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第3节 牛顿第二定律
【教材习题一】教材P92页“练习与应用”第5题
【答案】
车受到水平推力作用时，车在水平方向受到两个力的作用,如图甲所示,设小车运动方向为正方向，根据牛顿第二定律有,则
撤去推力,车在水平方向只受摩擦力作用,如图乙所示，则有，
【要点点拨】牛顿第二定律
1．对牛顿第二定律的理解
(1)a＝是加速度的决定式，该式揭示了加速度的大小取决于物体所受的合力大小及物体的质量，加速度的方向取决于物体所受的合力的方向．
(2)a＝是加速度的定义式，但加速度的大小与速度变化量及所用的时间无关．
(3)公式F＝ma，单位要统一：表达式中F、m、a三个物理量的单位都必须是国际单位．
(4)公式F＝ma中，若F是合力，加速度a为物体的实际加速度；若F是某一个分力，加速度a为该力产生的分加速度．
2．牛顿第二定律的四个性质
(1)因果性：力是产生加速度的原因，只要物体所受的合力不为0，物体就具有加速度．
(2)矢量性：F＝ma是一个矢量式．物体的加速度方向由它受的合力方向决定，且总与合力的方向相同．
(3)瞬时性：加速度与合力是瞬时对应关系，同时产生，同时变化，同时消失．
(4)独立性：作用在物体上的每一个力都产生加速度，物体的实际加速度是这些加速度的矢量和．
【方法指导】牛顿第二定律的简单应用
1．应用牛顿第二定律解题的一般步骤
(1)确定研究对象．
(2)进行受力分析和运动状态分析，画出受力分析图，明确运动性质和运动过程．
(3)求出合力或加速度．
(4)根据牛顿第二定律列方程求解．
2．应用牛顿第二定律解题的方法
(1)矢量合成法：若物体只受两个力作用，应用平行四边形定则求这两个力的合力，物体所受合力的方向即加速度的方向．
(2)正交分解法：当物体受多个力作用时，常用正交分解法求物体所受的合力．
①建立直角坐标系时，通常选取加速度的方向作为某一坐标轴的正方向(也就是不分解加速度)，将物体所受的力正交分解后，列出方程Fx＝ma，Fy＝0(或Fx＝0，Fy＝ma)．
②特殊情况下，若物体的受力都在两个互相垂直的方向上，也可将坐标轴建立在力的方向上，正交分解加速度a.根据牛顿第二定律列方程求解．
【变式1】如图所示，质量为1kg的物体静止在水平面上，物体与水平面间的动摩擦因数μ＝0.5，物体受到大小为20N、与水平方向成37°角斜向右下的推力F作用时，沿水平方向做匀加速直线运动，求物体加速度的大小。（g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）
【变式2】如图所示，质量为4 kg的物体静止于水平面上．现用大小为40 N、与水平方向夹角为37°斜向上的力F拉物体，使物体沿水平面做匀加速直线运动(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)．求：
(1)若水平面光滑，物体加速度的大小．
(2)若物体与水平面间的动摩擦因数为0.5，物体加速度的大小．
1．某摩天大楼中一部直通高层的客运电梯，行程超过百米。电梯的简化模型如图甲所示。考虑安全、舒适、省时等因素，电梯的加速度a是随时间t变化的。已知电梯在t＝0时由静止开始上升，以向上方向为正方向，电梯的加速度a随时间t的变化如图乙所示。图甲中一乘客站在电梯里，电梯对乘客的支持力为FN，根据图乙可以判断，力FN大于重力且逐渐变大的时间段有（ ）
A．0～1s内 B．10～11s内 C．30～31s内 D．40～41s内
2．如图所示，静止在光滑水平面上的物体A，一端靠着处于自然状态的弹簧。现对物体作用一水平恒力，在弹簧被压缩到最短的这一过程中，物体的速度和加速度变化的情况是（ ）
A．速度增大，加速度增大 B．速度增大，加速度减小
C．速度先增大后减小，加速度先减小后增大 D．速度先增大后减小，加速度先增大后减小
3．汽车紧急刹车后，停止运动的车轮在水平地面上滑动直至停止，在地面上留下的痕迹称为刹车线。由刹车线的长短可知汽车刹车前的速度。已知汽车轮胎与地面之间的动摩擦因数为，测得刹车线长25m。汽车在刹车前的瞬间的速度大小为重力加速度g取 （　　）
A．10 B．20 C．30 D．40
4．如图所示，质量为m的滑块P置于光滑水平面上，左侧通过细线连接墙上E点，细线保持水平；右侧通过轻弹簧连接天花板上F点，弹簧与水平面夹角为，此时P对水平面的压力恰好为零，则（　　）
A．弹簧中的弹力大小为 B．细线中的拉力大小为
C．剪断细绳瞬间滑块P的加速度大小为 D．剪断弹簧瞬间滑块P的加速度大小为是
5．在反恐演习中，中国特种兵进行了飞行跳伞表演，某伞兵从静止的直升飞机上跳下，在t0时刻打开降落伞，在3t0时刻以速度v2着地，伞兵运动的速度随时间变化的规律如图所示，下列结论错误的是（　　）
A．在0～t0时间内加速度不变，在t0～3t0时间内加速度减小
B．降落伞打开后，降落伞和伞兵所受的阻力越来越小
C．在t0～3t0的时间内，平均速度
D．若第一个伞兵在空中打开降落伞时第二个伞兵立即跳下，则他们在空中的距离先增大后减小
6．如图甲、乙所示，物块A1、A2、B1和B2的质量均为m，A1、A2用刚性轻杆连接，B1、B2用轻质弹簧接连，两个装置都放在水平的支托物上，处于平衡状态，今突然撤去支托物，让物块下落，在撤去支托物的瞬间，A1、A2受到的合力分别为FA1、FA2，B1、B2受到的合力分别为FB1和FB2，不计空气阻力。则（　　）
A．FA1＝0，FA2＝2mg，FB1＝0，FB2＝2mg
B．FA1＝mg，FA2＝mg，FB1＝0，FB2＝2mg
C．FA1＝mg，FA2＝2mg，FB1＝mg，FB2＝mg
D．FA1＝mg，FA2＝mg，FB1＝mg，FB2＝mg
7．质量为的物体，在两个大小相等、夹角为的共点力作用下，产生的加速度大小为，当两个力的大小不变，夹角变为时，物体的加速度大小变为________；夹角变为时，物体的加速度大小变为_______。
8．如图所示，吊篮A、物体B、物体C的质量相等，弹簧质量不计，B和C分别固定在弹簧两端，放在吊篮的水平底板上静止不动。将悬挂吊篮的轻绳剪断的瞬间，物体B的加速度大小为________；物体C的加速度大小为________。（重力加速度为g）
9．如图甲所示某物体静止在粗糙的水平面上，现用与水平面成37°角斜向上的力F拉该物体，得到物体沿水平面运动时的加速度a和拉力F的关系图像如图乙所示．已知最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，sin37°=0.6，g=10m/s2 ．求
（1）该物体的质量；
（2）该物体与水平面之间的动摩擦因数．
10．近年来，全国广泛开展了礼让斑马线专项行动，“文明行车，礼让行人”成为了很多司机的出行共识．某汽车以12m/s的速度沿倾角为37°的斜坡向上匀速行驶，驾驶员发现正前方15m处的斑马线上有行人，于是刹车礼让，汽车停下来时距离斑马线1.8m．假设驾驶员反应时间为0.5s，汽车运动的v-t图像如图所示．若汽车和人的总质量为m=1500kg，g取10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8．求：
（1）在驾驶员反应时间内，汽车行驶的位移大小;
（2）汽车在刹车过程中所用时间;
（3）若认为驾驶员急刹车时车与地面之间是滑动摩擦，求动摩擦因数μ．第3节 牛顿第二定律
【教材习题一】教材P92页“练习与应用”第5题
【答案】
车受到水平推力作用时，车在水平方向受到两个力的作用,如图甲所示,设小车运动方向为正方向，根据牛顿第二定律有,则
撤去推力,车在水平方向只受摩擦力作用,如图乙所示，则有，
【要点点拨】牛顿第二定律
1．对牛顿第二定律的理解
(1)a＝是加速度的决定式，该式揭示了加速度的大小取决于物体所受的合力大小及物体的质量，加速度的方向取决于物体所受的合力的方向．
(2)a＝是加速度的定义式，但加速度的大小与速度变化量及所用的时间无关．
(3)公式F＝ma，单位要统一：表达式中F、m、a三个物理量的单位都必须是国际单位．
(4)公式F＝ma中，若F是合力，加速度a为物体的实际加速度；若F是某一个分力，加速度a为该力产生的分加速度．
2．牛顿第二定律的四个性质
(1)因果性：力是产生加速度的原因，只要物体所受的合力不为0，物体就具有加速度．
(2)矢量性：F＝ma是一个矢量式．物体的加速度方向由它受的合力方向决定，且总与合力的方向相同．
(3)瞬时性：加速度与合力是瞬时对应关系，同时产生，同时变化，同时消失．
(4)独立性：作用在物体上的每一个力都产生加速度，物体的实际加速度是这些加速度的矢量和．
【方法指导】牛顿第二定律的简单应用
1．应用牛顿第二定律解题的一般步骤
(1)确定研究对象．
(2)进行受力分析和运动状态分析，画出受力分析图，明确运动性质和运动过程．
(3)求出合力或加速度．
(4)根据牛顿第二定律列方程求解．
2．应用牛顿第二定律解题的方法
(1)矢量合成法：若物体只受两个力作用，应用平行四边形定则求这两个力的合力，物体所受合力的方向即加速度的方向．
(2)正交分解法：当物体受多个力作用时，常用正交分解法求物体所受的合力．
①建立直角坐标系时，通常选取加速度的方向作为某一坐标轴的正方向(也就是不分解加速度)，将物体所受的力正交分解后，列出方程Fx＝ma，Fy＝0(或Fx＝0，Fy＝ma)．
②特殊情况下，若物体的受力都在两个互相垂直的方向上，也可将坐标轴建立在力的方向上，正交分解加速度a.根据牛顿第二定律列方程求解．
【变式1】如图所示，质量为1kg的物体静止在水平面上，物体与水平面间的动摩擦因数μ＝0.5，物体受到大小为20N、与水平方向成37°角斜向右下的推力F作用时，沿水平方向做匀加速直线运动，求物体加速度的大小。（g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）
【答案】5m/s2
【详解】
取物体为研究对象，受力分析如下图所示
在竖直方向上物块处于平衡状态，可得
在水平竖直方向上，由牛顿第二定律可得
其中，联立上式解得
【变式2】如图所示，质量为4 kg的物体静止于水平面上．现用大小为40 N、与水平方向夹角为37°斜向上的力F拉物体，使物体沿水平面做匀加速直线运动(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)．求：
(1)若水平面光滑，物体加速度的大小．
(2)若物体与水平面间的动摩擦因数为0.5，物体加速度的大小．
【答案】(1)8 m/s2　(2)6 m/s2
【详解】
(1)水平面光滑时，物体的受力情况如图甲所示
由牛顿第二定律：Fcos 37°＝ma1
解得a1＝8 m/s2
(2)水平面不光滑时，物体的受力情况如图乙所示
Fcos 37°－Ff＝ma2
FN′＋Fsin 37°＝mg
Ff＝μFN′
联立解得a2＝6 m/s2.
1．某摩天大楼中一部直通高层的客运电梯，行程超过百米。电梯的简化模型如图甲所示。考虑安全、舒适、省时等因素，电梯的加速度a是随时间t变化的。已知电梯在t＝0时由静止开始上升，以向上方向为正方向，电梯的加速度a随时间t的变化如图乙所示。图甲中一乘客站在电梯里，电梯对乘客的支持力为FN
，根据图乙可以判断，力FN大于重力且逐渐变大的时间段有（ ）
A．0～1s内 B．10～11s内 C．30～31s内 D．40～41s内
【答案】A
【详解】
0－11s内加速度方向向上时，根据牛顿第二定律，有
FN－mg＝ma
故
FN＝mg＋ma
故0－11s内的支持力大于重力，在0－1s内的支持力FN是增加的，1－10s内支持力恒定，10－11s支持力是减小的；在11－30s内加速度等于0，电梯做匀速运动，支持力等于重力。
在30－41s内加速度向下时，根据牛顿第二定律，有
mg－FN＝m|a|
故
FN＝mg－m|a|
故在30－41s内支持力小于重力，30－31s支持力是减小的，31－40s支持力是固定的，40－41s内的支持力FN是增加的。
故选A。
2．如图所示，静止在光滑水平面上的物体A，一端靠着处于自然状态的弹簧。现对物体作用一水平恒力，在弹簧被压缩到最短的这一过程中，物体的速度和加速度变化的情况是（ ）
A．速度增大，加速度增大 B．速度增大，加速度减小
C．速度先增大后减小，加速度先减小后增大 D．速度先增大后减小，加速度先增大后减小
【答案】C
【详解】
力F作用在A上的开始阶段，弹簧弹力kx较小，合力与速度方向同向，物体速度增大，而合力（F－kx）随x增大而减小，加速度也减小，当F＝kx以后，随物体A向左运动，弹力kx大于F，合力方向与速度反向，速度减小，而加速度a随x的增大而增大。综上所述，ABD错误；C正确。
故选C。
3．汽车紧急刹车后，停止运动的车轮在水平地面上滑动直至停止，在地面上留下的痕迹称为刹车线。由刹车线的长短可知汽车刹车前的速度。已知汽车轮胎与地面之间的动摩擦因数为，测得刹车线长25m。汽车在刹车前的瞬间的速度大小为重力加速度g取 （　　）
A．10 B．20 C．30 D．40
【答案】B
【分析】
分析刹车后汽车的合外力，进而求得加速度；再根据匀变速运动规律，由位移求得速度。运动学问题，一般先根据物体受力，利用牛顿第二定律求得加速度，然后再由运动学规律求解相关位移、速度等问题。
【详解】
刹车后汽车的合外力为摩擦力
加速度
又有刹车线长25m，故可由匀变速直线运动规律得到汽车在刹车前的瞬间的速度大小
故ACD错误，B正确。
故选B。
4．如图所示，质量为m的滑块P置于光滑水平面上，左侧通过细线连接墙上E点，细线保持水平；右侧通过轻弹簧连接天花板上F点，弹簧与水平面夹角为，此时P对水平面的压力恰好为零，则（　　）
A．弹簧中的弹力大小为 B．细线中的拉力大小为
C．剪断细绳瞬间滑块P的加速度大小为 D．剪断弹簧瞬间滑块P的加速度大小为是
【答案】C
【详解】
A．因为滑块P对水平面的压力恰好为零，所以对滑块P受力分析可得
故有弹簧中的弹力大小为
A错误；
B．对滑块P受力分析可得，细线中的拉力大小为
B错误；
C．剪断细绳瞬间，因为弹簧的形变不会突变，滑块P的合外力为，故其加速度大小为，C正确；
D．剪断弹簧瞬间，细线的形变会突变，此时滑块P的合外力为0，故滑块P的加速度大小为，D错误。
故选C。
5．在反恐演习中，中国特种兵进行了飞行跳伞表演，某伞兵从静止的直升飞机上跳下，在t0时刻打开降落伞，在3t0时刻以速度v2着地，伞兵运动的速度随时间变化的规律如图所示，下列结论错误的是（　　）
A．在0～t0时间内加速度不变，在t0～3t0时间内加速度减小
B．降落伞打开后，降落伞和伞兵所受的阻力越来越小
C．在t0～3t0的时间内，平均速度
D．若第一个伞兵在空中打开降落伞时第二个伞兵立即跳下，则他们在空中的距离先增大后减小
【答案】C
【详解】
A．在0～t0时间内伞兵做匀加速直线运动,加速度不变， 在t0～3t0时间内图线的斜率逐渐减小，则加速度逐渐减小，故A正确，不符合题意。
B．设降落伞和伞兵的总质量为m，所受的阻力为f，加速度大小为a，根据牛顿第二定律得
a逐渐减小，则f也逐渐减小即降落伞和伞兵所受的阻力越来越小，故B正确，不符合题意。.
C．在t0～3t0的时间内，假设伞兵做匀减速直线运动，图象为直线，其平均速度为
根据面积等于位移可以知道匀减速直线运动的位移大于伞兵实际运动的位移，则平均速度
故C错误，符合题意；
D．第一个伞兵在空中打开降落伞时的速度比第二个伞兵跳下时速度大，所以两者距离逐渐变大，后来第二个人的速度大于第一个跳伞运动员时两者距离又减小，故D正确，不符合题意。
故选C。
6．如图甲、乙所示，物块A1、A2、B1和B2的质量均为m，A1、A2用刚性轻杆连接，B1、B2用轻质弹簧接连，两个装置都放在水平的支托物上，处于平衡状态，今突然撤去支托物，让物块下落，在撤去支托物的瞬间，A1、A2受到的合力分别为FA1、FA2，B1、B2受到的合力分别为FB1和FB2，不计空气阻力。则（　　）
A．FA1＝0，FA2＝2mg，FB1＝0，FB2＝2mg
B．FA1＝mg，FA2＝mg，FB1＝0，FB2＝2mg
C．FA1＝mg，FA2＝2mg，FB1＝mg，FB2＝mg
D．FA1＝mg，FA2＝mg，FB1＝mg，FB2＝mg
【答案】B
【详解】
A1、A2由于用刚性轻杆连接，与刚性轻杆一起下落，根据牛顿第二定律，对整体研究得到，整体的加速度等于重力加速度g，则A1、A2受到的合力都等于各自的重力，即
FA1＝mg，FA2＝mg
对B1和B2在除去支托物前，弹簧的弹力大小等于mg，支托物对B2的支持力大小等于2mg，在除去支托物的瞬间，弹簧的弹力没有来得及变化，B1的受力情况没有变化，则B1所受合力为零，即
FB1＝0
B2所受的合力大小等于2mg，即
FB2＝2mg
故选B。
7．质量为的物体，在两个大小相等、夹角为的共点力作用下，产生的加速度大小为，当两个力的大小不变，夹角变为时，物体的加速度大小变为________；夹角变为时，物体的加速度大小变为_______。
【答案】
【详解】
[1] 设两个相等的共点力大小为F，当它们之间的夹角为60°时，由等边三角形的知识可知
所以
当两个力的大小不变，夹角变为时，则
根据牛顿第二定律得：物体的加速度大小变为
[2] 夹角变为时，则
根据牛顿第二定律得：物体的加速度大小变为
8．如图所示，吊篮A、物体B、物体C的质量相等，弹簧质量不计，B和C
分别固定在弹簧两端，放在吊篮的水平底板上静止不动。将悬挂吊篮的轻绳剪断的瞬间，物体B的加速度大小为________；物体C的加速度大小为________。（重力加速度为g）
【答案】零
【详解】
[1][2]设A、B、C的质量均为m。剪断绳子前，B所受弹簧的弹力和重力平衡，大小为mg，方向竖直向上；C所受弹簧的弹力大小为mg，方向竖直向下。剪断绳子瞬间，弹簧弹力不会突变，B在此时所受合外力依然为零，故加速度为零。A、C此时拥有共同的加速度，设为a，则由牛顿第二定律可得
3mg=2ma
解得
9．如图甲所示某物体静止在粗糙的水平面上，现用与水平面成37°角斜向上的力F拉该物体，得到物体沿水平面运动时的加速度a和拉力F的关系图像如图乙所示．已知最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，sin37°=0.6，g=10m/s2 ．求
（1）该物体的质量；
（2）该物体与水平面之间的动摩擦因数．
【答案】（1） （2）
【详解】
(1) 假设物体的质量为m，与水平面之间的动摩擦因数为μ
由图乙可知F1=2N时，a1=0
F1cos37°－f1=0 ①
f1=μFN1 ②
FN1=mg－F1sin37° ③
F2=6N时，a2=4m／s2
F2cos37°－f2=ma ④
f2=μFN2 ⑤
FN2=mg－F2sin37° ⑥
由①②④⑤⑥式可求得：
m=0.92kg ⑦
(2) 由以上式可求得：
μ=0.2 ⑧
10．近年来，全国广泛开展了礼让斑马线专项行动，“文明行车，礼让行人”成为了很多司机的出行共识．某汽车以12m/s的速度沿倾角为37°的斜坡向上匀速行驶，驾驶员发现正前方15m处的斑马线上有行人，于是刹车礼让，汽车停下来时距离斑马线1.8m．假设驾驶员反应时间为0.5s，汽车运动的v-t图像如图所示．若汽车和人的总质量为m=1500kg，g取10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8．求：
（1）在驾驶员反应时间内，汽车行驶的位移大小;
（2）汽车在刹车过程中所用时间;
（3）若认为驾驶员急刹车时车与地面之间是滑动摩擦，求动摩擦因数μ．
【答案】（1）（2）（3）
【分析】
汽车在驾驶员的反应时间内做匀速直线运动，由匀速运动求反应时间内汽车行驶的距离，刹车后汽车做匀减速运动，根据总位移等于15m列式，求出匀减速直线运动花费的时间，再求匀减速直线运动的加速度以及摩擦因数等；
【详解】
（1）由题可知初速度为，在驾驶员反应时间内车辆仍做匀速运动，则该时间内汽车行驶的位移的大小为：；
（2）由题可知，汽车减速运动的位移为：
根据速度与位移关系可知加速度为：
则根据速度与时间关系可知刹车时间为：；
（3）由于汽车在斜面上刹车，根据牛顿第二定律有：
代入数据可以得到：．
【点睛】
本题要求同学们掌握匀变速直线运动的速度时间关系式和位移时间关系式，要知道在驾驶员反应时间内汽车做匀速运动．注意汽车刹车的末速度为0．

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