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第3节 匀变速直线运动的位移与时间的关系
【教材习题一】教材P44页“练习与应用”第2题
【答案】
（1）根据匀变速直线运动位移公式，代入数据计算得，负号表示加速度方向与速度方向相反。
（2）汽车制动的总时间为：
所以5s内的位移即为4.5s内的位移，则位移为
【要点点拨】匀变速直线运动的位移
1．利用v－t图像求位移
图1
v－t图像与时间轴所围的面积表示位移，如图1所示，在图乙中，匀变速直线运动位移x＝(v0＋v)t.
2．匀变速直线运动位移与时间的关系式：x＝v0t＋at2，当初速度为0时，x＝at2.
3．在v－t图像中，图线与t轴所围的面积对应物体的位移，t轴上方面积表示位移为正，t轴下方面积表示位移为负．
4．位移公式x＝v0t＋at2只适用于匀变速直线运动．
5．公式中x、v0、a都是矢量，应用时必须选取正方向．一般选v0的方向为正方向．当物体做匀减速直线运动时，a取负值，计算结果中，位移x的正负表示其方向．
6．当v0＝0时，x＝at2，即由静止开始的匀加速直线运动的位移公式，位移x与t2成正比．
【变式1】一物体以初速度v0做匀减速直线运动，第1s内通过位移为x1=3m，第2s内通过的位移x2=2m，此后又经过位移x3，物体的速度减小为0，则下列说法中不正确的是（　　）
A．初速度v0的大小为2.5m/s B．加速度a的大小为1m/s2
C．位移x3的大小为1.125m D．位移x3内的平均速度大小为0.75m/s
【变式2】一质点沿直线运动，其平均速度与时间的数量关系满足（各物理量均选用国际单位制单位），则关于该质点的运动，下列说法正确的是（ ）
A．质点可能做匀减速直线运动 B．5s内质点的位移为35m
C．质点运动的加速度为 D．质点在3s末的速度为
【教材习题二】教材P44页“练习与应用”第4题
【答案】
飞机滑跃式起飞过程是两段连续的匀加速直线运动，根据题目可知：，；
，。
根据匀变速直线运动速度与位移公式：，，联立解的：
【要点点拨】速度与位移的关系
1．公式：v2－v02＝2ax.
2．推导：由速度时间关系式v＝v0＋at，位移时间关系式x＝v0t＋at2，得v2－v02＝2ax.
3．对速度与位移的关系v2－v02＝2ax的理解
（1）适用范围：仅适用于匀变速直线运动．
（2）矢量性：公式中v0、v、a、x都是矢量，应用解题时一定要先设定正方向，一般取v0方向为正方向：
若是加速运动，a取正值，若是减速运动，a取负值．
x＞0，位移的方向与初速度方向相同，x＜0则为减速到0，又返回到计时起点另一侧的位移．
v＞0，速度的方向与初速度方向相同，v＜0则为减速到0，又返回过程的速度．
（3）公式的特点：不涉及时间，v0、v、a、x中已知三个量可求第四个量．
【变式1】做匀加速直线运动的列车出站时，车头经过站台时的速度是1m/s，车尾经过站台时的速度是7m/s，则车的中部经过站台时的速度是（　　）
A．3.5ms B．4.0ms C．5.0ms D．5.5ms
【变式2】汽车紧急刹车后，停止运动的车轮在水平地面上滑动直至停止，在地面上留下的痕迹称为刹车线。由刹车线的长短可知汽车刹车前的速度。已知汽车刹车减速运动的加速度大小为8.0m/s2，测得刹车线长25m。汽车在刹车前的瞬间的速度大小为（　　）
A．10m/s B．20m/s C．30m/s D．40m/s
1．A、B、C三点在同一条直线上，一物体从A点由静止开始做匀加速直线运动，经过B点的速度是v，到C点的速度是3v，则xAB：xBC等于（　　）
A．1∶8 B．1∶6 C．1∶5 D．1∶3
2．用传感器研究质量为2 kg的物体由静止开始做直线运动的规律时，在计算机上得到0～6 s内物体的加速度随时间变化的关系如图所示。下列说法正确的是（　　）
A．0～6 s内物体先向正方向运动，后向负方向运动
B．0～6 s内物体在4 s末的速度最大
C．物体在2～4 s内速度不变
D．0～4 s内合力对物体做的功等于0～6 s内合力对物体做的功
3．一辆汽车沿着平直的道路行驶，位移一时间图象如图所示，以下有关汽车的运动描述正确的是（　　）
A．这段时间内汽车做匀速直线运动
B．时汽车离出发点最远
C．汽车前内的平均速度小于前内的平均速度
D．时汽车在返回出发点的途中
4．A、B两质点在同一平面内同时向同一方向做直线运动，它们的位置—时间图象如图所示，其中A是顶点过原点的抛物线的一部分，B是过点（0，3）的一条直线，两图象相交于坐标为（3，9）的P点，则下列说法不正确的是（　　）
A．质点A做初速度为零、加速度为2 m/s2的匀加速直线运动
B．质点B以2 m/s的速度做匀速直线运动
C．在前3 s内，质点A比B向前多前进了9 m
D．在3 s前某时刻质点A、B速度相等
5．如图所示，一小球从A点由静止开始沿斜面做匀变速直线运动，若到达B点时速度为v，到达C点时速度为2v，则AB∶BC等于（ ）
A．1∶1 B．1∶2
C．1∶3 D．1∶4
6．随着空气质量的恶化，雾霾天气现象增多，危害加重。雾和霾相同之处都是视程障碍物，会使有效水平能见度减小从而带来行车安全隐患。在一大雾天，一辆小汽车以30 m/s的速度匀速行驶在高速公路上，突然发现正前方30 m处有一辆大卡车以10 m/s的速度同方向匀速行驶，小汽车紧急刹车，刹车过程中刹车失灵。如图所示，图线a、b分别为小汽车和大卡车的v-t图像（忽略刹车反应时间），以下说法正确的是（　　）
A．因刹车失灵前小汽车已减速，故不会发生追尾事故
B．在t=3 s时发生追尾事故
C．在t=5 s时发生追尾事故
D．若紧急刹车时两车相距40米，则不会发生追尾事故且两车最近时相距10米
7．汽车从开始制动到停止所行驶的距离，是衡量汽车制动性能的参数之一。某型号的汽车以100km/h的速度在柏油路面上行驶，急刹车后做匀减速直线运动。若匀减速时的加速度大小为5m/s2，开始制动后2s内汽车行驶的距离是多少 从开始制动到完全停止，汽车行驶的距离是多少
8．一辆肇事汽车在紧急刹车后停了下来，路面上留下了一条车轮滑动的磨痕。警察为了判断汽车刹车时速度的大小，测出路面上车轮磨痕的长度为22.5m。根据对车轮和路面材料的分析可以知道，车轮在路面上滑动时汽车做匀减速直线运动的加速度大小是5.0。请你根据以上条件，计算汽车刚开始刹车时的速度是多少？
9．航空母舰上的战斗机要具有一定的对地速度才能安全起飞。若战斗机在航空母舰上的起飞过程中的最大加速度是，为了使战斗机能安全起飞，试回答下列问题：
(1)若航空母舰静止，战斗机从静止开始加速，则航空母舰的甲板至少多长？
(2)若航空母舰静止，其甲板长，则战斗机应具有的最小初速度为多大？
(3)若航空母舰甲板长，战斗机开始时相对于航空母舰静止，则航空母舰应以至少多大的速度向什么方向航行？
10．在平直的公路上，一辆小汽车前方26m处有一辆大客车正以12m/s的速度匀速前进，这时小汽车从静止出发以1m/s2的加速度追赶。试求：
(1)小汽车何时追上大客车？
(2)追上时小汽车的速度有多大？
(3)追上前小汽车与大客车之间的最远距离是多少？第3节 匀变速直线运动的位移与时间的关系
【教材习题一】教材P44页“练习与应用”第2题
【答案】
（1）根据匀变速直线运动位移公式，代入数据计算得，负号表示加速度方向与速度方向相反。
（2）汽车制动的总时间为：
所以5s内的位移即为4.5s内的位移，则位移为
【要点点拨】匀变速直线运动的位移
1．利用v－t图像求位移
图1
v－t图像与时间轴所围的面积表示位移，如图1所示，在图乙中，匀变速直线运动位移x＝(v0＋v)t.
2．匀变速直线运动位移与时间的关系式：x＝v0t＋at2，当初速度为0时，x＝at2.
3．在v－t图像中，图线与t轴所围的面积对应物体的位移，t轴上方面积表示位移为正，t轴下方面积表示位移为负．
4．位移公式x＝v0t＋at2只适用于匀变速直线运动．
5．公式中x、v0、a都是矢量，应用时必须选取正方向．一般选v0的方向为正方向．当物体做匀减速直线运动时，a取负值，计算结果中，位移x的正负表示其方向．
6．当v0＝0时，x＝at2，即由静止开始的匀加速直线运动的位移公式，位移x与t2成正比．
【变式1】一物体以初速度v0做匀减速直线运动，第1s内通过位移为x1=3m，第2s内通过的位移x2=2m，此后又经过位移x3，物体的速度减小为0，则下列说法中不正确的是（　　）
A．初速度v0的大小为2.5m/s B．加速度a的大小为1m/s2
C．位移x3的大小为1.125m D．位移x3内的平均速度大小为0.75m/s
【答案】A
【详解】
AB．根据△x=at2得，
根据第1s内通过位移为x1=3m，则有
解得v0=3.5m/s，故A错误，符合题意；B正确，不符合题意；
C．第2s末的速度
v2=v0+at=3.5m/s-1×2m/s=1.5m/s
则
故C正确，不符合题意；
D．位移x3内的平均速度大小
故D正确，不符合题意。
故选A。
【变式2】一质点沿直线运动，其平均速度与时间的数量关系满足（各物理量均选用国际单位制单位），则关于该质点的运动，下列说法正确的是（ ）
A．质点可能做匀减速直线运动 B．5s内质点的位移为35m
C．质点运动的加速度为 D．质点在3s末的速度为
【答案】B
【详解】
AC．将平均速度与联立可得，
，
对比知，质点的初速度v0=2m/s，加速度，质点做匀加速直线运动，故AC错误．
B.5s内质点的位移
故B正确．
D.质点在3s末的速度：
故D错误．
【教材习题二】教材P44页“练习与应用”第4题
【答案】
飞机滑跃式起飞过程是两段连续的匀加速直线运动，根据题目可知：，；
，。
根据匀变速直线运动速度与位移公式：，，联立解的：
【要点点拨】速度与位移的关系
1．公式：v2－v02＝2ax.
2．推导：由速度时间关系式v＝v0＋at，位移时间关系式x＝v0t＋at2，得v2－v02＝2ax.
3．对速度与位移的关系v2－v02＝2ax的理解
（1）适用范围：仅适用于匀变速直线运动．
（2）矢量性：公式中v0、v、a、x都是矢量，应用解题时一定要先设定正方向，一般取v0方向为正方向：
若是加速运动，a取正值，若是减速运动，a取负值．
x＞0，位移的方向与初速度方向相同，x＜0则为减速到0，又返回到计时起点另一侧的位移．
v＞0，速度的方向与初速度方向相同，v＜0则为减速到0，又返回过程的速度．
（3）公式的特点：不涉及时间，v0、v、a、x中已知三个量可求第四个量．
【变式1】做匀加速直线运动的列车出站时，车头经过站台时的速度是1m/s，车尾经过站台时的速度是7m/s，则车的中部经过站台时的速度是（　　）
A．3.5ms B．4.0ms C．5.0ms D．5.5ms
【答案】C
【详解】
列车经过站台，可看成匀加速直线运动的物体经过车头的速度为，经过车尾的速度为，求经过列车中间位置时的速度；令列车长度为L，加速度为a，则据速度位移关系
得
联列解得
故选C。
【变式2】汽车紧急刹车后，停止运动的车轮在水平地面上滑动直至停止，在地面上留下的痕迹称为刹车线。由刹车线的长短可知汽车刹车前的速度。已知汽车刹车减速运动的加速度大小为8.0m/s2，测得刹车线长25m。汽车在刹车前的瞬间的速度大小为（　　）
A．10m/s B．20m/s C．30m/s D．40m/s
【答案】B
【详解】
由题知，刹车后汽车的加速度大小为a=8m/s2，末速度v=0，根据
解得
故选B。
1．A、B、C三点在同一条直线上，一物体从A点由静止开始做匀加速直线运动，经过B点的速度是v，到C点的速度是3v，则xAB：xBC等于（　　）
A．1∶8 B．1∶6 C．1∶5 D．1∶3
【答案】A
【详解】
设物体的加速度为a，物体从A到B有
物体从B到C有
联立得
xAB：xBC=1:8
故选A。
2．用传感器研究质量为2 kg的物体由静止开始做直线运动的规律时，在计算机上得到0～6 s内物体的加速度随时间变化的关系如图所示。下列说法正确的是（　　）
A．0～6 s内物体先向正方向运动，后向负方向运动
B．0～6 s内物体在4 s末的速度最大
C．物体在2～4 s内速度不变
D．0～4 s内合力对物体做的功等于0～6 s内合力对物体做的功
【答案】D
【详解】
A．a t图象中图线与时间轴围成的面积代表物体在相应时间内速度的变化情况，在时间轴上方为正，在时间轴下方为负。由题图可得，物体在6 s末的速度v6＝6 m/s，则0～6 s内物体一直向正方向运动，选项A错误；
B．物体在5 s末速度最大，vm＝7 m/s，选项B错误；
C．在2～4 s内物体加速度不变，物体做匀加速直线运动，速度变大，选项C错误；
D．在0～4 s内，合力对物体做的功由动能定理可知
W合4＝－0＝36 J
0～6 s内，合力对物体做的功由动能定理可知
W合6＝－0＝36 J
则W合4＝W合6，选项D正确。
故选D。
3．一辆汽车沿着平直的道路行驶，位移一时间图象如图所示，以下有关汽车的运动描述正确的是（　　）
A．这段时间内汽车做匀速直线运动
B．时汽车离出发点最远
C．汽车前内的平均速度小于前内的平均速度
D．时汽车在返回出发点的途中
【答案】D
【详解】
A．这段时间内汽车静止，选项A错误；
B．时汽车位移为零，回到出发点，选项B错误；
C．汽车前内的位移等于前内的位移，根据
可知，汽车前内的平均速度大于前内的平均速度，选项C错误；
D．汽车在20s-40s内反向运动，即时汽车在返回出发点的途中，选项D正确。
故选D。
4．A、B两质点在同一平面内同时向同一方向做直线运动，它们的位置—时间图象如图所示，其中A是顶点过原点的抛物线的一部分，B是过点（0，3）的一条直线，两图象相交于坐标为（3，9）的P点，则下列说法不正确的是（　　）
A．质点A做初速度为零、加速度为2 m/s2的匀加速直线运动
B．质点B以2 m/s的速度做匀速直线运动
C．在前3 s内，质点A比B向前多前进了9 m
D．在3 s前某时刻质点A、B速度相等
【答案】C
【详解】
A．质点A的运动方程为，则初速度为零，加速度a＝2 m/s2，故A正确；
B．B直线的斜率表示速度，故质点B做匀速直线运动，质点B的速度为
故B正确；
C．在前3s内，质点B的位移为6m，质点A的位移为9m，质点A比B向前多前进了3 m，故C错误；
D．t＝1s时刻，质点A的速度为2m/s，质点B以v＝2m/s的速度做匀速直线运动，故D正确；
故选C。
5．如图所示，一小球从A点由静止开始沿斜面做匀变速直线运动，若到达B点时速度为v，到达C点时速度为2v，则AB∶BC等于（ ）
A．1∶1 B．1∶2
C．1∶3 D．1∶4
【答案】C
【详解】
根据匀变速直线运动的速度位移公式
v2 - v02 = 2ax
知
xAB = ，xAC =
所以
AB∶AC = 1∶4
则
AB∶BC = 1∶3
故选C。
6．随着空气质量的恶化，雾霾天气现象增多，危害加重。雾和霾相同之处都是视程障碍物，会使有效水平能见度减小从而带来行车安全隐患。在一大雾天，一辆小汽车以30 m/s的速度匀速行驶在高速公路上，突然发现正前方30 m处有一辆大卡车以10 m/s的速度同方向匀速行驶，小汽车紧急刹车，刹车过程中刹车失灵。如图所示，图线a、b分别为小汽车和大卡车的v-t图像（忽略刹车反应时间），以下说法正确的是（　　）
A．因刹车失灵前小汽车已减速，故不会发生追尾事故
B．在t=3 s时发生追尾事故
C．在t=5 s时发生追尾事故
D．若紧急刹车时两车相距40米，则不会发生追尾事故且两车最近时相距10米
【答案】B
【详解】
ABC．根据速度时间图线与时间轴所围“面积”大小等于位移大小，由题图知，t=3 s时，b车的位移为
a车的位移为
则
所以在t=3 s时追尾， AC错误B正确；
D．由图线可知在t=5 s时两车速度相等，小汽车相对于大卡车的位移
则不会发生追尾事故且两车最近时相距5 m，D错误。
故选B。
7．汽车从开始制动到停止所行驶的距离，是衡量汽车制动性能的参数之一。某型号的汽车以100km/h的速度在柏油路面上行驶，急刹车后做匀减速直线运动。若匀减速时的加速度大小为5m/s2，开始制动后2s内汽车行驶的距离是多少 从开始制动到完全停止，汽车行驶的距离是多少
【答案】45.6m，77.3m
【详解】
选定初速度方向为正方向，由题意知v0=100km/h=27.8m/s，a=-5m/s2，vt=0，t=2s。
根据速度公式vt=v0+at，可知汽车刹车时间
因为t=27.8×2+×（-5）×22=45.6m
根据公式
可得汽车从开始制动到完全停止的位移
所以开始制动后2s内汽车行驶的距离为45.6m；从开始制动到完全停止，汽车行驶的距离为77.3m。
8．一辆肇事汽车在紧急刹车后停了下来，路面上留下了一条车轮滑动的磨痕。警察为了判断汽车刹车时速度的大小，测出路面上车轮磨痕的长度为22.5m。根据对车轮和路面材料的分析可以知道，车轮在路面上滑动时汽车做匀减速直线运动的加速度大小是5.0。请你根据以上条件，计算汽车刚开始刹车时的速度是多少？
【答案】15m/s
【详解】
设汽车刚开始刹车时的速度为v0，末速度为0，由匀变速直线运动规律
解得
9．航空母舰上的战斗机要具有一定的对地速度才能安全起飞。若战斗机在航空母舰上的起飞过程中的最大加速度是，为了使战斗机能安全起飞，试回答下列问题：
(1)若航空母舰静止，战斗机从静止开始加速，则航空母舰的甲板至少多长？
(2)若航空母舰静止，其甲板长，则战斗机应具有的最小初速度为多大？
(3)若航空母舰甲板长，战斗机开始时相对于航空母舰静止，则航空母舰应以至少多大的速度向什么方向航行？
【答案】(1)300m ；(2)34.6m/s；(3)11m/s 速度与战斗机起飞方向相同
【详解】
(1)根据速度位移公式
代入数据可得航空母舰的甲板的长度至少为
(2)根据速度位移公式
代入数据可得战斗机应具有的最小初速度为
(3)设飞机起飞所用的时间为t，在时间t内航空母舰航行的距离为L1，航空母舰的最小速度为v2
对航空母舰有
L1=v2t
对飞机有
v=v2+at
v2-v22=2a（L+L1）
由以上联立解得
v2=11m/s
速度与战斗机起飞方向相同。
10．在平直的公路上，一辆小汽车前方26m处有一辆大客车正以12m/s的速度匀速前进，这时小汽车从静止出发以1m/s2的加速度追赶。试求：
(1)小汽车何时追上大客车？
(2)追上时小汽车的速度有多大？
(3)追上前小汽车与大客车之间的最远距离是多少？
【答案】(1)26s；(2)26m/s；(3)98m
【详解】
(1)当小汽车追上大客车时：
代入解得
(2)追上时小汽车的速度为
(3)追上前当两车速度相同时相距最远，当两车速度相同时所需时间为
此时两车相距

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