资源简介

第一章 勾股定理
3 勾股定理的应用
教学目标
1.会灵活运用勾股定理求解立体图形上两点之间路线最短的问题.体会勾股定理在代数问题和几何问题中的应用.
2.能正确运用勾股定理及直角三角形的判别方法解决简单的实际问题.
3.能够运用勾股定理解决实际生活中的问题，熟练运用勾股定理进行计算，增强数学知识的应用意识.
4.在将实际问题抽象成数学问题的过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想.
二、教学重难点
重点：会用勾股定理求解立体图形上两点之间路线最短的问题.
难点：能正确运用勾股定理及直角三角形的判别方法解决简单的实际问题.
三、教学用具
电脑、多媒体、课件、教学用具等
四、教学过程设计
教学 环节 教师活动 学生活动 设计意图
环节一 创设 情境 【复习回顾】 教师活动：教师引导学生回顾勾股定理，并通过简单的提问，回顾勾股定理逆定理以及勾股数的内容，接着通过小情境引入本节课要讲解的内容. 勾股定理： 如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a b c . 如果三角形的三边长a、b、c满足a b c ，那么这个三角形是 . 预设答案：直角三角形. 满足a b c 的三个正整数，称为 . 预设答案：勾股数. 观察思考：小明要去野外郊游，走哪条路最近呢？为什么呢？ 教师活动：教师提出问题，观察学生如何思考，再让学生说明理由.关注学生能否都认真看题积极思考，能否立刻利用两点之间线段最短确定最短路径. 答案：线路③. 学生回忆所学知识 认真思考，举手回答 认真思考，举手回答：线路三，因为两点之间线段最短. 通过复习回顾上节课学习的勾股定理相关内容，为本节课要学习的内容作准备. 通过观察线路图，让学生思考如何走哪条路径最短，激发学生兴趣.通过这一环节，学生回顾以前学过的知识：明确两点之间线段最短.
环节二 探究 新知 【问题探究】 有一个圆柱，它的高等于12cm，底面上圆的周长等于18cm.在圆柱下底面的点A有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，沿圆柱侧面蚂蚁怎么爬行的路程最短呢？ 做一做 自己做一个圆柱，尝试从A点到B点沿圆柱侧面画出几条路线，你觉得哪条路线最短呢？ 教师活动：让学生说出自己规划的蚂蚁的路线，然后用课件展示. ①A→B的路线长为：AA′+A′B ； ②A→B的路线长为：AA′+曲线A′B ； ③A→B的路线长为：曲线AP +曲线PB ； ④A→B的路线长：曲线AB ． 将圆柱侧面剪开展成一个长方形，从点A到点B的最短路线是什么？你画对了吗？ 教师活动：对照圆柱上的线路，用课件展示侧面剪开图，让学生观察并说出哪条线路最近. 教师活动：将圆柱的侧面展开，把曲线分别转化为对应线段，然后结合两点之间线段最短，得出结论：第（4）种方案路程最短． 追问： 蚂蚁从点A出发，想吃到点B上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？该如何计算呢？ 答案：在Rt△A′AB中，利用勾股定理，得AB =AA′ +A′B ． 其中AA′是圆柱体的高，A′B是底面圆周长的一半(πr) ． 已知圆柱体高为12 cm，底面周长为18 cm，则AB=15cm. 做一做 如图，在棱长为10 cm的正方体的一个顶点A处有一只蚂蚁，现要向顶点B处爬行，已知蚂蚁爬行的速度是1 cm/s，且速度保持不变，问蚂蚁能否在20 s内从A爬到B？ 教师活动：先由学生独立完成，教师及时给予指导，在此活动中，教师应重点关注学生能否进一步理解蚂蚁最近线路该如何走. 多媒体展示答题过程 解：将正方体展开得到如下图形，由勾股定理得， . 20×1=20(cm). ∵202>500． ∴蚂蚁不能在20 s内从A爬到B． 【思考探究】 教师活动：多媒体演示课件，引导学生观察并思考： 李叔叔想要检测雕塑底座正面的边AD 和边BC是否分别垂于底边AB，但他随身只带了卷尺.你能替他想办法完成任务吗？ 提示：连接BD,如果能算出AD2+AB2=BD2 ,就可以说明边AD 和边BC分别垂于底边AB. 提示：连接AC,如果能算出AB2+BC2=AC2 ,就可以说明边BC垂于底边AB. 问题：李叔叔想要检测雕塑底座正面的边AD 和边BC是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺.李叔叔量得边AD长是30 cm，边AB 长是40 cm，边BD 长是50 cm.边AD 垂直于边AB 吗？ 教师活动：引导学生通过勾股定理证得BC垂直于AB得出结论.巡视同学做题过程，对于有困难的学生给予指导，然后用多媒体展示答题过程. 解:连接BD ∵AD=30,AB=40,BD=50 又∵AD2+AB2=302+402=502=BD2 ∴ΔABD为直角三角形,∠A=90° ∴AD AB 同理可证得：BC⊥AB. 问题：小明随身只有一个长度为20cm的刻度尺，他能有办法检验边AD是否垂直于边AB 吗？ 解:在AD上取点M,使AM=9, 在AB上取点N，使AN=12, 92+122=152 测量MN是否是15， 是，就是垂直；不是，就是不垂直. 认真思考 用提前做好的一个圆柱，从A点到B点沿圆柱侧面画出蚂蚁走的几条路线. 认真观察、探究交流并说一说. 最短路程是AB，AB与圆柱的高和底面圆周长的一半构成了一个直角三角形，利用勾股定理即可以求出AB的长. 在教师的引导下，认真思考并在作业本上作答. 由有趣的实际问题引入，激发学生学习兴趣. 让学生经历把曲面上两点之间的距离转化为平面上两点之间线段最短更为直观，再次利用勾股定理解决生活中较为复杂的实际问题，使所学的知识得到充分运用. 通过将一个问题设计成多问，难度循序渐进，锻炼学生勇于克服困难的思维品质、灵活解决问题的能力，使学生有足够的信心去关注后面的问题.同时让学生体验运用所学知识解决实际问题的成功. 本题旨在对“蚂蚁怎样走最近”进行拓展，从圆柱侧面到棱柱侧面，都是将空间问题平面化. 通过先寻找“关键点”，再找到“最短距离”，最终在直角三角形内利用勾股定理计算最短距离这一过程，使学生再次领悟任何一个几何图形都是由基本元素“点”，“线”，“面”构成，回归几何的本真！ 在解决这个问题时，让学生充分思考检验的方法.运用勾股定理逆定理来解决实际问题，让学生学会分析问题，利用允许的工具灵活处理问题.
环节三 应用 新知 【典型例题】 教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再在小组内交流探讨，教师巡视，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程. 典型例题 【例1】 如图是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置，则刚好与AB一样长．已知滑梯的高度CE=3 m，CD=1 m，试求滑道AC的长． 分析：根据题意可的AC=AB，可设AC为xm,从而AE是（x-1）m,而△AEC是直角三角形，由勾股定理可得AC的值. 解：设滑道AC的长度为x m，则AB的长度为x m，AE的长度为(x－1)m． 在Rt△AEC中，∠AEC=90°， 由勾股定理得AE2+CE2=AC2， 即(x－1)2+32= x 2， 解得x =5． 故滑道AC的长度为5 m． 【例2】在一次台风的袭击中，小明家房前的一棵大树在离地面6米处断裂，树的顶部落在离树根底部8米处.你能告诉小明这棵树折断之前有多高吗？ 教师根据题干分析题中提供的已知条件，并画出图形. 解：根据题意可以构建一直角三角形模型，如图. 在Rt△ABC中，AC=6米，BC=8米， 由勾股定理得 AB=10米. ∴这棵树在折断之前的高度是10+6=16（米）. 思考问题，尝试回答问题，明确例题的做法 思考问题，尝试回答问题 明确例题的做法 初步运用勾股定理解决实际问题，培养学生应用数学的意识和能力；体会勾股定理的应用价值，巩固所学知识. 让学生在探究过程中进一步加深对从实际问题中抽象出直角三角形这一模型的认识和理解，强化转化思想，培养学生的应用意识.引导学生从数学现象背后发现数学规律，为后面学生独立解题打下一定的基础.
环节四 巩固 新知 教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解. 1.小华和小刚兄弟两个同时从家去同一所学校上学，速度都是每分钟走50米.小华从家到学校走直线用了10分钟，而小刚从家出发先去找小明再到学校（均走直线），小刚到小明家用了6分钟，小明家到学校用了8分钟，小刚上学走了个（ ） A.锐角弯 B.钝角弯 C.直角弯 D.不能确定 教师画示意图： ∴所以小刚上学走了个直角弯. 答案：C 2.如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6 cm，BC＝8 cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长是 . 教师提示：因为DE是折痕，所以E为AB的中点，AE=BE= AB，只要根据勾股定理求出Rt△ABC斜边AB的长，就可求出BE的长. 答案：5 cm. 3.如图，某探险队的A组由驻地O点出发，以12km/h的速度前进，同时，B组也由驻地O出发，以9km/h的速度向另一个方向前进，2h后同时停下来，这时A、B两组相距30km.此时，A，B两组行进的方向成直角吗？请说明理由. 解：2小时后，A组行驶的路程为： 12×2=24（km）； B组行驶的路程为：9×2=18（km）； 又因为A，B两组相距30 km， 且有242+182=302 所以A，B两组行进的方向成直角. 自主完成练习，然后集体交流评价. 通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.
环节五 课堂 小结 回顾本节课所讲的内容 通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.
环节六 布置 作业 教科书第14页 习题1.4 第1、2、3 题 课后完成练习 通过课后作业，教师能及时了解学生对本节课知识的掌握情况，以便对教学进度和方法进行适当的调整.(共22张PPT)
3 勾股定理的应用
1.会灵活运用勾股定理求解立体图形上两点之间路线最短的问题，体会勾股定理在代数问题和几何问题中的应用.
2.能正确运用勾股定理及直角三角形的判别方法解决简单的实际问题.
3.能够运用勾股定理解决实际生活中的问题，熟练运用勾股定理进行计算，增强数学知识的应用意识.
4.在将实际问题抽象成数学问题的过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想.
学习目标
勾股定理的应用
重点
难点
准备好了吗？一起去探索吧！
复习回顾
如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a b c .
勾股定理
a
b
c
如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是 .
直角三角形
满足a2+b2=c2的三个正整数，称为 .
勾股数
观察思考
小明要去野外郊游，走哪条路最近呢？为什么呢？
1
2
3
线路 ，因为两点之间线段最短.
3
B
A
有一个圆柱，它的高等于12 cm，底面上圆的周长等于18 cm.在圆柱下底面的点A有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，沿圆柱侧面蚂蚁怎么爬行的路程最短呢？
做一做 自己做一个圆柱，尝试从A点到B点沿圆柱侧面画出几条路线，你觉得哪条路线最短呢？
探究
B
A
d
A
B
B
A'
A
P
A→B的路线长为：AA′+A′B ；
A→B的路线长为：AA′+曲线A′B ；
A→B的路线长为：曲线AP +曲线PB ；
A→B的路线长：曲线AB ．
1
2
3
4
A
B
A'
探究
A
B
侧面展开图
B
A
d
A'
B
A'
A
B
A
P
B
A
A′
P
d
(B)
探究
将圆柱侧面剪开展成一个长方形，从点A到点B的最短路线是什么？你画对了吗？
侧面展开图
将圆柱的侧面展开，把曲线分别转化为对应线段，然后结合两点之间线段最短，得出结论：
第(4)种方案路程最短．
B
A
O
A'
P
探究
B
A
A′
P
d
(B)
侧面展开图
B
A
O
A'
B
A
A′
探究
蚂蚁从点A出发，想吃到点B上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？该如何计算呢？
最短路程是AB，AB与圆柱的高和底面圆周长的一半构成了一个直角三角形，利用勾股定理即可以求出AB的长.
侧面展开图
B
A
O
A'
在Rt△A′AB中，利用勾股定理，得AB =AA′ +A′B ．
B
A
A′
探究
其中AA′是圆柱体的高，A′B是底面圆周长的一半．
已知圆柱体高为12 cm，底面周长的一半为18÷2=9(cm) ，
则
做一做
如图，在棱长为10 cm的正方体的一个顶点A处有一只蚂蚁，现要向顶点B处爬行，已知蚂蚁爬行的速度是1 cm/s，且速度保持不变，问蚂蚁能否在20 s内从A爬到B？
解：将正方体展开得到如下图形，由勾股定理得，
20×1=20(cm)
∵
∴蚂蚁不能在20 s内从A爬到B．
A
B
B
A
10cm
李叔叔想要检测雕塑底座正面的边AD 和边BC是否分别垂于底边AB，但他随身只带了卷尺.
连接BD,如果能算出AD2+AB2=BD2 ,就可以说明边AD 垂于底边AB.
连接AC,如果能算出AB2+BC2=AC2 ,就可以说明边BC垂于底边AB.
你能替他想办法完成任务吗？
探究
探究
解:连接BD
∵AD=30,AB=40,BD=50
又∵AD2+AB2=302+402=502=BD2
∴ΔABD为直角三角形,∠A=90°
∴AD AB
同理可证得BC⊥AB
李叔叔量得边AD长是30cm，边AB 长是40cm，边BD 长是50cm.边AD 垂直于边AB 吗？
李叔叔想要检测雕塑底座正面的边AD 和边BC是否分别垂于底边AB，但他随身只带了卷尺.
小明随身只有一个长度为20 cm的刻度尺，他能有办法检验边AD是否垂直于边AB 吗？
解:在AD上取点M,使AM=9,
在AB上取点N，使AN=12,
92+122=152
测量MN是否是15，
是，就是垂直；
不是，就是不垂直.
M
N
探究
例1 如图是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置，则刚好与AB一样长．已知滑梯的高度CE=3 m，CD=1 m，试求滑道AC的长．
解：设滑道AC的长度为x m，则AB的长度为x m，
AE的长度为(x-1)m．
在Rt△AEC中，∠AEC=90°
由勾股定理得AE2+CE2=AC2，
即(x-1)2+32= x 2，
解得x =5．
故滑道AC的长度为5 m．
典型例题
3cm
1cm
x m
(x-1) m
例2 在一次台风的袭击中，小明家房前的一棵大树在离地面6米处断裂，树的顶部落在离树根底部8米处.你能告诉小明这棵树折断之前有多高吗？
8 米
6米
解：根据题意可以构建一直角三角形模型，如图.
在Rt△ACB中，AC=6米，BC=8米，
由勾股定理得
∴这棵树在折断之前的高度是10+6=16（米）.
A
B
C
典型例题
随堂练习
1.小华和小刚兄弟二人同时从家去同一所学校上学，速度都是每分钟走50米.小华从家到学校走直线用了10分钟，而小刚从家出发先去找小明再到学校（均走直线），小刚到小明家用了6分钟，小明家到学校用了8分钟，小刚上学走了个（ ）
A.锐角弯 B.钝角弯 C.直角弯 D.不能确定
C
小明家
学校
家
小华路线
小刚路线
(10分钟)
(8分钟)
(6分钟)
∴所以小刚上学走了个直角弯.
随堂练习
2.如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6 cm，BC＝8 cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长是 .
6cm
8cm
5cm
因为DE是折痕，折叠后点B与点A重合，所以E为AB的中点，则AE=BE= AB，只要根据勾股定理求出Rt△ABC斜边AB的长，就可求出BE的长.
A
C
E
B
D
随堂练习
3.如图，某探险队的A组由驻地O点出发，以12km/h的速度前进，同时，B组也由驻地O出发，以9km/h的速度向另一个方向前进，2h后同时停下来，这时A、B两组相距30km.此时，A，B两组行进的方向成直角吗？请说明理由.
解：2小时后，A组行驶的路程为：12×2=24（km）；
B组行驶的路程为：
9×2=18（km）；
又因为A，B两组相距30km，
且有242+182=302
所以A，B两组行进的方向成直角.
A
O
B
30km
A组
B组
勾股定理的应用
求立体图形中的最短路径问题：
3
1
用勾股定理判断三角形中的垂直关系.
在直角三角形中，已知其中两边长，用勾股定理可以求第三边长.
立体图形
平面图形
展开
确定路线
两点之间，线段最短
构建直角三角形
根据勾股定理计算
2
教科书第14页
习题1.4
第1、2、3 题
再见

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