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第三章 函数的概念与性质
3.4 函数的应用（一）
学案
一、学习目标
1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.
2.体会学习过的一次函数、二次函数、幂函数、分段函数等一些基本函数模型的广泛运用.
3.能运用常见的函数模型解决现实生活中的简单问题.
二、知识归纳
1.几类常见的函数模型：
（1）一次函数模型：.
（2）反比例函数模型：.
（3）二次函数模型：.
（4）幂函数模型：(是常数).
（5）分段函数模型：以上两种或多种模型的组合.
2.利用函数模型解决实际问题的步骤：（1）提炼问题；（2）收集数据；（3）分析数据；（4）建立函数模型；（5）求解、检验、还原.
三、习题检测
1.某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为，其中x代表拟录用人数，y代表面试人数，若面试人数为60，则该公司拟录用人数为( )
A.15 B.40 C.25 D.130
2.某健身俱乐部推出两种健身收费方式：A种方式是会员费100元，B种方式是非会员0元.一年中去俱乐部健身的天数t（天）与花费的费用S（元）的函数关系如图所示，当去俱乐部健身100天时，这两种方式花费相差( )
A.100元 B.元 C.150元 D.元
3.拟定从甲地到乙地通话m分钟的话费（单位：元）由函数表示，其中是不小于m的最小整数，例如，，则从甲地到乙地通话5.5分钟的话费为( )
A.3.71元 B.4.24元 C.4.7元 D.7.95元
4.从装满20 L纯酒精的容器中倒出1 L酒精，然后用水加满并摇匀，再倒出1 L酒精溶液，再用水加满，照这样的方法继续下去，如果倒第k次时共倒出纯酒精x L，倒第次时共倒出纯酒精，则的解析式是( )
A. B.
C. D.
5.运动员推出铅球后，铅球在空中的飞行路线可以看作抛物线的一部分，铅球在空中飞行的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系.下表记录了铅球飞行中x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该铅球飞行到最高点时，水平距离为( )
x（单位：m） 0 3 6
y（单位：m） 1.8 3 2.7
A.2.5 m B.3 m C.3.9 m D.5 m
6.若某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为（万元），每1万件售价是15万元，为获取最大利润，该企业一个月应生产该商品数量为________万件，获取的最大利润为______万元.
7.某数学练习册，定价为40元.若一次性购买超过9本，则每本优惠5元，并且赠送10元代金券；若一次性购买超过19本，则每本优惠10元，并且赠送20元代金券.某班购买本，则总费用与x的函数关系式为_________(代金券相当于等价金额).
8.某公司为了业务发展制订了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额x为16万元时，奖励1万元；销售额x为64万元时，奖励4万元.若公司拟定的奖励模型为.某业务员要得到10万元奖励，则他的销售额应为_______万元.
9.十一长假期间，某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满.当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲.宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用（人工费，消耗费用，等等）.受市场调控，每个房间每天的房价不得高于340元.设每个房间每天的房价增加x元（且x为10的整数倍）.
（1）设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；
（2）设宾馆一天的利润为W元，求W与x的函数关系式；
（3）一天订住多少个房间时，宾馆每天的利润最大？最大利润是多少元？
10.某市居民生活用水收费标准如下：
用水量x/t 每吨收费标准/元
不超过2 t的部分 m
超过2 t不超过4 t的部分 3
超过4 t的部分 n
已知某用户1月份用水量为8 t，交纳的水费为33元；2月份用水量为6 t，交纳的水费为21元.设用户每月交纳的水费为y元.
（1）写出y关于x的函数解析式；
（2）若某用户3月份用水量为3.5 t，则该用户需交纳的水费为多少元？
（3）若某用户希望4月份交纳的水费不超过24元，求该用户最多可以用多少水.
答案以及解析
1.答案：C
解析：若，则，不合题意；若，则，满足题意；若，则，不合题意.故该公司拟录用25人.故选C.
2.答案：D
解析：设A种方式对应的函数解析式为，B种方式对应的函数解析式为.
当时，，所以，
当时，（元）.故选D.
3.答案：B
解析：由是不小于m的最小整数可得，
所以.故选B.
4.答案：A
解析：因为倒第k次时共倒出纯酒精x L，所以第k次后容器中含纯酒精，
第次倒出的纯酒精是，所以.故选A.
5.答案：C
解析：把，，分别代入中，可得，解得，，，则，当时，y取得最大值.
故可推断出该铅球飞行到最高点时，水平距离为3.9 m.故选C.
6.答案：27，213
解析：利润，当时，有最大值213.
7.答案：
解析：当时，；当时，；当时，.所以.
8.答案：256
解析：依题意得，解得，所以.当时，，解得.故某业务员要得到10万元奖励，他的销售额应为256万元.
9.解析：（1）（，且x是10的整数倍）.
（2）（，且x是10的整数倍）.
（3）由（2）得，
当时，W随x的增大而增大，
又，当时，，则.
故一天订住34个房间时，宾馆每天的利润最大，最大利润是10880元.
10.解析：（1）由题可得，
当时，；
当时，，代入得，解得
关于x的函数解析式为.
（2）当时，.
该用户3月份需交纳的水费为7.5元.
（3）令，解得.
该用户最多可以用6.5 t水.

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