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第二章 实数
2.4 估算
一、教学目标
1.会估算一个无理数的大致范围，能通过估算检验计算结果的合理性，形成估算意识．
2.掌握估算方法，会比较两个实数的大小，并能利用估算解决一些简单的问题．
3.经历实际问题的解决过程，能结合具体情况进行估算，判断计算结果的对错，并对结果的合理性作出解释．
4.通过估算的学习，使学生认识到在现实生活中估算的用处甚广，激发学生学习数学的兴趣，发展学生的数感，培养学生日后解决实际问题的能力．
二、教学重难点
重点：理解估算的方法，能估计一个无理数的大致范围，形成估算意识．
难点：掌握估算方法，并能通过估算比较两个实数的大小．
三、教学用具
电脑、多媒体、课件、教学用具等
四、教学过程设计
教学 环节 教师活动 学生活动 设计意图
环节一 创设 情境 【复习回顾】 教师活动：教师带领学生回顾平方根和立方根的概念，并特别强调被开方数的取值范围. 平方根的概念：一般地，如果一个数x的平方等于a，即 x2=a，那么这个数x就叫做 a 的平方根或二次方根．记作． 立方根的概念：一般地，如果一个数x的立方等于a，即 x3=a，那么这个数x就叫做 a 的立方根．记作． 提问：平方根和立方根中被开方数的取值有限制吗？ 预设答案： 平方根中被开方数为非负数； 立方根中被开方数可取任何数． 求下列各式的值． 25的算术平方根= 17的平方根= 的平方根= 8的立方根= 28的立方根= 答案：5；；；2；． 学生思考，回答问题． 回顾平方根和立方根的概念，并通过简单的运算巩固概念，为学习估算作铺垫．
环节二 探究 新知 【想一想】 某地开辟了一块长方形荒地，新建一个环保主题的公园．已知这块荒地的长是宽的2倍，它的面积为400 000 m2． 公园的宽大约是多少？它有1 000 m吗？ 解：因为荒地的长是宽的2倍，假设宽是1 000 m，则长是2 000 m． 公园的面积S=2 000×1 000=2 000 000(m2) 2 000 000>400 000 因此，公园的宽没有1 000米． 如果要求误差小于10 m，它的宽大约是多少？ 解：设宽为x米，则长为2x米． 荒地面积 S=2x．x=2x2=400 000 x2=200 000 解得：x=≈450 因此，公园的宽大约是450米． 分析：求无理数的大致取值． (3)该公园中心有一个圆形花圃，它的面积是800 m2，你能估计它的半径吗？(精确到1 m) 教师活动：根据前面讨论出的方法估算出结果，然后在组内交流完善，每组派一名代表回答． 解：设圆形花圃的半径为r． 花圃面积S=πr2=800，r= 800除以3.14约等于255，大约为16的平方． 所以圆形花圃的半径大约是16米． 分析：求无理数的大致取值． 教师分析：在以上问题中，这些数都是估计出来的近似数，我们把这种按要求估计数值的方法叫估算．估算的数值可以大些也可以小些．只说一个近似数值就可以． 【议一议】 问题：下面的计算结果正确吗？你是怎么判断的？ 教师活动：让学生分组讨论，然后深入到各组中指导学生讨论． 方法一： 因为0.0662=0.004356，所以不正确． 因为963=884736，所以 不正确． 因为 60．42=3648.16，所以 不正确． 结论：通过“精确计算”可比较两个数的大小． 方法二： 解： ∴ ∵ ∴ ∵ 60.4>60，602=3600， ∴ 以上计算结果都不正确． 结论：通过“估算”也可比较两个数的大小． 问题：你能估算的大小吗？（误差小于1） 解：因为729<900<1000，所以 即9<<10，的整数部分是9． 又因为，所以 分析：乘方和开方为互逆运算．乘方和开方的 运算，有助于我们对于无理数的取值进行估算． 问题：估算无理数的大小（结果精确到0.1）． 解：因为，即3<<4 所以的整数部分为3． 因为， 即3.6<<3.7．又因为与相近，所以 【归纳总结】 估算法确定无理数的大小： 先平方运算或立方运算； 采用“夹逼法”，即两边无限逼近，逐级夹逼，首先确定其整数部分的取值范围，再根据要求确定小数部分． 注意：“精确到” 与“误差小于”意义不同： 如精确到1 m是四舍五入到个位，答案唯一； 误差小于1 m，答案在真值左右1 m都符合题意，答案不唯一． 学生思考，回答问题． 学生思考，回答问题． 先独立思考，后组内交流，得出解决问题的具体方法． 学生小组讨论，思考完成问题． 在教师的引导下，思考另一种解题方法 学生思考，感受无理数估算思路 学生思考，回答问题 从现实情境引入，初步建立数感，让学生体会生活中的数学，激发学习的积极性．并通过与生活紧密联系的问题情境初步感受到估算的实用价值． 本题的方法一主要是通过进行平方和立方运算，让学生自己体会在解决无理数的问题时，需要利用开方与乘方的互逆关系把无理数转化为有理数．这一比较过程也相对较为简单，让学生在轻松愉快的氛围中解决问题． 对于同一问题寻求多种方法解决问题，可以互相进行比较各种方法的简易程度，体会一题多解的思想方法. 通过简单无理数大致范围的估计，初步积累一些解决问题的经验，为接下来的实际应用做好准备． 由结果的“误差小于1”到“结果精确到0.1”，让学生体会不一样的估算方法． 同桌间进行交流，教师适时引导．在解决问题的同时引导学生归纳出估算法确定无理数的一般步骤．让学生从被动学习到主动探究，激发学生的学习热情，培养自主学习的能力．
环节三 应用 新知 【典型例题】 教师活动：教师提出问题，学生先独立思考，然后再小组交流探讨．教师板书例题书写过程． 【例】 生活经验表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙的距离约为梯子长度的，则梯子比较稳定．现有一长度为6 m的梯子，当梯子稳定摆放时，它的顶端能达到5.6 m高的墙头吗？ 解：设梯子稳定摆放时的高度为x m，此时梯子底端离墙的距离恰为梯子长度的， 根据勾股定理，有 即 因为5.62=31.36<32，所以>5.6． 因此，当梯子稳定摆放时，它的顶端能达到5.6米高的墙头． 【议一议】 教师活动：教师给出问题，学生先分组交流讨论，然后教师给出小明的想法让学生判断，接着学生分组展示不同的想法，教师进行完善分析. 小组探究：通过估算，你能比较与的大小吗？你是怎样想的？与同伴交流． 小明是这样想的： 与的分母相同，只要比较它们的分子就可以了． 因为，所以， 因此 ． 你认为小明的想法正确吗？ 结论：小明的想法正确！ 分析：与分母相同，实际是比较与1两个数的大小． 【归纳总结】 用估算法比较无理数大小的常用结论： 明确例题的做法 学生思考，小组交流 让学生体会数学知识的实际应用价值，并能结合实际生活经验探究一个无理数估算结果的合理性．在解决实际问题中再次体会估算的方法，从而体验到学习数学的乐趣． 通过比较带有分数的无理数的大小，让学生进一步加深对无理数估算法的认识和理解，体验成功的喜悦． 通过归纳总结，激发学生思考，并讨论交流．引导学生从数学现象背后发现数学规律．
环节四 巩固 新知 【随堂练习】 教师活动：教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解． 1．估算3的值(　　) A．在1和2之间 B．在2和3之间 C．在3和4之间 D．在4和5之间 答案：A 解析：因为42<19<52，所以4<<5，所以1<-3 <2． 总结：估计一个有理数的算术平方根的近似值，必须先判断这个有理数位于哪两个数的平方之间． 2．一块面积为10 m2的正方形草坪，其边长(　　) A．小于3 m B．等于3 m C．在3 m与4 m之间 D．大于4 m 答案：C 3．已知 则下列大小关系正确的是 (　　) A．a>b>c B．c>b>a C．b>a>c D．a>c>b 答案：A 4．比较2，，的大小，正确的是(　) A． B． C． D． 解析： 答案：A 5．通过估算比较下列各组数的大小． 解：(1)因为5>4，所以 ， 所以 (2)因为6>4，所以， 所以 自主完成练习，然后集体交流评价． 通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯．
环节五 课堂 小结 回顾本节课所讲的内容 通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识．
环节六 布置 作业 教科书第33页 习题2.6 第1、2、3、4 题 课后完成练习 通过课后作业，教师能及时了解学生对本节课知识的掌握情况，以便对教学进度和方法进行适当的调整．(共24张PPT)
4 估算
1.会估算一个无理数的大致范围，能通过估算检验计算结果的合理性，形成估算意识．
2.掌握估算方法，会比较两个实数的大小，并能利用估算解决一些简单的问题．
3.经历实际问题的解决过程，能结合具体情况进行估算，判断计算结果的对错，并对结果的合理性作出解释．
4.通过估算的学习，使学生认识到在现实生活中估算的用处甚广，激发学生学习数学的兴趣，发展学生的数感，培养学生日后解决实际问题的能力．
学习目标
估
算
重点
难点
准备好了吗？一起去探索吧！
复习回顾
一般地，如果一个数x的平方等于 a，即 x2=a，那么这个数x就叫做 a 的平方根或二次方根．记作
平方根
立方根
一般地，如果一个数x的立方等于 a，即 x3=a，那么这个数x就叫做 a 的立方根．记作 　 ．
a为非负数
a可取任何数
平方根和立方根中被开方数的取值有限制吗？
复习回顾
求下列各式的值．
25的算术平方根
5
17的平方根
的平方根
8的立方根
2
-28的立方根
想一想
某地开辟了一块长方形荒地，新建一个环保主题的公园．已知这块荒地的长是宽的2倍，它的面积为400 000 m2．
(1)公园的宽大约是多少？它有1 000 m吗？
因此，公园的宽没有1 000米．
公园的面积S=2 000×1 000=2 000 000(m2)
2 000 000>400 000
解：因为荒地的长是宽的2倍，假设宽是1 000 m，则长是2 000 m．
S=400 000 m2
想一想
S=400 000 m2
因此，公园的宽大约是450米．
解：设宽为x米，则长为2x米．
荒地面积 S=2x·x=2x2=400 000
解得：x=
≈450
分析：求无理数
的大致取值．
x2=200 000
2x
x
某地开辟了一块长方形荒地，新建一个环保主题的公园．已知这块荒地的长是宽的2倍，它的面积为400 000 m2．
(2)如果要求误差小于10 m，它的宽大约是多少？
想一想
S=800 m2
r
解：设圆形花圃的半径为r．
则花圃面积 S=πr2=800
解得 r=
800除以3.14约等于255，大约为16的平方．
所以圆形花圃的半径大约是16米．
分析：求无理数
的大致取值．
某地开辟了一块长方形荒地，新建一个环保主题的公园．已知这块荒地的长是宽的2倍，它的面积为400 000 m2．
(3)该公园中心有一个圆形花圃，它的面积是800 m2，你能估计它的半径吗？(精确到1 m)
议一议
问题：下面的计算结果正确吗？你是怎么判断的？
解：因为 0.0662=0.004356，所以 不正确．
因为 963=884736，所以 不正确．
因为 60.42=3648.16，所以 不正确．
通过“精确计算”可比较两个数的大小．
议一议
问题：下面计算结果正确吗？你是怎么判断的？
解：
∵60.4>60，602=3600，
通过“估算”也可比较两个数的大小．
以上计算结果都不正确．
议一议
你能估算 的大小吗？（结果精确到1）
解：因为729<900<1000，所以 ．
即9< <10， 的整数部分是9．
乘方和开方为互逆运算．乘方和开方的运算，有助于我们对于无理数的取值进行估算．
又因为 ，所以
估算无理数 的大小．（结果精确到0.1）
解：因为 ，即
所以 的整数部分是3．
因为 ，即
探究
又因为 更接近，所以
估算法确定无理数的大小
先平方运算或立方运算；
归纳
采用“夹逼法”，即两边无限逼近，逐级夹逼，首先确定其整数部分的取值范围，再根据要求确定小数部分．
“精确到” 与“误差小于”意义不同：
如精确到1 m是四舍五入到个位，答案唯一；
误差小于1 m，答案在真值左右1 m都符合题意，答案不唯一．
1
2
注意
例 生活经验表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙的距离约为梯子长度的 ，则梯子比较稳定．现有一长度为6 m的梯子，当梯子稳定摆放时，它的顶端能达到5.6 m高的墙头吗？
典型例题
6米
分析
梯子的长度、梯子底端离墙的距离和梯子顶端能达到的高度构成直角三角形，利用勾股定理求出梯子顶端能达到的高度即可．
例 生活经验表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙的距离约为梯子长度的 ，则梯子比较稳定．现有一长度为6 m的梯子，当梯子稳定摆放时，它的顶端能达到5.6 m高的墙头吗？
解：设梯子稳定摆放时的高度为x m，此时梯子底端离墙的距离恰为梯子长度的 ，
根据勾股定理，有
因为5.62=31.36<32，所以 >5.6．
典型例题
6米
因此，当梯子稳定摆放时，它的顶端能达到5.6 m高的墙头．
议一议
通过估算，你能比较 与 的大小吗？
你是怎样想的？与同伴交流．
小明是这样想的：
与 的分母相同，只要比较它们的分子就可以了．
因为 ，所以 ，因此 ．
你认为小明的想法正确吗？
小明的想法正确
议一议
说说你的想法吧！
归纳总结
用估算法比较无理数大小的常用结论：
a＞b≥0
a＞b
若a，b都为正数：
a2>b2
a>b
随堂练习
A
1．估算 -3的值(　　)
A．在1和2之间 B．在2和3之间
C．在3和4之间 D．在4和5之间
解析：因为42<19<52，所以4< <5，所以1< -3 <2．
估计一个有理数的算术平方根的近似值，必须先判断这个有理数位于哪两个数的平方之间．
随堂练习
2．一块面积为10 m2的正方形草坪，其边长(　　)
A．小于3 m B．等于3 m
C．在3 m与4 m之间 D．大于4 m
C
3．已知 则下列大小关系正确的是 (　　)
A．a>b>c B．c>b>a
C．b>a>c D．a>c>b
A
随堂练习
解析：
4．比较2， ， 的大小，正确的是(　　)
A． B．
C． D．
A
随堂练习
5．通过估算比较下列各组数的大小．
解：
(1) 因为5>4，所以 ，所以
(2) 因为6>4，所以 ，所以
估算法确定无理数大小的方法：
估
算
用估算法比较无理数大小的常用结论：
先平方运算或立方运算；
采用“夹逼法”，即两边无限逼近，逐级夹逼，首先确定其整数部分的取值范围，再根据要求确定小数部分．
1
2
a＞b≥0
a＞b
若a，b都为正数：
a2>b2
a>b
教科书第34页
习题2.6
第1、2、3、4 题
再见

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