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第二节　基本不等式
课程标准 考向预测
1.掌握基本不等式≤(a，b>0).2．结合具体实例，能用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题． 考情分析：　利用基本不等式求最值、证明不等式、求参数的取值范围等仍是高考热点，多出现在解答题的运算中．学科素养：　数学运算、逻辑推理．
学生用书P16
1．基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的条件是a＞0，b＞0．
(2)等号成立的条件是：当且仅当a＝b时取等号．
(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数．
2．利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小).
(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大).
1．活用几个重要的不等式
a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；＋≥2(a，b同号).
ab≤(a，b∈R)；≤(a，b∈R).
2．巧用“拆”“拼”“凑”
在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y＝x＋的最小值是2.(　　)
(2)当a≥0，b≥0时，≥.(　　)
(3)两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的．(　　)
答案：　(1)×　(2)√　(3)×
2．若x>0，y>0，且x＋y＝18，则的最大值为(　　)
A．9 B．18
C．36 D．81
A　[因为x＋y＝18，x>0，y>0，所以≤＝9，当且仅当x＝y＝9时，等号成立．]
3．(多选)若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是(　　)
A．a2＋b2≥2ab B．a＋b≥2
C．＋＞ D．＋≥2
AD　[∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴选项A正确；
对于选项B，C，当a＜0，b＜0时，明显错误；
对于选项D，∵ab＞0，∴＋≥2 ＝2.]
4．(必修5P100练习T1改编)当x>1时，x＋的最小值为________．
解析：　当x>1时，x＋＝x－1＋＋1≥
2 ＋1＝3，当且仅当x－1＝，即x＝2时等号成立．
答案：　3
5．(必修5P100练习T2改编)若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2.
解析：　设一边长为x m，则另一边长可表示为(10－x)m，由题意可知0则面积S＝x(10－x)≤()2＝25，
当且仅当x＝10－x，即x＝5时等号成立，
故当矩形的长与宽相等，且都为5 m时面积取到最大值25 m2.
答案：　25
学生用书P16
角度一　配凑法求最值
(1)设0(2)3x2＋的最小值为________．
解析：　(1)∵00，
y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤2＝，
当且仅当2x＝3－2x，即x＝时，等号成立．
∵∈，
∴函数y＝4x(3－2x)的最大值为.
(2)3x2＋＝3(x2＋1)＋－3≥2－3＝2－3＝6－3，当且仅当x2＝－1时等号成立，故6－3.
答案：　(1)　(2)6－3
配凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用配凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：
(1)配凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；
(2)代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标；
(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．
角度二　常数代换法求最值
若直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1，2)，则2a＋b的最小值为________．
解析：　由题设可得＋＝1，∵a>0，b>0，
∴2a＋b＝(2a＋b)＝2＋＋＋2≥4＋2＝8，当且仅当＝，即b＝2a时等号成立．
故2a＋b的最小值为8.
答案：　8
常数代换法求最值的步骤
(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；
(2)把确定的定值(常数)变形为1；
(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；
(4)利用基本不等式求解最值．
角度三　消元法求最值
(2020·江苏卷)已知5x2y2＋y4＝1(x，y∈R)，则x2＋y2的最小值是________．
解析：　由5x2y2＋y4＝1得x2＝－，y2>0.则x2＋y2＝＋≥2＝，当且仅当＝，即y2＝时取等号，则x2＋y2的最小值是.
答案：　
　
消元法在基本不等式求最值中的应用
当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值．
1．设x，y∈R，且xy≠0，则的最小值为(　　)
A．－9 B．9 C．10 D．0
B　[由题意可得＝5＋＋x2y2≥5＋2× ＝9，当且仅当xy＝±时等号成立，所以最小值为9，故选B项．]
2．已知a>0，b>0，2a＋b＝4，则的最小值为________．
解析：　因为2a＋b＝4，a>0，b>0，所以＝≥＝＝，当且仅当2a＝b＝2，即a＝1，b＝2时取等号，所以的最小值为.
答案：　
3．(变条件)若例2条件变为b＋8a＝4ab(a>0，b>0)，则2a＋b的最小值为________．
解析：　由8a＋b＝4ab得＋＝1，2a＋b＝(2a＋b)·＝＋＋≥＋2＝.
当且仅当＝，即a＝，b＝3时取等号．
答案：　
运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升5元，而汽车每小时耗油(2＋)升，司机的工资是每小时25元．
(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；
(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用．
解析：　(1)行驶130千米所用时间为t＝(h)，
y＝×5×(2＋)＋25×，x∈[50，100].
所以，这次行车总费用y关于x的表达式是
y＝＋x，x∈[50，100]
(2)∵y＝＋x≥，当且仅当＝，即x＝6时等号成立，又6∈[50，100]，
故当x＝6千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为元．
利用基本不等式求解实际问题
(1)根据实际问题抽象出目标函数的表达式，再利用基本不等式求得函数的最值．
(2)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．
(3)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．
(4)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．
某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 m2的三级污水处理池(平面图如图所示).如果池四周围墙建造单价为400 元/m，中间两道隔墙建造单价为248元/m，池底建造单价为80 元/m2，水池所有墙的厚度忽略不计．试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低求出最低总造价．
解析：　设隔墙的长度为x m(x>0)，总造价的函数为y元，则隔墙造价为2x×248＝496x元，池底造价为200×80＝16 000元，四周围墙造价为
×400＝800×元．
因此，总造价为y＝496x＋800＋16 000＝1 296x＋＋16 000≥2＋16 000＝28 800＋16 000＝44 800.
当1 296x＝，即x＝时等号成立．这时，污水池的长为18 m.
故当污水池的长为18 m，宽为 m时总造价最低，最低为44 800元．
微专题系列2 [思想方法]
妙用基本不等式的七种变型
基本不等式的一个主要功能就是求两个正变量和与积的最值．即所谓“和定积最大，积定和最小”．但有的题目需要利用基本不等式的变形式求最值，有的需要对待求式作适当变形后才可求最值．常见的变形技巧有以下几种：
技巧一　加上一个数或减去一个数使和或积为定值
函数f(x)＝＋x(x<3)的最大值是(　　)
A．－4 B．1 C．5 D．－1
D　[因为x<3，所以3－x>0，所以f(x)＝－＋3≤－2 ＋3＝－1，当且仅当＝3－x，即x＝1时等号成立．所以f(x)的最大值是－1.故选D项．]
技巧二　平方后再使用基本不等式
一般地，含有根式的最值问题，首先考虑平方后求最值．
若x>0，y>0，且2x2＋＝8，求x的最大值．
解析：　(x)2＝x2(6＋2y2)＝3·2x2≤3·＝3×，当且仅当2x2＝1＋，即x＝，y＝时等号成立．故x的最大值为.
技巧三　展开后求最值
对于求多项式积的形式的最值，可以考虑展开后求其最值．
已知a>0，b>0且a＋b＝2，求的最小值．
解析：　由题得＝＋＋＋1＝＋＋1＝＋1，因为a>0，b>0，a＋b＝2，所以2≤2，所以ab≤1，所以≥1，所以≥4，当且仅当a＝b＝1时等号成立，所以的最小值是4.
技巧四　形如型函数变形后使用基本不等式
若y＝中f(x)的次数小于g(x)的次数，可取倒数后求其最值．
求函数y＝(x>0)的值域．
解析：　∵y＝(x>0)，
∴y>0，＝x＋1＋≥2 ＋1＝3.
∴0技巧五　用“1”的代换法求最值
已知＋＝1，且x>0，y>0，求x＋y的最小值．
解析：　法一：　因为x>0，y>0，所以x＋y＝(x＋y)·1＝(x＋y)·＝3＋＋≥3＋2＝3＋2，当且仅当＝，且＋＝1，即x＝＋1，y＝2＋时等号成立．故x＋y的最小值是3＋2.
法二：　因为＋＝1，所以x＝.
因为x>0，y>0，所以y－2>0.
所以x＋y＝＋y＝＝＝y－2＋＋3≥3＋2，当y－2＝，即y＝2＋时等号成立，此时x＝＋1.故x＋y的最小值为3＋2.
　　求以形如或可化为＋＝1型为条件的cx＋dy(a，b，c，d都不为0)的最值可利用“1”的代换求乘法，本题中的条件＋＝1，也可化为2x＋y－xy＝0.
技巧六　代换减元求最值
设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最小值时，x＋2y－z的最大值为________．
解析：　x2－3xy＋4y2－z＝0 z＝x2－3xy＋4y2　①，所以＝＝＋－3≥2－3＝1，等号成立的条件为x＝2y，代入到①可得z＝(2y)2－3·2y·y＋4y2＝2y2，所以x＝2y，z＝2y2.所以x＋2y－z＝2y＋2y－2y2＝－2(y2－2y)＝－2(y－1)2＋2≤2.
答案：　2
　　在含有两个以上变元的最值问题中，通过代换的方法减少变元，把问题化为两个变元的问题使用基本不等式，或者把问题化为一个变元的问题使用函数方法求解．
技巧七　建立求解目标不等式求最值
已知x，y均为正实数，且xy＝x＋y＋3，则xy的最小值为________．
解析：　因为x，y均为正实数，所以x＋y≥2，xy＝x＋y＋3可化为xy>2＋3，即(－3)(＋1)≥0，所以≥3，即xy≥9，当且仅当x＝y时，xy取得最小值9.
答案：　9
　　利用基本不等式与已知条件建立求解目标的不等式，求出不等式的解集即得求解目标的最值．
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