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新教材必修第一册5.2.1：三角函数的概念
课标解读：
1.三角函数（正弦、余弦、正切）的定义.（理解）
2.三角函数值符号.（理解）
3.诱导公式.（掌握）
学法指导：
1. 借助单位圆，理解三角函数的定义.
2. 紧扣任意角三角函数的定义，理解并掌握任意角三角函数的有关性质（如定义域、符号、诱导公式一）
知识导图：
知识点1：任意角的三角函数
1.利用单位圆定义任意的三角函数
设是一个任意角，，它的终边OP与单位圆相交于点P.
（1）把点P的纵坐标叫做的正弦函数，记作，即；
（2）把点P的横坐标叫做的余弦函数，记作，即；
（3）把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切，记作，即（这是以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数，称为正切函数）.
我们将正弦函数、余弦函数和正确函数统称为三角函数，通常将它们记为：
正弦函数
余弦函数
正切函数
2.用角的终边上的点的坐标表示三角函数
如图所示，设是一个任意角，它的终边上任一点P（不与原点O重合）的坐标为，点P与原点的距离为.则.
例1-1：已知角的终边与单位圆交于点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
例1-2利用定义求的正弦、余弦和正切值.
答案：
知识点2：三角函数的定义域和函数值的符号.
1.三角函数的定义域
三角函数 定义域
2.三角函数值在各象限的符号.
由于角的终边上任意一点到原点的距离是正值，根据三角函数的定义，知：
①正弦函数值的符号取决于纵坐标y的符号；
②余弦函数值的符号取决于横坐标x的符号；
③正切函数值的符号是由x,y的符号共同决定的，即x,y同号得正，异号得负.
因此，正弦函数、余弦函数、正切函数的值在各个象限的符号如图所示.
例2-3：函数的定义域为 .
答案：
例2-4：确定下列各三角函数值的符号.
（1）； （2）； （3）
答案：（1）；（2）；（3）
例2-5：若，则角是（ ）
A. 第一或第二象限角 B.第二或第三象限角
C.第三或第四象限角 D.第二或第四象限角
答案：D
知识点3：诱导公式一
由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数值相等.由此可以得到一组公式（公式一）：
附：部分特殊三角函数值
0
0 1 0 -1
1 0 -1 0
0 1 不存在 0 不存在
例3-6：求下列各式的值.
（1） （2） （3）.
答案：（1）； （2）； （3） （4）1
重难拓展
知识点4：余切、正割、余割函数.
设是一个任意角，，角的终边上任意一点P（不与原点O重合）的坐标是，点P与原点的距离（），那么：
（1）当时，把比值叫做角的余切，记作，
（2）当时，把比值叫做角的正割，记作，
（3）当时，把比值叫做角的余割，记作，
注意：事实上，由三角函数的定义可知，，，
例4-7：已知角的终边上一点，则 ， .
答案：
题型与方法
题型1：三角函数的定义及应用
1.对三角函数的定义及应用
解决此类问题的关键是准确理解任意角的三角函数的定义.
例8：有下列命题：
①终边相同的角的同名三角函数值相等；
②终边不同的角的同名三角函数值不等；
③若，则是第一象限角；
④若是第二象限角，且是其终边上一点，则.
其中真命题的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
答案：A
2.已知角的终边经过某一定点，求三角函数值.
例9：已知的终边经过点P（2，-3），则= ， ， .
答案：
例10：已知角的终边过点，求角的正弦、余弦、正切值.
答案：当时，
当时，
3.已知角的终边落在某一条线上，求其三角函数值
例11：已知角的终边落在直线上，求，，的值.
答案： 或 .
变式训练1：已知角的终边为射线，求角的正弦、余弦、正切值.
答案：
题型2：三角函数在各象限的符号
1.判断三角函数值的符号
例12：设角的终边不在坐标轴上，则函数的值域 .
答案：{-1,3}
例13：判断下列各三角函数式的符号：
（1）； （2）
答案：（1）； （2）
2.由三角函数式符号确定所在象限
例14：若，且，则角是（ ）
A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角
答案：C
例15：若，且，试确定角的终边所在的象限.
答案：角的终边位于第三象限.
变式训练2：的符号为 （填“正”或“负”）
答案：负
题型3：诱导公式一的应用
例16：计算下列各式的值：
（1）
（2）
答案：（1） （2）
变式训练：= .
答案：0
易错提醒
易错1：求三角函数值时对终边位置考虑不全
例17：已知角的终边在直线上，则= .
答案：
例18：函数的定义域为 .
答案：
高考连接
例19：在平面直角坐标系中，是圆上的四段弧（如图），点P在其中一段上，角以为始边，OP为终边.若，则P所在的圆弧是（ ）.
A. B.
C. D.
答案：C
考向2：三角函数值的符号
例20：若，则（ ）
A. B. C. D.
答案：C
考向3：诱导公式一的应用
例21： .
答案：
基础巩固：
1.已知角的终边经过点P（-2,4），则的值等于（ ）
A. B. C. D.
2.已知角的终边经过点P，且，则=（ ）
A. 8 B. -8 C.4 D.-4
3.的值等于（ ）
A. B. C. D.
4.给出下列函数值：①；②；③.其中符号为负的个数为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
5.若角的终边上一点在函数的图像上，则的值为 .
6.已知角的终边在直线上，求的值.
7.化简下列各式：
（1）
（2）
（3）
能力提升
8.在平面直角坐标系中，角以为始边，终边经过点P（-1，m），则下列各式的值一定为负的是（ ）
A. B. C. D.
9.若，则角的终边在（ ）
A.第一象限 B.第四象限
C.第二或第四象限 D.第一或第四象限
10.已知角的终边经过点P（3，t）且，则t等于（ ）
A. B. C. D.
11.函数的图像先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后所得的图像过定点P，且角的终边过点P，则的值为（ ）
A. B. C. D.
12.已知，那么下列命题正确的是（ ）
A.若是第一象限的角，则
B.若是第二象限的角，则
C.若是第三象限的角，则
D.若是第四象限的角，则
13.平面直角坐标系中，设角的终边上任意一点P的坐标是，它与原点的距离是，规定：比值叫做的正余混弦，记作.若，则=（ ）.
A. B. C. D.
14.若是第一象限角，则中一定为正值的个数为 .
15.已知，则是第 象限角.
参考答案：
1. A
2. B
3. A
4. B
5.
6.
7.（1） （2） （3）
8.D
9.D
10.B
11.C
12.D
13.D
14.2
15.二

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