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新教材必修第一册3.1.1：函数的概念及其表示
课标解读：
1. 函数的概念.（理解）
2. 函数的定义域.（掌握）
3. 函数的值域.（理解）
4. 区间的概念.（了解）
学习指导：
函数的概念是初中函数知识的基础上出现的全新的现代定义方式（利用集合语言定义函数），相对来说比较抽象，学习时要注意对概念的理解、三要素的把握、数形结合，重点理解定义中的“任意性、存在性、唯一性”，要通过适量的练习加以巩固，为后续的学习打牢基础.此部分题目灵活多变，要学会举一反三，领悟核心要素.
知识导图：
教材全解
知识点1：函数的概念
1.函数的传统定义（变量说）
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应，那么就称是自变量，是的函数.
2.函数的现代定义（对于关系说）
一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称A→B为集合A到集合B的一个函数，记作
其中，叫做自变量，的取值范围A叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.显然，值域是集合B的子集.
例1-1：下列对应关系是集合A到集合B的函数的为
A.
B.
C.
D.
E. ，对应关系如图所示：
答案：A不是 B是 C不是 D是 E不是
变式训练：由下列式子是否确定是的函数？
（1）；（2）（3）
答案：（1）不能确定；（2）能确定；（3）不能确定.
知识点2：函数的三要素
由函数的概念知，一个函数的构成要素为定义域、对应关系和值域.
1.定义域
函数的定义域是自变量的取值范围.
在函数关系的表述中，函数的定义域有时可以忽略，这时就约定这个函数的定义域就是使得这个函数关系式有意义的实数的全体构成的集合.在实际问题中，函数的定义域还要受到自变量实际意义的制约.
2.对应关系
对应关系是函数的核心，它是对自变量实施“对应操作”的“程序”或者“方法”.按照这一“程序”，从定义域A中任何取一个，可得到值域中唯一的与之对应.同一“”可以“操作”不同形式的变量.
3.值域
函数值域是函数值的集合，通常一个函数的定义域和对应关系确定，它的值域也就随之确定了.
例2-2：下列说法不正确的是（ ）
A. 定义域与对应关系后，函数值域也就确定了
B. 函数的定义域是无限集，则值域也是无限集
C. 若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素
D. 对于不随着的变化而变化，所以也成立.
答案：B
例2-3：下列说法正确的是（ ）
A. 函数值域中每一个数在定义域中一定有一个数与之对应
B. 函数的定义域和值域可以是空集
C. 函数的定义域和值域一定是数集
D. 函数的定义域和值域确定后，函数的对应关系也就确定了
答案：C
例2-4：下表表示是的函数，则函数的值域是（ ）
A. B. R C. D.
答案：D
例2-5：下列函数的定义域不是R的是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
例2-6：已知函数；
（1）求
（2）求
答案：（1）；
（2）
知识点3：函数的相等
只有当两个函数的定义域和对应关系分别相同时，这两个函数才相等，即是同一个函数.
例3-7：下列表示同意函数的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：B
知识点4：区间
区间的概念： 设是两个实数，且，，规定
分别叫做闭区间、开区间；叫做半开半闭区间；叫做相应区间的端点.
注意点：
（1）区间符号内的两个字母或数之间用“，”隔开.
（2）读作无穷大，它是一个符号，不是一个数.
（3）开区间（）与平面上的点（）要区分开，在读题时注意结合上下文加以区别.
（4）在数轴上表示区间时，用实心点表示端点在区间内，用空心点表示端点不在区间内.
例4-8：用区间表示下列数集：
（1）= ；
（2）= ；
（3） ；
（4）R= ；
（5） ；
（6） .
答案：（1） （2） （3） （4）
（5）[-5，-1] （6）
例4-9：求解下列问题
（1）区间关于原点对称，求及该区间.
（2）区间的右端点为3，求及该区间.
答案：（1），区间为；（2），区间为
例4-10：设集合则（ ）
A. B. C. D.
答案：D
重难拓展
知识点5：抽象函数与复合函数
1.抽象函数的概念
没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数.
2.复合函数的概念
若函数的定义域为A，函数的定义域为D，值域为C，则当时，称函数为与在D上的复合函数.
3.抽象函数或复合函数的定义域
理解抽象函数或复合函数的定义域，要明确以下几点：
（1）函数的定义域是指的取值所组成的集合；
（2）函数的定义域是指的取值范围，而不是的范围；
（3），，三个函数中的，，在对应关系在下的范围相同；
（4）已知的定义域为A，求的定义域，其实质是已知的范围（值域）为A，求出的取值范围；
（5）已知的定义域为B，求的定义域，其实质是已知中的的取值范围B，求出的范围（值域），此范围就是的定义域.
例5-11：下列函数中，是符合函数的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：B
例5-12：函数的定义域为，且对定义域的任意都有，如，则的值为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
题型与方法
题型1：一元二次不等式的解法
例13：（多选题）下列对应关系是从集合A到集合B的函数的有（ ）.
A. A={1,2,3}，B={7,8,9}，f(1)=f(2)=7，f(3)=8
B. A=Z，B={-1,1}，n为奇数时，，n为偶数时，
C. A=B={1,2,3}，
D. A=B=
答案：ABD
题型2：求函数值
例14：已知
（1）求和
（2）求
（3）若，求.
答案：（1）6 （2） （3）
例15：已知函数对任意正实数，都有
（1）求的值；
（2）若，求的值.
答案：（1） （2）
题型3：函数的定义域问题
1.已知解析式求函数的定义域：
（1） （2）
（3） （4）
答案：
变式训练：函数的定义域为（ ）.
A. B. C. D.
答案：C
2.求实际问题中函数的定义域
例17：如图，用长为1的铁丝做一个下部为矩形、上部为半圆的框架，若半圆的半径为，求此框架围成的面积与的函数.
答案：
3.求抽象函数或复合函数的定义域
（1）已知的定义域，求的定义域
例18：已知函数则的定义域为 .
答案：
（2）已知的定义域，求的定义域
例19：已知的定义域[0,3]，则的定义域为 .
答案：[-1,8]
（3）已知的定义域，求的定义域
例20：若函数的定义域为，则函数的定义域为 .
答案：
（4）求运算型抽象函数的定义域
例21：已知函数的定义域为[0,1]，求函数的定义域.
答案：当，函数的定义域为.
变式训练：设函数，则的定义域为（ ）.
A. B. C. D.
答案：B
4.定义域的逆向问题
例22：已知函数的定义域为[-3,6]，则的值为 ,的值为 .
答案：-1 3
例23：已知函数的定义域为R，则实数的值为 .
答案：0
题型4：函数的值域问题
1.求函数的值域
例24：求下列函数的值域
（1） （2）
（3） （4）
答案：（1）{2,3,4,5,6}；（2）； （3）； （4）
例25：函数的值域为 .
答案：
4.下列函数中值域是的是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
2.函数值域的逆向问题
例26：已知函数的定义域为R，值域为[1,9]，则m的值为 ;n的值为 .
答案：5 5
易错提醒
易错1：求函数定义域时非等价化简解析式致误
例27：函数的定义域为 .
答案：
易错2：用换元法求值域时，忽略中间变量的取值范围致错
例28：函数的值域为 .
答案：
易错3：误认为与中“”含义相同
例29：已知的定义域为[1,2]，则的定义域为 .
答案：
感知高考
考向1：函数的概念
例32：定义在R上的函数满足，若当时，，则当时，= .
答案：
考向2：函数的定义域
例33：函数的定义域是 .
答案：[-1,7]
考向3：函数值
例35：设函数.已知，且，则实数 ,b= .
答案：-2 1
基础巩固：
1.函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
2.已知函数则的值是（ ）
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
3.下列函数，值域为的是（ ）
A. B. C. D.
4.与函数是同一个函数的是（ ）
A. B. C. D.
5.函数的值域是（ ）
A. B. C. D.
6.若函数的定义域为[-1,2]，则函数的定义域是（ ）
A. B. C. D.
7.已知等腰三角形ABC的周长为10，底边长关于腰长的函数关系式为，则此函数的定义域为（ ）
A.R B. C. D.
8.已知函数，则的值域是（ ）
A. B. C. D.
能力提升
9.若函数与函数是相等函数，则函数的定义域是（ ）.
A. B. C. D.
10.的值域为（ ）.
A. B. C. D.
11.已知定义在R上函数的值域也是R，并且对任意，都有，则等于（ ）.
A. 0 B. 1 C. 2020 D. 2020
12.已知若的值域为，的值域为，则实数的最大值为（ ）.
A. 0 B. 1 C. 2 D. 4
13.（多选题）已知集合，则下列对应关系，能够构成A为定义域，B为值域的函数的是（ ）
A. B. C.
D. E.
x 1 2 3
3 2 1
14.已知函数分别由下表给出：
x 1 2 3
1 3 1
则的值为 ，满足的的值是 .
15.已知，那么的值为 .
16.求下列函数的值域.
（1），其定义域为A={0,1,2,3}；
（2）
（3）.
17.已知.
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的解析式.
18.已知函数同时满足，求的值.
参考答案
1. B
2. B
3. B
4. B
5. C
6. C
7. D
8. C
9. B
10. C
11. D
12. C
13. ABCE
14. 1 2
15. 1
16. （1）{-1,0,3} （2） （3）
17. （1） ；（2）， ；（3）；
18.

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