资源简介

实数
2.1 认识无理数
第1课时
一、教学目标
1.通过拼图活动，让学生感受无理数产生的实际背景和引入的必要性;
2.能判断给出的数是否为有理数，并能说出理由;
3.通过实践活动，体会到无理数在现实生活中大量存在;
4.感受无理数的广泛性，提高学生学习的自主性.
二、教学重难点
重点：通过拼图活动，让学生感受客观世界中无理数的存在
难点：能判断给出的数是否为有理数，并能说出理由.
三、教学用具
电脑、多媒体、课件、教学用具等
四、教学过程设计
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
环节一 创设情境 【复习回顾】 教师活动：提出问题让学生思考并回答，然后再给出答案. 问题：同学们还记得什么是有理数吗 预设答案：整数和分数统称为有理数. 追问：那整数分为哪些数？分数又为哪些数呢？ 预设答案：整数分为正整数、0、负整数，分数分为正分数、负分数. 追问：有理数是如何分类的呢？ 预设答案： 提出问题：除了有理数外还有没有其他的数呢？ 复习巩固有理数的概念和分类. 思考 温故知新，作必要的知识回顾，便于后续问题的说理，为本节课要学习的内容作准备.
环节二 探究新知 【合作探究】 教师活动：教师课件展示两个边长为1的小正方形，让学生通过不同的方法剪一剪，再拼起来组成一个大正方形，得到相应大正方形后再探索大正方形边长究竟是什么数，进而了解到除了有理数外还存在别的数. 问题：如下图是两个边长为1的小正方形，通过剪一剪、拼一拼，设法得到一个大正方形，你会吗？ 预设答案： 拼法一： 拼法二： 拼法三： 问题(1)设大正方形的边长为a，a满足什么条件？ 预设答案： 分析： 一个小正方形的面积为：S小正方形=1×1=1. S大正方形=S小正方形+S小正方形=1+1=2， ∴ S大正方形=2； 根据正方形面积公式：S大正方形=a2 ∴ a2=2. 问题(2)a可能是整数吗？说说你的理由. 预设答案： 从“数”的角度： ∵ a2=2, 而12=1, 22=4， 32=9··· ∴ 12环节三 应用新知 【典型例题】 教师活动：教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程. 例1 如图,等边三角形ABC中的边长是2，高AD为h，h可能是整数吗？可能是分数吗？ 解：∵△ABC是等边三角形，AD ⊥BC ∴ D是BC的中点，且BC=2 ∴ BD=CD=1 在Rt△ABD中，由勾股定理得： h2=22 -12=4-1=3 ∵1< h2<4 ， ∴ 1环节四 巩固新知 【随堂练习】 教师活动：教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解. 1.下图是由16个边长为1的小正方形拼成的，任意连接这些小正方形的若干个顶点，可得到一些线段，试分别找出两条长度是有理数的线段和两条长度不是有理数的线段. 2.已知a2=17，则a是（ ） A.整数 B.分数 C.有理数 D.非有理数 3.以下各正方形的边长不是有理数的是( ) A.面积为25的正方形 B.面积为的正方形 C.面积为8的正方形 D.面积为1.44的正方形 答案： 1.解析：长度是有理数的线段是指：长度可以用整数与分数表示的线段. AB=1,AD=3,根据勾股定理： AE2=32+42=25,AE=5, ∴线段AB，AD，AE均为长度是有理数的线段. 根据勾股定理得：AC2=12+12=2,AC2=2，1环节五 课堂小结 思维导图的形式呈现本节课的主要内容： 学生尝试回顾本节课所讲的内容 通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.
环节六 布置作业 教科书第22页 习题2.1 第2题 学生课后自主完成. 通过课后作业，教师能及时了解学生对本节课知识的掌握情况，以便对教学进度和方法进行适当的调整.(共25张PPT)
1 认识无理数
第1课时
配套北师大版
学习目标
准备好了吗？一起去探索吧！
认识无理数
1.通过拼图活动，感受无理数产生的实际背景和引入的必要性；
2.能判断给出的数是否为有理数，并能说出理由；
3.通过实践活动，体会到无理数在现实生活中大量存在；
4.感受无理数的广泛性，提高学生学习的自主性.
重点
难点
复习回顾
数和 数统称为有理数.
分数分为 .
整数分为_____________________.
整
分
正整数、0、负整数
正分数、负分数
什么是有理数？
有理数是如何分类的呢？
复习回顾
整数
正整数：如：1，2，3，…
零：0
负整数：如： 1， 2， 3，…
分数
正分数：如 ， ，5.2， …
负分数：如 ， ， 3.5，…
除了有理数外还有没有其他的数吗？
有
理
数
合作探究
如下图是两个边长为1的小正方形，通过剪一剪、拼一拼，设法得到一个大正方形，你会吗？
1
1
1
1
合作探究
拼法一：
如下图是两个边长为1的小正方形，通过剪一剪、拼一拼，设法得到一个大正方形，你会吗？
合作探究
拼法二：
如下图是两个边长为1的小正方形，通过剪一剪、拼一拼，设法得到一个大正方形，你会吗？
合作探究
拼法三：
如下图是两个边长为1的小正方形，通过剪一剪、拼一拼，设法得到一个大正方形，你会吗？
合作探究
(1)设大正方形的边长为 a，a满足什么条件？
S大正方形=S小正方形+S小正方形=1+1=2，
∴ S大正方形=2；
根据正方形面积公式：S大正方形=a2
∴ a2=2.
分析：一个小正方形的面积为：S小正方形=1×1=1.
如下图是两个边长为1的小正方形，通过剪一剪、拼一拼，设法得到一个大正方形，你会吗？
合作探究
(2) a可能是整数吗？说说你的理由.
∵ a2=2， 而12=1， 22=4， 32=9…
∴ 12∴ a不是整数.
a
a
a
a
如下图是两个边长为1的小正方形，通过剪一剪、拼一拼，设法得到一个大正方形，你会吗？
从“数”的角度：
合作探究
在△ABC中，AC=1，BC=1，AB=a
根据三角形的三边关系，斜边AB满足：
AC-BC< a即0C
A
B
1
1
a
取出一个三角形
(2) a可能是整数吗？说说你的理由.
a
a
a
a
从“形”的角度：
合作探究
(3)a可能是分数吗？并与同伴进行交流.
， ， …
从上面的式子中发现：两个相同的最简分数的乘积仍然是分数，而a2=2是整数，
∴ a不是分数.
分析：
如下图是两个边长为1的小正方形，通过剪一剪、拼一拼，设法得到一个大正方形，你会吗？
归纳
在等式a2=2中，a既不是整数，也不是分数，所以a不是有理数.
做一做
2
1
解：(1)设直角三角形的斜边长为b，
根据勾股定理得：b2=12+22=5，
根据正方形面积公式得：S正方形=b2
∴以图中直角三角形的斜边为边的正方形的面积是5.
b
S
b
b
b
(1)如右图，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？
(2)设该正方形的边长为b，b满足什么条件？
(3)b是有理数吗？
做一做
解：(2)∵正方形的边长为b，
根据正方形面积公式得：S正方形=b2
而S正方形=5，得出b2=5
∴b满足 b2=5.
b
b
b
b
S
(1)如右图，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？
(2)设该正方形的边长为b，b满足什么条件？
(3)b是有理数吗？
2
1
做一做
解：(3)∵b2=5，4∴b不是整数；
∵两个相同最简分数的乘积仍然是分数，
而b2=5是整数，
∴b不是分数.
b既不是整数，也不是分数，那么b一定不是有理数.
2
1
(1)如右图，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？
(2)设该正方形的边长为b，b满足什么条件？
(3)b是有理数吗？
归纳
数a，b确实存在，但都不是有理数.
2
1
b
a2=2
b2=5
a
a
a
a
1
1
1
1
b
b
b
∵1∵两个相同最简分数的乘积仍然是分数，
而h2=3是整数.
∴h不是分数.
典型例题
例 如图，等边三角形ABC中的边长是2，高AD为h，h可能是整数吗？可能是分数吗？
2
h
A
B
C
D
解：∵△ABC是等边三角形，AD ⊥BC
∴D是BC的中点，且BC=2
∴BD=CD=1
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
h2=22 -12=4-1=3
h不可能是整数，也不可能是分数.
随堂练习
1.下图是由16个边长为1的小正方形拼成的，任意连接这些小正方形的若干个顶点，可得到一些线段，试分别找出两条长度是有理数的线段和两条长度不是有理数的线段.
解析：如图：AB=1，AD=3，
根据勾股定理：AE2=32+42=25，AE=5，
∴线段AB，AD，AE均为长度是有理数的线段.
B
A
D
E
C
根据勾股定理得：AC2=12+12=2，AC2=2，
∵ 1∵ 两个相同最简分数的乘积为分数，而AC2=2，
∴ AC不是分数，即AC为长度不是有理数的线段.
同理可得：BE，CD为长度不是有理数的线段.
随堂练习
解析：∵ a2=17， 而42=16， 52=25， 62=36···
∴ 42∴ a不是整数.
∵ 两个相同最简分数的乘积为分数，而a2=17是整数，
∴a不是分数.
∴a既不是整数，也不是分数，一定不是有理数.
故选D.
2.已知a2=17，则a是(　　)
A.整数 B.分数 C.有理数 D.非有理数
D
随堂练习
3. 以下各正方形的边长不是有理数的是(　　)
A. 面积为25的正方形 B. 面积为的正方形
C. 面积为8的正方形 D. 面积为1.44的正方形
解析：假设正方形边长为a，
选项A：面积为25的正方形的边长是5，而5是有理数，排除A选项；
选项B：面积为的正方形的边长是，而是有理数，排除B选项；
选项C：面积为8的正方形中的边长满足：S正方形=a2=8，
∵ a2=8， 而22=4， 32=9， 42=16···
∴ 22随堂练习
3. 以下各正方形的边长不是有理数的是(　　)
A. 面积为25的正方形 B. 面积为的正方形
C. 面积为8的正方形 D. 面积为1.44的正方形
∵ 两个相同最简分数的乘积为分数，而a2=8是整数，
∴a不是分数.
∴a既不是整数，也不是分数，一定不是有理数.
选项D：面积为1.44的正方形的边长是1.2，而1.2是有理数，排除D选项；故选C.
C
认识无理数
如果一个数既不是整数，也不是分数，那么这个数一定不是有理数.
若a2=2，b2=5，则数a，b确实存在，但都不是有理数.
如何判断一个数是否为有理数：
注意：
教科书 第22页
习题2.1 第2题
再见2.1 认识无理数
第2课时
一、教学目标
1.探索无理数的定义，，并从中体会无限逼近的思想；
2.能辨别出一个数是无理数还是有理数，训练学生的思维判断能力.
3.在探索无理数是无限不循环小数的过程中，培养学生的估算能力，发展学生的抽象概括能力；
4.充分调动学生参与数学问题的积极性，同时培养学生的合作精神，提高辨识能力.
二、教学重难点
重点：比较无理数与有理数的区别，能辨别出一个数是无理数还是有理数.
难点：探索无理数是无限不循环小数的过程.
三、教学用具
多媒体、课件、计算器
四、教学过程设计
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
环节一 创设情境 【复习回顾】 教师活动：提出一个上节课的重点问题让学生思考，并点名学生回答，然后再给出答案. 问题： 若a2=2,则a　　 分数，　　 整数， 　　 有理数. (填“是”或“不是”) 预设答案：不是，不是，不是. 提出问题：数a确实存在，但又不是有理数，那它到底是什么数呢？ 认真思考，举手回答 回忆除了有理数，还存在别的数. 借助上节课的问题引出新知，体现了知识之间的前后衔接．
环节二 探究新知 【合作探究】 教师活动：教师课件展示三个不同面积的正方形，让学生先通过对比的方法得出面积为2的正方形边长的大致范围，借助计算器，采用估算的方法，得到一些无理数的小数表示，从而归纳出无理数的概念（无限不循环小数）. 问题：面积为2的正方形的边长a究竟是多少呢？能不能确定一下a的大致范围？ 预设答案： ∵ a2=2, 而12=1, 22=4,··· ∴ 12环节三 应用新知 【典型例题】 教师活动：教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程. 例 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ 3.14，- ，，0.1010001000001…（相邻两个1之间0的个数逐次加2）. 分析: ∵ 3.14是有限小数，-是分数，是无限循环小数， ∴3.14，- ，0.，是有理数. ∵0.1010001000001…是无限不循环小数， ∴根据无理数的定义，0.1010001000001…是无理数. 解：有理数有：3.14，-， ； 无理数有：0.1010001000001…. 明确有理数和无理数的概念. 通过例题的探究进一步加深对有理数和无理数的认识和理解，并能辨别出一个数是无理数还是有理数，训练学生的思维判断能力.
环节四 巩固新知 【随堂练习】 教师活动：教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解. 1.下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ 0.4583， ，-π，-，18 2.判断下列说法是否正确： （1）所有无限小数都是无理数；( ) （2）所有无理数都是无限小数；( ) （3）有理数都是有限小数； ( ) （4）不是有限小数的不是有理数.( ) 3.面积为6的长方形，长是宽的3倍，则宽为（ ） A.整数 B.分数 C.有理数 D.无理数 答案： 1. 有理数：0.4583， ，- ，18； 无理数：-π. 2.答案：×，√，×，× 3.D. 解析：设长方形宽为a,则长为3a,根据长方形面积公式可得：3a2=6 ∴a2=2通过估算可得a=1.41421…，它是一个无限不循环小数，满足无理数的定义，所以宽是一个无理数. 故选 D. 学生先自主完成练习，再集体交流评价. 通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.
环节五 课堂小结 思维导图的形式呈现本节课的主要内容： 学生尝试回顾本节课所讲的内容 通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.
环节六 布置作业 教科书第25页 习题2.2 第1,4题 学生课后自主完成. 通过课后作业，教师能及时了解学生对本节课知识的掌握情况，以便对教学进度和方法进行适当的调整.(共23张PPT)
1 认识无理数
第2课时
配套北师大版
学习目标
准备好了吗？一起去探索吧！
认识无理数
1.探索无理数的定义，并从中体会无限逼近的思想；
2.能辨别出一个数是无理数还是有理数，训练思维判断能力.
3.在探索无理数是无限不循环小数的过程中，提高估算能力，发展抽象概括能力；
4.充分调动学生参与数学问题的积极性，同时培养学生的合作精神，提高辨识能力.
重点
难点
复习回顾
数a确实存在，但又不是有理数，那它到底是什么数呢？
若a2=2，则a　　 分数，　　 整数，
　　 有理数.
( 填“是” 或“不是”)
不是
不是
不是
能不能确定一下a的大致范围？
∵ a2=2， 而12=1， 22=4，···
∴ 12而1.52=2.25， 2.25＞2
∴a的值一定小于1.5
∴a的大致范围在1~1.5之间.
分析
合作探究
面积为2的正方形的边长a究竟是多少呢？
面积为2的正方形的边长a究竟是多少呢？
(1) 如下图，三个正方形的边长之间有怎样的大小关系？
1
a
面积为2
1
a
2
2
通过观察，可以直观得出：3个正方形的边长之间的大小关系为1合作探究
合作探究
(2) a的整数部分是几？十分位是几？百分位呢？千分位呢？
借助计算器探索，用表格的形式整理.
a a的平方
2.25
1.96
2.1025
2.0449
2.0736
2.0164
1.9881
2.002225
1.999396
2.00052736
2.00024449
2.00081025
1.4
1.5
1.45
1.44
1.43
1.42
1.41
1.415
1.414
1.4145
1.4144
1.4143
合作探究
边长a 面积S
1< a <2 1< S <4
1.4< a <1.5 1.96< S <2.25
1.41< a <1.42 1.9881< S <2.0164
1.414< a <1.415 1.999396< S <2.002225
1.4142< a <1.4143 1.99996164< S <2.00024449
a的整数部分是1，十分位是4，百分位是1，千分位是4.
还可以继续算下去吗？a可能是有限小数吗？
(2) a的整数部分是几？十分位是几？百分位呢？千分位呢？
借助计算器探索，用表格的形式整理.
边长a会不会算到某一位时，它的平方恰好等于2呢？为什么？a可能是有限小数吗？
假如a算到某一位时，它的平方恰好等于2，即a是一个有限小数，那么它的平方一定是一个有限小数，
而不可能是2，所以边长a不会算到某一位时，它的平方恰好等于2，所以a不可能是有限小数.
想一想
估计面积为5的正方形的边长b的值(结果精确到0.1)，并用计算器验证你的估计.
做一做
边长b 面积S
2< b <3 4< S <9
2.2< b <2.3 4.84< S <5.29
2.23< b <2.24 4.9729< S <5.0176
b b的平方
2.3 5.29
2.2 4.84
2.22 4.9284
2.23 4.9729
2.24 5.0176
面积为5的正方形的边长b的值满足：b2=5，
经过计算器验证: b≈2.2 (结果精确到0.1)
列表格：
b2=5
如果结果精确到0.01呢？
做一做
边长b 面积 S
2< b <3 4< S <9
2.2< b <2.3 4.84< S <5.29
2.23< b <2.24 4.9729< S <5.0176
2.235< b <2.240 4.995225< S <5.0176
b b的平方
2.230 5.29
2.235 4.995225
2.240 5.0176
面积为5的正方形的边长b的值满足：b2=5，
经过计算器验证：b≈2.24(结果精确到0.01)
列表格：
结论
在等式a2=2中，a=1.41421…，它是一个无限不循环小数.
在等式b2=5中，b=2.23606…，它是一个无限不循环小数.
a ，b都不是整数，也不是分数，是无限不循环小数.
把下列各数表示成小数，你发现了什么？
议一议
有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示.反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数.
像0.585885888588885…（相邻两个5之间8的个数逐次加1）
π=3.14159265，1.41421356…，－2.2360679…
等这些数的小数位数都是无限的，，又不是循环的，而
归纳
定义
无限不循环小数称为无理数.
判断一个数是不是无理数，关键就是看它能不能写成无限不循环的小数.
你能找到其他的无理数吗？
想一想
0.2323323332… (两个2之间依次多1个3)
1.41421356…， 2.2360679…，3.1415926…( 圆周率)
这些数的小数位数都是无限的，又不是循环的，是无限不循环小数，这些数都是无理数.
像0.585885888588885…（相邻两个5之间8的个数逐次加1）
π=3.14159265，1.41421356…，－2.2360679…
等这些数的小数位数都是无限的，，又不是循环的，而
归纳
无理数的常见形式
主要有三种：
①无限不循环小数，如1.414 213 56…是无理数．
看似循环而实质不循环的小数，如0.101 001 000 1…(相邻两个1之间0的个数逐次增加1)是无理数．
②圆周率π以及含π的数，如π，2π，π＋5都是无理数．
③开方开不尽的数(下一节学到).
∵ 3.14是有限小数，-是分数，
0.57是无限循环小数，
∴3.14，-，0.57，是有理数.
∵0.1010001000001…是无限不循环小数，
∴根据无理数的定义，0.1010001000001…是无理数.
典型例题
例 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
3.14，- ，0.57，
0.1010001000001…(相邻两个1之间0的个数逐次加2).
. .
. .
. .
分析
典型例题
解：有理数有：3.14，- ， 0.57；
. .
无理数有：0.1010001000001…
例 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
3.14，- ，0.57，
0.1010001000001…(相邻两个1之间0的个数逐次加2).
. .
随堂练习
1.下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ 0.4583，3.7 ， π， ，18
解：有理数：0.4583，3.7 ， ，18；
无理数： π.
提示：
有理数分为整数和分数，且任何有限小数或无限循环小数也都是有理数；无理数是无限不循环小数.
·
·
2.判断下列说法是否正确：
(1)所有无限小数都是无理数； ( )
(2)所有无理数都是无限小数； ( )
(3)有理数都是有限小数； ( )
(4)不是有限小数的不是有理数. ( )
随堂练习
分析：无限循环小数是有理数.
分析：无限不循环小数称为无理数.
分析：无限循环小数是有理数.
分析：无限循环小数不是有限小数，但它是有理数.
随堂练习
3.面积为6的长方形，长是宽的3倍，则宽为( )
A. 整数 B. 分数 C. 有理数 D. 无理数
分析：
设长方形宽为a，则长为3a，
根据长方形面积公式可得：3a2=6
∴a2=2
通过估算可得a=1.41421…，它是一个无限不循环小数，满足无理数的定义，所以宽是一个无理数.
故选D.
D
认识无理数
无限不循环小数称为无理数.
注：判断一个数是不是无理数，关键就是看它能不能写成无限不循环的小数.
①无限不循环小数；
②圆周率π以及含π的数；
③开方开不尽的数(下一节学到).
无理数的常见形式:
无理数：
教科书 第25页
习题2.2 第1，4题
再见

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