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第一节　相等关系与不等关系
课程标准 考向预测
梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质． 考情分析：　不等式性质在高考中单独命题较少，多出现在解题过程中，其中不等式性质与指数、对数函数性质结合将是高考的热点，题型以选择题为主．学科素养：　逻辑推理．
学生用书P14
1．实数大小顺序与运算性质之间的关系
a－b＞0 a＞b；a－b＝0 a＝b；a－b＜0 a＜b．
2．等式的性质
(1)如果a＝b，那么b＝a；
(2)如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
(3)如果a＝b，那么a±c＝b±c；
(4)如果a＝b，那么ac＝bc；
(5)如果a＝b，c≠0，那么＝.
3．不等式的基本性质
(1)对称性：a＞b b＜a；
(2)传递性：a＞b，b＞c a＞c；
(3)可加性：a＞b a＋c＞b＋c，a＞b，c＞d a＋c＞b＋d；
(4)可乘性：a＞b，c＞0 ac＞bc，
a＞b＞0，c＞d＞0 ac＞bd；
(5)可乘方：a＞b＞0 an＞bn(n∈N，n≥1)；
(6)可开方：a＞b＞0 ＞(n∈N，n≥2).
不等式的两类常用性质
(1)倒数性质
①a＞b，ab＞0 ＜；
②a＜b＜0 ＞；
③a＞b＞0，0＜c＜d ＞；
④0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0 <<.
(2)有关分数的性质
若a＞b＞0，m＞0，则
①真分数的性质
＜，＞(b－m＞0)；
　②假分数的性质
＞，＜(b－m＞0).
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a(2)若>1，则a>b.(　　)
(3)同向不等式具有可加性和可乘性．(　　)
(4)两个数的比值大于1，则分子不一定大于分母．(　　)
答案：　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
2．(多选)(必修5P74例1改编)下列结论正确的是(　　)
A．若a>b，c>0，则ac>bc
B．若a>b，c>0，则>
C．若a>b，则a＋c>b＋c
D．若a>b，则a－c>b－c
ACD　[A选项，满足不等式基本性质的可乘性；B选项，当a≤0时，>不成立；C，D选项，满足不等式的可加性．]
3．(必修5P75习题T2改编)已知a＝1，b＝－，c＝－，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a>b>c B．a>c>b
C．b>c>a D．c>b>a
A　[由－＝，－＝，而＋<＋，所以b>c.又b<1，c<1，所以，a>b>c.]
4．若a，b都是实数，则“－>0”是“a2－b2>0”的__________条件．
解析：　－>0 > a>b a2>b2，但a2－b2>0 /－>0.
答案：　充分不必要
5．若实数a，b满足0解析：　∵0∵0答案：　(－1，2)
学生用书P15
[题组练透]
1．设a，b∈[0，＋∞)，A＝＋，B＝，则A，B的大小关系是(　　)
A．A≤B B．A≥B C．AB
B　[由题意得，B2－A2＝－2≤0，又A≥0，B≥0，所以A≥B.]
2．若a＝，b＝，则a________b(填“＞”或“＜”).
解析：　易知a，b都是正数，＝＝log89＞1，所以b＞a．
答案：　＜
3．若实数m≠1，比较m＋2与的大小．
解析：　m＋2－＝＝，
∵m2＋m＋1>0恒成立，
∴当m＞1时，m＋2＞；
当m＜1时，m＋2＜.
比较两个数大小的常用方法
[注意]　对于一些题目，有的给出取值范围，可采用特值验证法比较大小．
角度一　不等式命题的推论
(1)(2020·湖北鄂州鄂南高中月考)已知实数a，b，c满足cac”成立的(　　)
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
(2)(多选)对于任意实数a，b，c，d，则下列命题正确的是(　　)
A．若ac2>bc2，则a>b
B．若a>b，c>d，则a＋c>b＋d
C．若a>b，c>d，则ac>bd
D．若a>b，则>
(1)B　(2)AB　[(1)若ac<0，且cc，a>0，得ab>ac.故由ac<0可推出ab>ac.若ab>ac，且c0.事实上，若00.故由ab>ac推不出ac<0.因此，“ac<0”是“ ab>ac”成立的充分不必要条件．故选B.
(2)若ac2>bc2，则a>b，A对；
由不等式同向可加性，若a>b，c>d，则a＋c>b＋d，B对；当a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2时，有a>b，c>d，但ac＝bd，C错．令a＝－1，b＝－2，则<.D错，故选AB.]
判断关于不等式的命题的真假的方法
(1)直接运用不等式的性质：把要判断的命题和不等式的性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，然后进行推理判断．
(2)利用函数的单调性：当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断．
(3)特殊值验证法：给要判断的几个式子中涉及的变量取一些特殊值，然后进行比较、判断．
角度二　求代数式的取值范围
已知－1解析：　∵－1∴－4由－1∴1<3x＋2y<18.
答案：　(－4，2)；(1，18)
1．利用不等式的性质求取值范围的方法
由a2．此类问题的一般解法
(1)建立待求整体与已知范围的整体的关系；
(2)通过“一次性”使用不等式的运算求得整体范围．
1．若aA．|a|>|b| B．a2>ab
C．> D．>
D　[由a|b|，A成立；因为aab，B成立；因为a，C成立；当a＝－2，b＝－1时，＝－1，＝－，>不成立．故选D.]
2．(多选)(2020·山东泰安四中月考)下列说法正确的是(　　)
A．若a>|b|，则a2>b2
B．若a>b，c>d，则a－c>b－d
C.若a>b，c>d，则ac>bd
D．若a>b>0，c<0，则>.
AD　[对于A，因为a>|b|≥0，根据不等式的性质可得a2>b2，A正确；对于B，取a＝3，b＝2，c＝－1，d＝－3，满足a>b，c>d.而3－(－1)＝4<2－(－3)＝5，即a－cb，c>d，但是ac＝－4b>0，c<0，所以>>0，－c>0，所以>，所以>，D正确．综上可知，AD正确．]
3．若－1解析：　因为－1[友情提示]　每道习题都是一个高考点，每项训练都是对能力的检验，认真对待它们吧！进入“课时作业(三)”，去收获希望，体验成功！本栏目内容以活页形式分册装订