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第5节 共点力的平衡
【教材习题一】教材P75页“练习与应用”第1题
【答案】
依题意除F以外的四个力的合力与力F，大小相等、方向相反。撤去F，其余四个力不变，它们的合力大小等于F，方向与F相反。如图所示。
【解析】
物体在五个力作用下保持平衡,它们的合力为零。其中任意四个力的合力一定与第五个力大小相等、方向相反。
【要点点拨】共点力平衡的条件
1．平衡状态
(1)物体处于静止或匀速直线运动的状态．
(2)对“平衡状态”的理解
不管是静止还是匀速直线运动，速度保持不变，所以Δv＝0，a＝，对应加速度为零，速度为零不代表a＝0.
例如，竖直上抛的物体运动到最高点时，这一瞬间速度为零，但这一状态不可能保持，因而上抛物体在最高点不能称为静止，即速度为零不等同于静止．
2．共点力平衡的条件
(1)共点力平衡的条件是合力为0.
(2)表示为：F合＝0；或将各力分解到x轴和y轴上，满足Fx合＝0，且Fy合＝0.
①二力平衡：若物体在两个力作用下处于平衡状态，则这两个力一定等大、反向、共线．
②三力平衡：若物体在三个共点力作用下处于平衡状态，则其中任意两个力的合力与第三个力等大、反向、共线．
③多力平衡：若物体在多个共点力作用下处于平衡状态，则其中任意一个力与其余所有力的合力等大、反向、共线．
(3)当物体受三个力平衡，将表示这三个力的有向线段依次首尾相连，则会构成一个矢量三角形，表示合力为0.
3．处理平衡问题的常用方法
方法 内容
合成法 物体受三个共点力的作用而平衡，则任意两个力的合力一定与第三个力大小相等，方向相反
正交分解法 物体受到三个或三个以上力的作用时，将物体所受的力分解为相互垂直的两组，每组力都满足平衡条件
矢量三角形法 对受三力作用而平衡的物体，将力的矢量图平移使三力组成一个首尾依次相接的矢量三角形，根据正弦定理、余弦定理或相似三角形等数学知识求解未知力
【变式1】如图所示，一光滑小球静止放置在光滑半球面的底端，利用竖直放置的光滑挡板水平向右缓慢地推动小球，则在小球运动的过程中(该过程小球未脱离球面)，挡板对小球的推力F1、半球面对小球的支持力F2的变化情况正确的是（ ）
A．F1增大、F2减小 B．F1增大、F2增大
C．F1减小、F2减小 D．F1减小、F2增大
【变式2】如图所示，不计悬绳质量，把B、C两物体悬吊在天花板A上，两物体均保持静止，则下面各对力中属于平衡力的有（　　）
A．天花板对绳的拉力和该绳对B物体的拉力
B．上段绳对B物体的拉力和下段绳对C物体的拉力
C．下段绳对B物体的拉力和下段绳对C物体的拉力
D．下段绳对C物体的拉力和C物体的重力
【变式3】如图是“中国天眼”500m口径球面射电望远镜维护时的示意图。为不损伤望远镜球面，质量为m的工作人员被悬在空中的氮气球拉着，当他在离底部有一定高度的望远镜球面上缓慢行走时，氮气球对其有大小恒为、方向竖直向上的拉力作用，若将人视为质点，此时工作人员（　　）
A．受到的重力大小为 B．受到的合力大小为
C．对球面的作用力大小为 D．对球面的压力大小为
【变式4】如图所示，重物的质量为，轻细绳的A 与B端是固定的，平衡时水平，与竖直方向的夹角为，重力加速度为，绳的拉力大小为（ ）
A． B． C． D．
1．如图所示，用相同的弹簧秤将同一个重物m分别按甲、乙、丙三种方式悬挂起来，均处于静止状态，读数分别是F1、F2、F3、F4，设θ=30°，则有
A．F2最大
B．F2=F3
C．F4最大
D．F1比其它各读数都小
2．如图所示，一只小鸟沿着较粗且均匀的树枝从右向左缓慢爬行，在小鸟从A运动到B的过程中
A．树枝对小鸟的作用力先减小后增大
B．树枝对小鸟的摩擦力先增大后减小
C．树枝对小鸟的弹力先增大后减小
D．树枝对小鸟的弹力保持不变
3．如图所示，固定在水平地面上的物体A，左侧是圆弧面，右侧是倾角为θ的斜面，一根轻绳跨过物体A顶点上的小滑轮，绳两端分别系有质量为m1、m2的小球B、C，假设绳与物体A的表面平行，当两球静止时，小球B与圆弧圆心之间的连线和水平方向的夹角也为θ，不计一切摩擦，则m1、m2之间的关系是（　　）
A．m1＝m2 B．m1＝m2tanθ C． D．m1＝m2cosθ
4．如图所示，一只可视为质点的蚂蚁在半球形碗内缓慢的从底部经过b点爬到a点。则下列说法正确的是（　　）
A．在a点碗对蚂蚁的支持力大于在b点的支持力
B．在a点碗对蚂蚁的摩擦力大于在b点的摩擦力
C．在a点碗对蚂蚁的作用力大于在b点的作用力
D．在a点蚂蚁受到的合力大于在b点受到的合力
5．小明同学在拖地时沿拖把杆方向施加一推力F，使拖把在粗糙的地板上向前做匀速直线运动。已知杆与水平面的夹角为θ，拖布与地板间的动摩擦因数保持不变，则（　　）
A．拖把受到3个力作用
B．地面对拖把的支持力与拖把所受重力是一对平衡力
C．拖把受到地板摩擦力的大小为F·sinθ
D．若增大夹角θ，使拖把仍做匀速直线运动，需增大推力F
6．滑滑梯是小孩子很喜欢的娱乐活动。如图所示，一个小孩正在滑梯上匀速下滑，则（　　）
A．小孩所受的重力与小孩所受的弹力大小相等
B．小孩所受的重力与小孩所受的摩擦力大小相等
C．小孩所受的弹力和摩擦力的合力与小孩所受的重力大小不相等
D．小孩所受的重力和弹力的合力与小孩所受的摩擦力大小相等
7．天花板上用电线吊着一个重为的电灯，电线的自重不计，用一根能够承受拉力的细线系在距悬点，处的点，沿水平方向拉动电线，使电灯离开悬点的正下方，如图所示。电灯离开悬点正下方的最大水平距离是___________，此时上段电线的拉力是_____________。
8．如图所示，光滑斜面的倾角为θ，有两个相同的小球1和2，分别用光滑挡板A、B挡住，挡板A沿竖直方向，挡板B垂直于斜面，则A、B两挡板受到小球的压力大小之比为___________________，斜面受到1、2两个小球的压力大小之比为__________________．
9．如图所示，直角三角形尖劈的劈尖夹角为30°，与为直角边，劈的重力不计。当它劈入木块中时，边与地面相垂直在劈背上加一个竖直向下的力，大小为，则侧面所受的力各为多大？
10．如图所示，和三根绳子能承受的最大拉力相等，为连结点，与竖直方向夹角为，悬挂物质量为。
(1)求三根绳子拉力的大小；
(2)点向右移动少许，而使点位置不动，重新平衡后，绳中张力如何变化。第5节 共点力的平衡
【教材习题一】教材P75页“练习与应用”第1题
【答案】
依题意除F以外的四个力的合力与力F，大小相等、方向相反。撤去F，其余四个力不变，它们的合力大小等于F，方向与F相反。如图所示。
【解析】
物体在五个力作用下保持平衡,它们的合力为零。其中任意四个力的合力一定与第五个力大小相等、方向相反。
【要点点拨】共点力平衡的条件
1．平衡状态
(1)物体处于静止或匀速直线运动的状态．
(2)对“平衡状态”的理解
不管是静止还是匀速直线运动，速度保持不变，所以Δv＝0，a＝，对应加速度为零，速度为零不代表a＝0.
例如，竖直上抛的物体运动到最高点时，这一瞬间速度为零，但这一状态不可能保持，因而上抛物体在最高点不能称为静止，即速度为零不等同于静止．
2．共点力平衡的条件
(1)共点力平衡的条件是合力为0.
(2)表示为：F合＝0；或将各力分解到x轴和y轴上，满足Fx合＝0，且Fy合＝0.
①二力平衡：若物体在两个力作用下处于平衡状态，则这两个力一定等大、反向、共线．
②三力平衡：若物体在三个共点力作用下处于平衡状态，则其中任意两个力的合力与第三个力等大、反向、共线．
③多力平衡：若物体在多个共点力作用下处于平衡状态，则其中任意一个力与其余所有力的合力等大、反向、共线．
(3)当物体受三个力平衡，将表示这三个力的有向线段依次首尾相连，则会构成一个矢量三角形，表示合力为0.
3．处理平衡问题的常用方法
方法 内容
合成法 物体受三个共点力的作用而平衡，则任意两个力的合力一定与第三个力大小相等，方向相反
正交分解法 物体受到三个或三个以上力的作用时，将物体所受的力分解为相互垂直的两组，每组力都满足平衡条件
矢量三角形法 对受三力作用而平衡的物体，将力的矢量图平移使三力组成一个首尾依次相接的矢量三角形，根据正弦定理、余弦定理或相似三角形等数学知识求解未知力
【变式1】如图所示，一光滑小球静止放置在光滑半球面的底端，利用竖直放置的光滑挡板水平向右缓慢地推动小球，则在小球运动的过程中(该过程小球未脱离球面)，挡板对小球的推力F1、半球面对小球的支持力F2的变化情况正确的是（ ）
A．F1增大、F2减小 B．F1增大、F2增大
C．F1减小、F2减小 D．F1减小、F2增大
【答案】B
【详解】
对小球受力分析，受重力、挡板向右的支持力和半球面的支持力，如图
根据平衡条件解得
由于θ不断增加，故F1增大、F2增大。
故选B。
【变式2】如图所示，不计悬绳质量，把B、C两物体悬吊在天花板A上，两物体均保持静止，则下面各对力中属于平衡力的有（　　）
A．天花板对绳的拉力和该绳对B物体的拉力
B．上段绳对B物体的拉力和下段绳对C物体的拉力
C．下段绳对B物体的拉力和下段绳对C物体的拉力
D．下段绳对C物体的拉力和C物体的重力
【答案】D
【详解】
A．天花板对绳的拉力和该绳对B物体的拉力不是平衡力，平衡力的作用对象是一个物体，这里有两个对象了，所以A错误；
B．上段绳对B物体的拉力和下段绳对C物体的拉力也不是平衡力，平衡力的作用对象是一个物体，这里有两个对象了，所以B错误；
C．下段绳对B物体的拉力和下段绳对C物体的拉力也不是平衡力，平衡力的作用对象是一个物体，这里有两个对象了，所以C错误；
D．下段绳对C物体的拉力和C物体的重力是一对平衡力，所以D正确；
故选D。
【变式3】如图是“中国天眼”500m口径球面射电望远镜维护时的示意图。为不损伤望远镜球面，质量为m的工作人员被悬在空中的氮气球拉着，当他在离底部有一定高度的望远镜球面上缓慢行走时，氮气球对其有大小恒为、方向竖直向上的拉力作用，若将人视为质点，此时工作人员（　　）
A．受到的重力大小为 B．受到的合力大小为
C．对球面的作用力大小为 D．对球面的压力大小为
【答案】C
【详解】
A．工作人员受到的重力不会变化，仍为mg， A错误；
B．工作人员在望远镜球面上缓慢移动的过程中，处于平衡状态，受到的合力大小为0， B错误；
CD．工作人员在望远镜球面上缓慢移动的过程中，处于平衡状态，如图
受到重力、支持力、和拉力和摩擦力，其合力为零，球面对人的作用力：支持力和摩擦力的合力F竖直向上，由平衡条件得
由牛顿第三定律得，人对球面的作用力大小为，对球面的压力大小小于，D错误C正确。
故选C。
【变式4】如图所示，重物的质量为，轻细绳的A 与B端是固定的，平衡时水平，与竖直方向的夹角为，重力加速度为，绳的拉力大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
对结点受力分析如图所示
竖直方向有
水平方向有
可知的拉力
故选B。
1．如图所示，用相同的弹簧秤将同一个重物m分别按甲、乙、丙三种方式悬挂起来，均处于静止状态，读数分别是F1、F2、F3、F4，设θ=30°，则有
A．F2最大
B．F2=F3
C．F4最大
D．F1比其它各读数都小
【答案】A
【详解】
对三物体分别受力分析，如图
根据三力平衡条件，三力中任意两个力的合力与第三个力等大反向，结合几何关系
，，，
AC.根据以上分析F2最大，故A正确C错误．
B.根据分析可知， ，故B错误．
D. F1与F3比相等，故D错误．
2．如图所示，一只小鸟沿着较粗且均匀的树枝从右向左缓慢爬行，在小鸟从A运动到B的过程中
A．树枝对小鸟的作用力先减小后增大
B．树枝对小鸟的摩擦力先增大后减小
C．树枝对小鸟的弹力先增大后减小
D．树枝对小鸟的弹力保持不变
【答案】C
【详解】
树枝对小鸟的作用力与小鸟的重力等值反向，所以树枝对小鸟的作用力大小不变，故A错误；
小鸟所受的摩擦力，从A到B的过程中，先减小后增大，则摩擦力先减小后增大，故B错误；小鸟所受的弹力，从A到B的过程中，先减小后增大，则弹力先增大后减小，故C正确，D错误．
【点睛】
小鸟缓慢爬行，合力为零，受重力、支持力和静摩擦力处于平衡，根据平衡得出摩擦力的变化和弹力的变化；解决本题的关键能够正确地受力分析，运用共点力平衡进行求解，注意小鸟所受的摩擦力为静摩擦力．
3．如图所示，固定在水平地面上的物体A，左侧是圆弧面，右侧是倾角为θ的斜面，一根轻绳跨过物体A顶点上的小滑轮，绳两端分别系有质量为m1、m2的小球B、C，假设绳与物体A的表面平行，当两球静止时，小球B与圆弧圆心之间的连线和水平方向的夹角也为θ，不计一切摩擦，则m1、m2之间的关系是（　　）
A．m1＝m2 B．m1＝m2tanθ C． D．m1＝m2cosθ
【答案】B
【详解】
由题意，通过光滑的滑轮相连，左右两侧绳的拉力F大小相等，两小球处于平衡状态，分别对这两个物体进行受力分析可得
联立两式，可得
故选B。
【点晴】
本题考查共点力作用下物体的平衡，解题关键抓住绳子拉力大小相等，采用隔离法，由平衡条件求解质量之比。
4．如图所示，一只可视为质点的蚂蚁在半球形碗内缓慢的从底部经过b点爬到a点。则下列说法正确的是（　　）
A．在a点碗对蚂蚁的支持力大于在b点的支持力
B．在a点碗对蚂蚁的摩擦力大于在b点的摩擦力
C．在a点碗对蚂蚁的作用力大于在b点的作用力
D．在a点蚂蚁受到的合力大于在b点受到的合力
【答案】B
【详解】
AB．蚂蚁缓慢上爬，可以认为蚂蚁处于平衡状态，则合力始终为零，受力分析如下图所示
根据共点力平衡有
因为a点的比b点的大，所以在a点碗对蚂蚁的摩擦力大于在b点的摩擦力，在a点碗对蚂蚁的支持力小于在b点的支持力，故B正确， A错误；
C．在a点和b点，碗对蚂蚁的作用力大小都等于蚂蚁的重力，所以在a点碗对蚂蚁的作用力等于在b点的作用力，故C错误；
D．在a点蚂蚁受到的合力与b点受到的合力均为零，故D错误。
故选B。
5．小明同学在拖地时沿拖把杆方向施加一推力F，使拖把在粗糙的地板上向前做匀速直线运动。已知杆与水平面的夹角为θ，拖布与地板间的动摩擦因数保持不变，则（　　）
A．拖把受到3个力作用
B．地面对拖把的支持力与拖把所受重力是一对平衡力
C．拖把受到地板摩擦力的大小为F·sinθ
D．若增大夹角θ，使拖把仍做匀速直线运动，需增大推力F
【答案】D
【详解】
A．拖把受力如图
即拖把受到重力，地面的支持力，小明同学施加推力，地面给的摩擦力，四个力作用，A错误；
B．根据平衡可知，在竖直方向
地面对拖把的支持力与拖把所受重力大小不等，不是平衡力，B错误；
C．在水平方向
C错误；
D．根据
解得
若增大夹角θ，减小，增大，想做匀速直线运动则推力F增大，D正确。
故选D。
6．滑滑梯是小孩子很喜欢的娱乐活动。如图所示，一个小孩正在滑梯上匀速下滑，则（　　）
A．小孩所受的重力与小孩所受的弹力大小相等
B．小孩所受的重力与小孩所受的摩擦力大小相等
C．小孩所受的弹力和摩擦力的合力与小孩所受的重力大小不相等
D．小孩所受的重力和弹力的合力与小孩所受的摩擦力大小相等
【答案】D
【详解】
AB．设滑梯与水平面的夹角为θ，小孩匀速下滑，则受到的重力，摩擦力和滑梯的弹力，三者合力为零，故
，
故AB错误；
CD．因为三力的合力为零，所以重力和弹力的合力大小与摩擦力大小等大，弹力与摩擦力的合力大小与小孩的重力大小等大，故C错误，D正确。
故选D。
7．天花板上用电线吊着一个重为的电灯，电线的自重不计，用一根能够承受拉力的细线系在距悬点，处的点，沿水平方向拉动电线，使电灯离开悬点的正下方，如图所示。电灯离开悬点正下方的最大水平距离是___________，此时上段电线的拉力是_____________。
【答案】1.2
【详解】
[1]设电线与竖直方向的夹角为 ，根据平衡条件可得
夹角越大，拉力越大，细线达到最大拉力时有
电灯离开悬点正下方的最大水平距离为
，
联立解得
[2]上段电线的拉力为
联立解得
8．如图所示，光滑斜面的倾角为θ，有两个相同的小球1和2，分别用光滑挡板A、B挡住，挡板A沿竖直方向，挡板B垂直于斜面，则A、B两挡板受到小球的压力大小之比为___________________，斜面受到1、2两个小球的压力大小之比为__________________．
【答案】
【详解】
[1][2]如图1所示，球的重力作用效果，是同时挤压斜面和挡板，则重力的两个分力方向分别垂直斜面和挡板．
如图2所示，斜面受到的压力大小为：
故：
即两挡板受到小球的压力大小之比为，斜面受到两小球的压力大小之比为．
9．如图所示，直角三角形尖劈的劈尖夹角为30°，与为直角边，劈的重力不计。当它劈入木块中时，边与地面相垂直在劈背上加一个竖直向下的力，大小为，则侧面所受的力各为多大？
【答案】
【详解】
对劈尖受力分析如图所示，由几何关系可得
解得
10．如图所示，和三根绳子能承受的最大拉力相等，为连结点，与竖直方向夹角为，悬挂物质量为。
(1)求三根绳子拉力的大小；
(2)点向右移动少许，而使点位置不动，重新平衡后，绳中张力如何变化。
【答案】(1)；(2) 都变大，而不变
【详解】
(1)对连结点分析受力可得
因此有
(2)将点向右移动少许，重新平衡后，则变大，从上面分析可得：都变大，而不变。

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