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第二节　充分条件与必要条件　全称量词与存在量词
课程标准 考向预测
1.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．2．通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义．3．能正确地对含有一个量词的命题进行否定． 考情分析：　主要考查含有一个量词的命题的否定和充分必要条件的判定，一般多与集合、函数、不等式、立体几何结合，考查考生的推理能力，以基础题为主，难度较小．学科素养：　数学抽象和逻辑推理．
学生用书P12
1．充分条件、必要条件与充要条件
(1)“若p，则q”为真命题，记作：p q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．
(2)如果既有p q，又有q p，记作：p q，则p是q的充要条件，q也是p的充要条件．
2．全称量词和存在量词
量词名称 常见量词 符号表示
全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个等
存在量词 存在一个、至少有一个、有些、某些等
3.全称命题和特称命题
　　名称形式　　 全称命题 特称命题
语言表示 对M中任意一个x，有p(x)成立 M中存在元素x0，使p(x0)成立
符号表示 x∈M，p(x) x0∈M，p(x0)
否定 x0∈M， p(x0) x∈M， p(x)
充分条件与必要条件的两个特征
(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件．
(2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件，即“p q，且q r” “p r”或“p q，且q r” “p r”．
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1) x0∈M，p(x0)与 x∈M， p(x)的真假性相反．(　　)
(2)“全等三角形的面积相等”是特称命题．(　　)
(3)若p是q成立的充分条件，则q是p成立的必要条件．(　　)
(4)命题“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”．(　　)
答案：　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√
2．命题“ x∈R，x2＋x≥0”的否定是(　　)
A． x0∈R，x＋x0≤0　　 B． x0∈R，x＋x0<0
C． x∈R，x2＋x≤0 D． x∈R，x2＋x<0
B　[由全称命题的否定是特称命题知选项B正确．]
3．(2020·天津卷)设a∈R，则“a＞1”是“a2＞a”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
A　[由a2＞a，即a2－a＞0，得a＜0或a＞1，所以由a>1可推出a2>a，充分性成立．由a2>a不能推出a>1，必要性不成立，所以“a＞1”是“a2＞a”的充分不必要条件，故选A．]
4．(选修2－1P10练习T3改编)“(x－1)(x＋2)＝0”是“x＝1”的________条件．
解析：　若x＝1，则(x－1)(x＋2)＝0显然必要性成立，但反之充分性不成立，即若(x－1)(x＋2)＝0，则x的值也可能为－2.
答案：　必要不充分
5．(选修2－1P25例4改编)命题：“ x0∈R，x－ax0＋1<0”的否定为________________．
解析：　因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“ x0∈R，x－ax0＋1<0”的否定为“ x∈R，x2－ax＋1≥0”．
答案：　 x∈R，x2－ax＋1≥0
学生用书P12
[题组练透]
1．已知命题p： n∈N，n2>2n，则 p为(　　)
A． n∈N，n2>2n　　　　 B． n∈N，n2≤2n
C． n∈N，n2≤2n D． n∈N，n2＝2n
C　[因为特称命题的否定是把存在量词改为全称量词，同时否定结论，所以 p： n∈N，n2≤2n，故选C.]
2．(多选)下列命题中的真命题是(　　)
A． x∈R，2x－1>0 B． x∈N*，(x－1)2>0
C． x0∈R，lg x0<1 D． x0∈R，tan x0＝2
ACD　[当x∈N*时，x－1∈N，可得(x－1)2≥0，当且仅当x＝1时取等号，故B不正确；易知A，C，D都正确．]
3．若命题p： x∈R，x2＋ax＋a≥0为真命题，则实数a的取值范围是(　　)
A．(0，4) B．[0，4]
C．(－∞，0)∪(4，＋∞) D．(－∞，0]∪[4，＋∞)
B　[对于 x∈R，x2＋ax＋a≥0成立是真命题，∴Δ＝a2－4a≤0，即0≤a≤4.故选B.]
1．全称(特称)命题否定的两步曲
(1)改写量词：找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再改变量词．
(2)否定结论：对原命题的结论进行否定．
[提醒]　若命题p是真命题，则 p是假命题；若命题p是假命题，则 p是真命题．
2．全称命题与特称命题真假的判断方法
命题名称 真假 判断方法一 判断方法二
全称命题 真 所有对象使命题真 否定为假
假 存在一个对象使命题假 否定为真
特称命题 真 存在一个对象使命题真 否定为假
假 所有对象使命题假 否定为真
(1)(2019·天津卷)设x∈R，则“x2－5x<0”是“|x－1|<1”的(　　)
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
(2)(2020·浙江卷)已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n.“l，m，n共面”是“l，m，n两两相交”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
(1)B　(2)B　[(1)由“x2－5x<0”可得“0(2)充分性：因为直线l，m，n不过同一点，若l，m，n共面，则l，m，n中可能三条直线互相平行或某两条直线平行和第三条直线相交或三条直线两两相交，所以充分性不成立；必要性：若l，m，n两两相交，且直线l，m，n不过同一点，设m，n确定的平面为α，l，m的交点为A，l，n的交点为B，则点A∈α，点B∈α，则直线AB α，即l α，所以l，m，n在同一平面上，必要性成立．所以“l，m，n共面”是“l，m，n两两相交”的必要不充分条件，故选B.]
充分、必要条件的判断方法
(1)定义法：直接判断“若p，则q”，“若q，则p”的真假(如本例(2)).
(2)集合法：若A B，则“x∈A”是“x∈B”的充分条件或“x∈B”是“x∈A”的必要条件；若A＝B，则“x∈A”是“x∈B”的充要条件(如本例(1)).
[注意]　判断条件之间的充要关系要注意条件之间的语句描述，比如正确理解“p的一个充分不必要条件是q”应是“q推出p，而p不能推出q”．
1. (定义法)(2020·福州市质量检测)已知向量a＝(2，λ)，b＝(λ，2)，则“λ＝2”是“a∥(a－2b)”的(　　)
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
A　[法一：a－2b＝(2－2λ，λ－4)，若a∥(a－2b)，则2(λ－4)－λ(2－2λ)＝0，解得λ＝±2，所以“λ＝2”是“a∥(a－2b)”的充分不必要条件．
法二：若a∥(a－2b)，则a∥b，所以2×2－λ2＝0，解得λ＝±2.所以“λ＝2”是“a∥(a－2b)”的充分不必要条件．]
2．(集合法)(2020·西安五校联考)“ln (x＋1)<0”是“x2＋2x<0”的(　　)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A　[由ln (x＋1)<0得0已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围为________．
解析：　由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10，
所以P＝{x|－2≤x≤10}，
由x∈P是x∈S的必要条件，知S P.
又集合S为非空集合，
则所以0≤m≤3.
所以当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，
即所求m的取值范围是[0，3].
答案：　[0，3]
根据充要条件求解参数范围的方法
(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间关系列出关于参数的不等式(组)求解．
(2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．
1．设p：|2x＋1|0)；q：(x－1)(2x－1)>0.若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为________．
解析：　由|2x＋1|0)，得－m<2x＋1∴－由(x－1)(2x－1)>0，得x<或x>1.
∵p是q的充分不必要条件，∴≤，∴0答案：　(0，2]
2．(变结论)本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．
解析：　若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，
所以所以
即不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．
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