3 2
5 ，可得 cos(A-B) =
7 2
10 ，
cos 2α+ π + 7 2
( + ) ( + )= cos(2α+A+B) + cos(A-B)同时 cos α A cos α B 4 102 = 2 ，
π 7 2 2 7 2
∴ cos(α+A)cos(α+B)
cos 2α+ 4 + 10 2 cos2α- sin2α+= = 10
2cos2α 2cos2α 2cos2α
2
2 cos
2α- sin2α- 2sinαcosα+ 7 210 (cos
2α+ sin2α)
=
2cos2α
6 2
5 cos
2α+ 2 2
= 5
sin α- 2sinαcosα
2cos2α
= 3 2 + 2 tan2α- 2 tan α= 25 10 2 5 ，
∴ tan2α- 5tanα+ 6= 2，
∴ tan α= 1 或 4.
【点睛】本题考查了正余弦定理的应用，考查了两角和差的余弦公式的应用，考查了利用同角基本关系式处
理齐次式的技巧，考查了学生的运算能力及逻辑推理能力，属于难题.三角恒等变换
【考点预测】
知识点一．两角和与差的正余弦与正切
① sin(α± β) = sinαcosβ± cosαsinβ；
② cos(α± β) = cosαcosβ sinαsinβ；
tanα± tanβ
③ tan(α± β) = ；
1 tanαtanβ
知识点二．二倍角公式
① sin2α= 2sinαcosα；
② cos2α= cos2α- sin2α= 2cos2α- 1= 1- 2sin2α；
③ tan2α= 2tanα ；
1- tan2α
知识点三：降次 (幂)公式
sinαcosα= 12 sin2α;sin
2α= 1- cos2α2 ;cos
2α= 1+ cos2α2 ;
知识点四：半角公式
sin α2 =±
1- cosα α 1+ cosα
2 ;cos 2 =± 2 ;
tan α = sinα 1- cosα2 1+ cosα = sina .
知识点五．辅助角公式
asinα+ bcosα= a2+ b2sin(α+ ) ( sin = b cos = a tan = b其中 ， ， )．
a2+ b2 a2+ b2 a
【方法技巧与总结】
1. 两角和与差正切公式变形
tanα± tanβ= tan(α± β) (1 tanαtanβ)；
= tanα+ tanβ = tanα tanβtanα tanβ 1
tan(α+ β) tan( ) 1．α β
2. 降幂公式与升幂公式
sin2α= 1 cos2α cos2α= 1+ cos2α2 ； 2 ；sinαcosα=
1
2 sin2α；
1+ cos2α= 2cos2α；1 cos2α= 2sin2α；1+ sin2α= (sinα+ cosα)2；1 sin2α= (sinα cosα)2．
3. 其他常用变式
sin2α= 2sinαcosα = 2tanα cos2α= cos
2α sin2α = 1 tan
2α tan α = sinα = 1 cosα； ； ．
sin2α+ cos2α 1+ tan2α sin2α+ cos2α 1+ tan2α 2 1+ cosα sinα
3. 拆分角问题：① α= 2 α2 ；α= (α+ β) - β；② α= β- (β- α)；③ α=
1
2 [(α+ β) + (α- β)]；
④ β= 1 [(α+ β) - (α- β)] π + α= π π2 ；⑤ 4 2 - 4 - α ．
π π
注意 特殊的角也看成已知角，如 α= 4 - 4 - α ．
【题型归纳目录】
题型一：两角和与差公式的证明
题型二：给式求值
题型三：给值求值
题型四：给值求角
题型五：正切恒等式及求非特殊角
【典例例题】
题型一：两角和与差公式的证明
例1.(2022·山西省长治市第二中学校高一期末) (1)试证明差角的余弦公式 C(α-β)：cos(α- β) = cosαcosβ+
sinαsinβ；
(2)利用公式C(α-β)推导：
①和角的余弦公式C(α+β)，正弦公式S(α+β)，正切公式T(α+β)；
②倍角公式S(2α)，C(2α)，T(2α).
例2.(2022·云南·昭通市第一中学高三开学考试 (文))已知以下四个式子的值都等于同一个常数
sin226 + cos234 - 3sin26 cos34 ；
sin239 + cos221 - 3sin39 cos21 ；
sin2 -52 + cos2112 - 3sin -52 cos112 ；
sin230 + cos230 - 3sin30 cos30 .
(1)试从上述四个式子中选择一个，求出这个常数.
(2)根据 (1)的计算结果，推广为三角恒等式，并证明你的结论.
例3.(2022·陕西省商丹高新学校模拟预测 (理))如图带有坐标系的单位圆O中，设∠AOx= α，∠BOx= β，
∠AOB= α- β，
(1)利用单位圆 向量知识证明：cos(α- β) = cosαcosβ+ sinαsinβ
(2)若 α∈ π2 ,π ，β∈ 0,
π
2 ，cos(α- β) =-
4
5 ，tanα=-
5
12 ，求 cosβ的
值
例4.(2022·全国·高三专题练习)如图，考虑点A(1,0)，P1(cosα,sinα)，P2(cosβ,-sinβ)，P(cos(α+ β),sin(α+ β)
)，从这个图出发.
(1)推导公式：cos(α+ β) = cosαcosβ- sinαsinβ；
(2)利用 (1)的结果证明：cosαcosβ= 12 [cos(α+ β) + cos(α- β)
]，并计算 sin37.5° cos37.5°的值.
题型二：给式求值
例5.(2022· · 2 6 10 3π 3π全国 高三专题练习)已知 sinα= 7 ，cos α- β = 5 ，且 0< α< 4 ，0< β< 4 ，则 sinβ=
( )
A. 9 15 B. 11 1035 35 C.
15 10
35 D. 35
例6.(2020·四川·乐山外国语学校高三期中 (文))已知 sin 15°- α2 = tan210°，则 sin 60°+α 的值为 ( )
A. 13 B. -
1
3 C.
2 2
3 D. - 3
例7.(2020·全国· π 7高三专题练习)若 cos 3 - 2x =- 8 ，则 sin x+
π
3 的值为 ( ).
A. 14 B.
7 C. ± 18 4 D. ±
7
8
8.( π 3+ 1 π例 多选题) (2022·全国·高三专题练习)设 sin β+ 6 + sinβ= 2 ，则 sin β- 3 = ( )
A. 3 1 12 B. 2 C. - 2 D. -
3
2
例9.(2022·全国·模拟预测 (文))已知 α,β∈ 0, π2 ，cos2β=
3
5 ，cos
4
α+ β = 5 ，则 cosα=__________
_.
例10.(2022·上海静安· π 3模拟预测)已知 sin α+ 4 =- 2 ，则 sin2α的值为_____________．
例11.(2022·江苏泰州·模拟预测)若 θ= θ π0时，f θ = sin2θ- cos2θ取得最大值，则 sin 2θ0+ 4 =______．
题型三：给值求值
1- tan α
例12.(2022· 3 3π福建省福州第一中学三模)若 sinα=- 25 ，且 α∈ π, 2 ，则 = ( )1+ tan α2
A. 12 B. -
1
2 C. 2 D. 2
13.(2022· · ) sin π - x = 1例 湖北武汉 模拟预测 已知 6 4 ，则 cos 2x-
π
3 = ( )
A. - 7 B. 7 C. - 158 8 4 D.
15
4
例14.(2022·湖北· π π π模拟预测)已知 α∈ - 2 , 2 ，且 cos α- 4 =
1
2 ，则 cos2α= ( )
A. - 32 B. ±
3
2 C.
1 D. 32 2
15.(2022· · ) sin π例 全国 模拟预测 已知 3 + α =
1
5 ，则 cos 2α-
π
3 = ( )
A. 2325 B. -
23
25 C.
2 5
5 D. -
2 5
5
例16.(2022·黑龙江·哈师大附中三模 (文))已知 sin 45°+α 3 = 5 ，45° < α< 135°，则 cos2α= ( )
A. 2425 B. -
24 C. 725 25 D. -
7
25
17.(2022· · ) sin θ- π 1例 广东茂名 模拟预测 已知 6 = 2 ，则 cos θ+
π
3 = ( )
A. - 3 B. - 12 2 C.
1
2 D.
3
2
例18.(多选题) (2022· · ) π江苏 高三专题练习 已知 4 ≤ α≤ π，π≤ β≤
3π 4 2
2 ，sin2α= 5 ，cos(α+ β) = - 10 ，则
( )
A. cosα=- 1010 B. sinα- cosα=
5
5 C. β- α=
3π
4 D. cosαcosβ=-
2
5
题型四：给值求角
例19.(2022· π全国·模拟预测)已知 6 < α<
2π
3 ，4 3sin
π
15 sin α-
π
3 + 4sin
π π π
15 cos 3 - α + tan 15 = 3，则
α=______．
例20.(2022 ·河南 ·南阳中学高三阶段练习 (文 ) ) 已知 sin π - α = - 5 ,sin 3π + β = 104 5 4 10 ，且 α ∈
π , 3π4 4 ,β∈ 0,
π
4 ，求 α- β的值为_____．
sinα- sin π
例21.(2022·河北石家庄·一模)已知角 α∈ 0, π tan π = 122 ， 12 ，则 α=______.cosα+ cos π12
例22.(2022· π上海市大同中学高三开学考试)若 α∈ 0,π ，且 cos2α= sin 4 - α ，则 α的值为_________
__.
例23.(2022· 5 10 π π全国·高三专题练习)若 sin2α= 5 ，sin β- α = 10 ，且 α∈ 4 , 2 β∈
π, 3， 2 π

，则 α+ β的值
是______．
24.(2022· · ( )) sin2α= 5 sin β- α = 10 π例 吉林 延边州教育学院一模 理 若 5 ， 10 ，且 α∈ 4 ,π ，β∈
π, 3 π 2 ，则
α+ β= ( )
A. 7π B. π C. 4π4 4 3 D.
5π
3
例25.(2022·上海交大附中高三开学考试)已知 α、β都是锐角，且 3sin2α+ 2sin2β= 1，3sin2α- 2sin2β= 0，那
么 α、β之间的关系是 ( )
A. α+ β= π4 B. α- β=
π
4 C. α+ 2β=
π
4 D. α+ 2β=
π
2
例26.(2022· 1 1江苏省江阴高级中学高三开学考试)已知 tanα= 3 ,tanβ=- 7 ,且 α,β∈ (0,π)，则 2α- β= ( )
A. π π4 B. - 4 C. -
3π
4 D. -
3π π
4 或 4
题型五：正切恒等式及求非特殊角
例27.(2022·湖北·襄阳四中模拟预测)若角 α的终边经过点 P sin70°,cos70° ，且 tanα + tan2α +mtanα
tan2α= 3，则实数m的值为 ( )
A. - 3 B. - 33 C.
3
3 D. 3
例28.(2021· 3重庆八中高三阶段练习)sin10°+ 4 tan10° = ( )
A. 14 B.
3 1 3
4 C. 2 D. 2
1- 3tan10°
例29.(2020·重庆一中高三阶段练习)求值： = ( )
1- cos20°
A. 1 B. 2 C. 3 D. 2 2
例30.(2022·全国·高三专题练习) tan30°+tan70° sin10° =___________.
例31.(2022· 3 1江苏南通·高三期末)若 1+ = sinα，则 α的一个可能角度值为__________.tan80
32.(2022· · ) 1- tan75°例 江苏扬州 模拟预测
1+ =___________．tan75°
例33.(2022·贵州黔东南·一模 (文))若 tan α+ β = 1 3 ，tan a- β =
1
6 ，则 tan2α=___________.
例34.(2022·山东·青岛二中高三开学考试)tan10°+tan35°+tan10°tan35° =______．
【过关测试】
一、单选题
1. (2022·四川省泸县第二中学模拟预测 (文))已知角 α与角 β的顶点均与原点O重合，始边均与 x轴的非负
半轴重合，它们的终边关于 x轴对称．若 cosα= 35 ，则 cos α+ β cos α- β = ( )
A. - 725 B.
1
5 C. -
1
5 D.
7
25
2. (2022·全国·模拟预测 (理))已知 sinα+ cosβ= 1，cosα+ sinβ= 3，则 cos(α- β) = ( )
A. 0 B. 1 C. 32 2 D. 1
3. (2022·青海· π 1大通回族土族自治县教学研究室三模 (文))已知 tan α+ 4 = 3，tan α+ β = 3 ，则 tanβ=
( )
A. - 1 B. 17 7 C. 1 D. 2或 6
4. (2022·湖北·黄冈中学模拟预测)公元前 6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作
m n
图，发现了黄金分割约为 0.618，这一数值也可以表示为m= 2sin18°，若m2+n= 4，则 2 °- = ( )2sin 27 1
A. - 4 B. - 2 C. 2 D. 4
5. (2022· π山东烟台·三模)若 2cos2 α- 3 = 1+ cos2α，则 tan2α的值为 ( )
A. - 3 33 B. 3 C. - 3 D. 3
6. (2022·全国·模拟预测 (文))设角 α，β的终边均不在坐标轴上，且 tan α- β + tanβ= tanα，则下列结论正
确的是 ( )
A. sin α+ β = 0 B. cos α- β = 1 C. sin2α+ sin2β= 1 D. sin2α+ cos2β= 1
7. ( · · 1+ tanα+ tanβ- tanαtanβ2022 河南 通许县第一高级中学模拟预测 (文))已知 α+ β= 15 ，则 - - - = ( )1 tanα tanβ tanαtanβ
A. - 33 B.
3
3 C. 1 D. 3
β
8. (2022 ·全国 ·高三专题练习 ) 若 0 < α < π2 ,-
π
2 < β < 0 ,cos
π
4 + α =
1
3 ,cos π4 - 32 = 3 ，则
β
cos α+ 2 = ( )
A. 33 B. -
3 C. 5 33 9 D. -
6
9
二、多选题
9. (2022·海南海口·二模)已知 α∈ β π,2π ，sinα= tanα2 = tan 2 ，则 ( )
A. tanα= 3 B. cosα= 12 C. tanβ= 4 3 D. cosβ=
1
7
10.(2022·河北邯郸·二模) 1下列各式的值为 2 的是 ( ).
tan π
A. sin 17π6 B. sin
π cos π12 12 C. cos
2 π - sin2 π12 12 D.
8
1- tan2 π8
11. (2022·重庆· π π西南大学附中模拟预测)已知 α，β，γ∈ 0, 2 ，且 α+ β+ γ= 2 ，则 ( )
A. 若 sinα+ cosα= 2，则 tanα= 1
B. 若 tanα= 2，则 sin(β+ γ) = 55
C. tanα，tanβ可能是方程 x2- 6x+ 7= 0的两根
D. tanαtanβ+ tanβtanγ+ tanβtanα= 1
12.(2022· 5 4重庆巴蜀中学高三阶段练习)已知 cos α+ β =- 5 ，cos2α=- 5 ，其中 α,β为锐角，则以下命题
正确的是 (　　)
A. sin2α= 35 B. cos α- β =
2 5
5 C. cosαcosβ=
3
10 D. tanαtanβ=
1
3
三、填空题
13.(2022·浙江·高考真题)若 3sinα- sinβ= 10,α+ β= π2 ，则 sinα=__________，cos2β=______
___．
14.(2022· π π山东师范大学附中模拟预测)已知 0< α< 2 ，sin 4 - α =
2 sinα
6 ，则 1+ tanα =________.
15.(2022· ) 3cos 3π湖北省仙桃中学模拟预测 已知 2 - α + cos(π+ α) =-1 cos 2α-
2π
，则 3 =______
_______ .
16.(2022·陕西·宝鸡中学模拟预测)sin θ+ 75 + cos θ+ 45 - 3cos θ+ 15 =__________.
四、解答题
17.(2022· π π 1江苏南京·模拟预测)已知 0< α< 2 ，cos α+ 4 = 3 ．
(1)求 sinα的值；
(2)若- π2 < β<
β
0，cos π 32 - 4 = 3 ，求 α- β的值．
18.(2022·江西· π高一期中)已知角 α为锐角，2 < β- α< π
α 1 7 2
，且满足 tan 2 = 3 ，sin β- α = 10
(1)证明：0< α< π4 ；
(2)求 β.
19.( · · sinθ(1+ sin2θ)2022 河南 唐河县第一高级中学高一阶段练习) (1)已知 tanθ=-2，求 的值；
sinθ+ cosθ
(2) 1 1已知 tan(α- β) = 2 ，tanβ=- 7 ，且 α，β∈ (0,π)，求 2α- β．
20.(2022· 4江西·高一阶段练习)在① tan2α= 3 ，② sinα=
5
5 这两个条件中任选一个，补充到下面的问题中，
并解答．已知角 α是第一象限角，且 ．
(1)求 tanα的值；
(2)求 sin 2α+ π2 + cos α+ π cos α+
3π
2 的值．
注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．
21.(2022· 1 π π北京市第九中学高一期中)已知 tanα= 2 ，α∈ 0, 2 ，β∈ 2 ,π ，求
(1)求 sinα的值；
( ) 1+ 2sin π- α cos -2π- α 2 求
sin2 -α - sin2 5π
的值；
2 - α
(3)若 sin α+ β = 10 10 ，求 cosβ的值.
22.(2019· 3tan12°-3黑龙江·哈尔滨三中高三阶段练习 (文)) 1 求 的值；
sin12° 1- 2sin212°
2 已知 α∈ 0, π4 ,β∈
3π
2 ,2π ，tan α- β =
1
2 ，tanβ=-
1
7 ，求 2α- β的值．
23.(2020·全国·高三专题练习)在ΔABC中，满足 sin2A- cos2B+ 2sinAsinB=-cos2C．
(1)求C；
( ) = 3 2 cos α+A cos α+B 2 设 cosAcosB 25 ， = ，求 tanα的值.cos2α 5

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