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第二章一元二次方程
4用因式分解法求解一元二次方程
一、教学目标
1.理解用因式分解法解一元二次方程的依据.
2.能用因式分解法(提公因式法、公式法)求解某些数字系数的一元二次方程.
3.能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法.
4.体验解决问题的方法多样性，提升学习数学的兴趣，并建立学好数学的自信心.
二、教学重难点
重点：能用因式分解法(提公因式法、公式法)求解某些数字系数的一元二次方程.
难点：能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法.
三、教学用具
电脑、多媒体、课件、教学用具等
四、教学过程设计
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
环节一 创设情境 【复习回顾】 教师活动：先让学生尝试回顾什么是因式分解，因式分解的方法有哪些. 想一想：什么是因式分解？ 预设：把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做因式分解. 追问：你知道因式分解有哪些方法吗？ 预设： ①提公因式法:ma+mb+mc=m(a+b+c) ②公式法：平方差公式a2–b2=(a+b)(a–b) 完全平方公式a±2ab+b=(a±b)2 ③十字相乘法:x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b) 思考、并举手回答. 复习什么是因式分解及因式分解的方法，为新课的学习做准备.
环节二探究新知 【探究】 教师活动：通过列一元二次方程解决一个简单的实际问题，引导学生使用不同的方法求解此方程，并与书上三种解题方法进行对比，理解公式法和配方法是解一元二次方程的通法，同时引出更加简便的方法–用因式分解法解一元二次方程. 问题一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果能，这个数是几？你是怎样求出来的？ 预设：小颖、小明、小亮都设这个数为x， 根据题意，可得方程: x2=3x. 想一想，你知道如何解此方程吗？ 小颖、小明、小亮都解了此方程，他们的解法各不相同，你觉得谁做的对呢？ 小颖的解法： 由方程x2=3x，得x2–3x=0. 因此. x1=0,x2=3. 所以这个数是0或3. 追问：她做得对吗？ 预设：小颖的解法是正确的，她用公式法解方程,是通用的方法. 小明的解法： 由方程x2=3x，两边同时约去x，得.x=3. 所以这个数是3. 追问：他做得对吗？ 预设：小明的解法是错误的，约去x的时候必须保证x≠0，他的做法漏掉了根为0的情况. 小亮的解法： 由方程x2=3x， 得x2–3x=0， 即x(x–3)=0. 于是x=0，或x–3=0. 因此x1=0,x2=3, 所以这个数是0或3. 追问：他做得对吗？ 预设：小明的解法是正确的，而且比小颖的方法更简单. 思考：如果ab=0，那么a=0或b=0. 说一说，你是怎么理解这句话的？ 预设：“或”是“二者中至少有一个成立”的意思，包括两种情况，二者同时成立；二者有一个成立.“且”是“二者同时成立”的意思. 归纳：当一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以用因式分解的方法求解. 这种用因式分解解一元二次方程的方法称为因式分解法. 设未知数列出方程 尝试自己解 对比小颖、小明、小亮解法，说一说她们解法的正确性. 思考回答问题 自由说一说 通过实际问题列出方程，为学生尝试已学的基本方法进行解题做准备. 给出了三种不同的解法，让学生学会利用已学的基本方法验证正确性，并引出新的方法. 明确因式分解的概念.
环节三应用新知 【典型例题】 教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再在小组内交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程. 例解下列方程： (1)5x2=4x；(2)x(x–2)=x–2. 分析：(1)移项：5x2–4x=0. 提公因式x：x（5x–4）=0. 等价于：x=0或5x–4=0. 解一元一次方程：x1=0，x2=. （2）移项：x(x–2)–(x–2)=0. 提公因式(x–2)：(x–2)(x–1)=0. 等价于：x–2=0或x–1=0. 解一元一次方程：x1=2，x2=1. 解：（1）原方程可变形为5x2–4x=0， x（5x–4）=0. x=0或5x–4=0. 解得x1=0，x2=. (2)原方程可变形为x(x–2)–(x–2)=0. (x–2)(x–1)=0. x–2=0或x–1=0. x1=2，x2=1. 【归纳】 用因式分解法解一元二次方程的步骤：①方程右边化为0； ②将方程左边分解成两个一次因式的乘积; ③至少有一个因式为零，得到两个一元一次方程; ④两个一元一次方程的解就是原方程的解. 【想一想】你能用因式分解法解方程x2–4=0，(x+1)2–25=0吗？ 解：原方程可变形为(x–2)(x+2)=0 x–2=0或x+2=0 x1=2，x2=–2. 原方程可变形为（x+1+5)(x+1–5)=0 （x+6)(x–4)=0 x–4=0或x+6=0 x1=4，x2=–6. 明确例题的做法 自由说一说 独立完成 让学生在探究过程中进一步理解用公式法解一元二次方程的基本思路及步骤，培养学生的应用意识. 总结归纳用因式分解法解一元二次方程的步骤，培养学生的概括能力. 巩固用因式分解法解一元二次方程.
环节四巩固新知 教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解. 1.用因式分解法解下列方程： (1)(x+2)(x–4)=0； (2)4x(2x+1)=3(2x+1). 2.一个数平方的2倍等于这个数的7倍，求这个数. 3.用因式分解法解下列方程： (1)(4x–1)(5x+7)=0； (2)x(x+2)=3x+6； (3)(2x+3)2=4(2x+3)； (4)2(x–3)2=x2–9. 答案： 1.解：(1)(x+2)(x–4)=0. x+2=0或x–4=0. x1=–2，x2=4. (2)原方程可变形为 4x(2x+1)–3（2x+1）=0. (2x+1)（4x–3）=0. 2x+1=0或4x–3=0. . 2.解:解：设这个数为x. 2x2=7x. 2x2–7x=0. x(2x–7）=0. . 3.解:(1)(4x–1)(5x+7)=0； 4x–1=0或5x+7=0. . (2)x(x+2)=3x+6； x(x+2)–3(x+2)=0. (x+2)(x–3)=0. x+2=0或x–3=0. x1=–2，x2=3. (3)(2x+3)2=4(2x+3)； (2x+3)2–4(2x+3)=0. (2x+3)(2x–1)=0. 2x+3=0或2x–1=0. . (4)2(x–3)2=x2–9. 2(x–3)2=(x+3)(x–3). 2(x–3)2–(x+3)(x–3)=0. (x–3)[2(x–3)–(x+3)]=0. (x–3)(x–9)=0. x–3=0或x–9=0. x1=3，x2=9. 自主完成练习，然后集体交流评价. 通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.
环节五课堂小结 思维导图的形式呈现本节课的主要内容： 学生尝试回顾本节课所讲的内容 通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.
环节六 布置作业 教科书第48页习题2.7第2、3题 学生课后自主完成. 通过课后作业，教师能及时了解学生对本节课知识的掌握情况，以便对教学进度和方法进行适当的调整.(共21张PPT)
4 用因式分解法求解一元二次方程
配套北师大版
学习目标
准备好了吗？一起去探索吧！
用因式分解法求解一元二次方程
1.理解用因式分解法解一元二次方程的依据.
2.能用因式分解法(提公因式法、公式法)解某些数字系数的一元二次方程.
3.能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法.
4.体验解决问题的方法多样性，提升学习数学的兴趣，并建立学好数学的自信心.
重点
难点
复习回顾
想一想：什么是因式分解？
把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做因式分解.
你知道因式分解有哪些方法吗？
①提公因式法：ma + mb + mc = m(a+b+c)
②公式法：平方差公式 a2–b2=(a+b)(a–b)
完全平方公式 a±2ab+b =(a±b)2
③十字相乘法:x2 +(a+b)x + ab =(x + a)(x +b)
本节课涉及
小颖、小明、小亮都设这个数为 x，
根据题意，可得方程 :
x2 = 3x.
问题 一个数的平方与这个数的 3 倍有可能相等吗？如果能，这个数是几？你是怎样求出来的？
探究
小颖、小明、小亮都解了此方程，他们的解法各不相同，你觉得谁做的对呢？
你知道如何解此方程吗？
探究
小颖的解法：
由方程 x2 = 3x，得 x2–3x = 0.
因此
x1 = 0，x2 = 3.
所以这个数是 0 或 3.
她做得对吗？
小颖的解法是正确的，用的是公式法，是通用的方法.
探究
小明的解法：
由方程 x2 = 3x，两边同时约去 x ，得.
x = 3.
所以这个数是 3.
他做得对吗？
小明的解法是错误的，约去x的时候必须保证x≠0，他的做法漏掉了根为0的情况.
探究
小亮的解法：
由方程 x2 = 3x，得 x2–3x = 0，即 x(x–3) = 0.
于是 x = 0，或 x –3 = 0.
因此 x1 = 0，x2 = 3.
所以这个数是 0 或 3.
他做得对吗？
小明的解法是正确的，而且比小颖的方法更简单.
由方程 x2 = 3x，得 x2–3x = 0，即 x(x–3) = 0.
于是 x = 0，或 x –3 = 0.
因此 x1 = 0，x2 = 3.
所以这个数是 0 或 3.
如果 ab = 0，
那么 a = 0 或 b = 0 .
想一想
“或”是“二者中至少有一个成立”的意思，包括两种情况：二者同时成立、二者有一个成立.
“且”是“二者同时成立”的意思.
说一说，你是怎么理解这句话的？
归纳
x2–3x = 0 x(x–3) = 0
当一元二次方程的一边是 0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以用因式分解的方法求解.
这种用因式分解解一元二次方程的方法称为因式分解法.
典型例题
例 解下列方程：
(1) 5x2 = 4x； (2) x(x–2)=x–2.
分析：(1)
5x2=4x
5x2–4x=0
移项
x(5x–4)=0
提公因式x
等价于
x=0或5x–4=0
x1=0，x2=
解一元一次方程
典型例题
例 解下列方程：
(1) 5x2 = 4x； (2) x(x–2)=x–2.
分析：(2)
x(x–2)=x–2
x(x–2)–(x–2)=0
移项
(x–2)(x–1)=0
提公因式(x–2)
等价于
x–1=0或x–2=0
x1=1，x2=2
解一元一次方程
典型例题
例 解下列方程：
(1) 5x2 = 4x； (2) x(x–2)=x–2.
解：(1)原方程可变形为
5x2 – 4x = 0 ，
x(5x – 4) = 0 ，
x = 0 ，或 5x–4 = 0.
(2)原方程可变形为
x(x–2) – (x–2) = 0 ，
(x–2)(x–1) = 0.
x–2 = 0 ，或 x–1= 0.
x1 = 2 ，x2 = 1.
用因式分解法解一元二次方程的步骤：
①方程右边化为______；
②将方程左边分解成两个__________的乘积；
③至少________因式为零，得到两个一元一次方程；
④两个__________________就是原方程的解.
0
一次因式
有一个
一元一次方程的解
归纳
想一想
你能用因式分解法解方程 x2–4=0，(x+1)2–25 = 0 吗？
x2–4 = 0
解：原方程可变形为
(x + 2)(x – 2) = 0.
x + 2 = 0 或 x –2 = 0.
x1 = –2，x2 = 2.
(x+1)2–25 = 0
解：原方程可变形为
(x +1+5)(x+1–5) = 0.
(x+6)(x–4) = 0.
x+6 = 0 或 x–4 = 0.
x1 = –6，x2 = 4.
抢答
随堂练习
1.用因式分解法解下列方程：
(1) (x + 2)(x – 4) = 0； (2) 4x(2x + 1) = 3(2x + 1).
解：(1)(x + 2)(x – 4) = 0
x+2=0 或x–4=0.
x1 = –2，x2 = 4.
(2) 原方程可变形为
4x(2x + 1) – 3(2x + 1) = 0.
(2x + 1)(4x –3) = 0.
2x + 1 = 0 或 4x–3 = 0.
抢答
2.一个数平方的 2 倍等于这个数 的 7 倍，求这个数.
解：设这个数为 x.
2x2 = 7x.
2x2 – 7x = 0.
x(2x – 7) = 0.
x = 0 或 2x –7 = 0.
随堂练习
抢答
用因式分解法解下列方程：
(1)(4x –1)(5x + 7) = 0； (2) x(x + 2) = 3x + 6；
解：(1)(4x –1)(5x + 7) = 0
4x –1= 0 或 5x + 7= 0.
(2)原方程可变形为
x(x + 2) = 3(x + 2).
x(x + 2) –3(x + 2) = 0.
(x + 2)(x –3) = 0.
x1 = –2，x2 =3.
随堂练习
抢答
用因式分解法解下列方程：
(3) (2x + 3)2 = 4(2x + 3)； (4) 2(x –3)2 = x2 –9.
(3)原方程可变形为
(2x+3)2 – 4(2x + 3)= 0.
(2x+3)(2x+3– 4)= 0.
2x + 3 = 0 或 2x–1 = 0.
(4)原方程可变形为
2(x – 3)2 = (x + 3)(x –3).
2(x – 3)2 – (x + 3)(x – 3) = 0.
(x – 3) [2(x – 3)–(x + 3)] = 0.
(x –3) (x – 9) = 0.
x1 = 3，x2 = 9.
随堂练习
用因式分解法求解一元二次方程
因式分解法：
当一元二次方程的一边是 0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以用因式分解的方法求解，这种解一元二次方程的方法称为因式分解法.
用因式分解法解一元二次方程的步骤：
①方程右边化为0；
②将方程左边分解成两个一次因式的乘积；
③至少有一个因式为零，得到两个一元一次方程；
④两个一元一次方程的解就是原方程的解.
教科书第48页习题2.7
第2、3题
再见

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