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第三章 函数的概念与性质
3.3 幂函数
学案
一、学习目标
1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式.
2.通过具体实例，理解，，，，的图象与性质.
3.理解幂函数在第一象限的图象特征，能利用幂函数的单调性比较大小.
二、知识归纳
1.幂函数：一般地，函数叫做幂函数，其中x是自变量，是常数.
2.幂函数，，，，的图象如图：
3.幂函数，，，，的性质如下表：
幂函数
定义域 R R R
值域 R R
单调性 增 在上 单调递增， 在上 单调递减 增 增 在上 单调递增， 在上 单调递减
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
公共点 都经过点
三、习题检测
1.若幂函数的图像经过点，则( )
A. B. C.3 D.9
2.已知幂函数在区间上是增函数，则a的值为( )
A.3 B.-1 C.-3 D.1
3.已知幂函数的图象过点，则等于( )
A. B.0 C. D.1
4.下列函数中，是偶函数且在上为减函数的是( )
A. B. C. D.
5.如图，下列3个幂函数的图象，则其图象对应的函数可能是( )
A.①，②，③ B.①，②，③
C.①，②，③ D.①，②，③
6.已知幂函数是偶函数，则实数m的值是( )
A.4 B.-1 C. D.4或-1
7.在同一坐标系内，函数和的图象可能为( )
A. B. C. D.
8.（多选）已知幂函数为偶函数，若，则实数a的值可以为( )
A. B.1 C. D.2
9.（多选）已知函数的图象经过点，则下列命题正确的有( )
A.函数为增函数
B.函数为偶函数
C.若，则
D.若，则
10.已知幂函数，若，则a的取值范围是__________.
11.已知幂函数的图象不经过原点，则实数m的值为_________.
12.已知幂函数在上为减函数.
（1）试求函数解析式；
（2）判断函数的奇偶性并写出其单调区间.
答案以及解析
1.答案：B
解析：设幂函数，其图像经过点，则，解得.，.故选B.
2.答案：A
解析：由题意知，解得或，又在区间上是增函数，所以，故选A.
3.答案：B
解析：是幂函数，，即，又其图象过点，，解得，.故选B.
4.答案：C
解析：是偶函数，在上为增函数，故A不正确；是奇函数，故B不正确；的定义域关于原点对称，且满足，是偶函数，且在上为减函数，故C正确；是奇函数，故D不正确.故选C.
5.答案：A
解析：是反比例函数，其对应图象为①；的定义域为，应为图②；的定义域为R且为奇函数，故应为图③.故选A.
6.答案：A
解析：已知函数是幂函数，则，解得或.
当时，不是偶函数；当时，是偶函数.综上，实数m的值是4，故选A.
7.答案：C
解析：若，则在上是增函数，在R上是增函数且其图象与y轴的交点在y轴的负半轴上，选项C可能，选项B不可能；若，则在上是减函数，在R上是减函数且其图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，选项A，D都不可能.故选C.
8.答案：AC
解析：因为函数是幂函数，所以，解得或.当时，是奇函数，不符合题意，舍去；当时，是偶函数，符合题意.故由得，，又因为在上是减函数，所以，解得或.故选AC.
9.答案：ACD
解析：因为函数的图象经过点，所以，得，所以.
显然在定义域上为增函数，故A正确；的定义域为，所以不具有奇偶性，故B不正确；当时，，即，故C正确；当时，，即，故D正确.故选ACD.
10.答案：
解析：是定义域为的递减函数，，则，解得.
11.答案：3
解析：依题意得，解得或.当时，，其图象经过原点，不符合题意；当时，，其图象不经过原点，符合题意，因此实数m的值为3.
12.解析：（1）由题意得，，解得或，
经检验当时，函数在区间上无意义，
所以，则.
（2），要使函数有意义，则，
即定义域为，其关于原点对称.
，
该幂函数为奇函数.
当时，根据幂函数的性质可知在上为减函数，
函数是奇函数，在上也为减函数，故其单调减区间为，.

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