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第一节　集合的概念与运算
课程标准 考向预测
1.通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系．2．能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用．3．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．4．在具体情境中，了解全集与空集的含义．5．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．6．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．7．能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用． 考情分析：　集合的交、并、补运算及两集合间的包含关系是考查的重点，在集合的运算中经常与不等式、函数相结合，解题时常用到数轴和韦恩(Venn)图，题型以选择题为主．学科素养：　数学抽象、数学运算．
学生用书P9
1．集合与元素
(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或 表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法．
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N*(或N＋) Z Q R
[注意]　N为自然数集(即非负整数集)，包含0，而N*和N＋的含义是一样的，表示正整数集，不包含0.
2．集合间的基本关系
关系 自然语言 符号语言 Venn图
子集 集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素(若x∈A，则x∈B) A B或B A
真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中 AB或BA
集合相等 集合A，B中的元素相同或集合A，B互为子集 A＝B
3.集合的基本运算
运算 自然语言 符号语言 Venn图
交集 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合 A∩B＝{x|x∈A且x∈B}
并集 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 A∪B＝{x|x∈A或x∈B}
补集 由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合 UA＝{x|x∈U且x A}
1．两个常用等价关系
A∪B＝A B A，A∩B＝A A B.
2．集合的运算性质
(1)A∩A＝A，A∩ ＝ .
(2)A∪A＝A，A∪ ＝A．
(3)A∩( UA)＝ ，A∪( UA)＝U， U( UA)＝A．
3．子集个数
若集合A中含有n个元素，则它的子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集个数为2n－2.
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)任何一个集合都至少有两个子集．(　　)
(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(　　)
(3)若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1.(　　)
(4){x|x≤1}＝{t|t≤1}．(　　)
(5)对于任意两个集合A，B，关系(A∩B) (A∪B)恒成立.(　　)
(6)若A∩B＝A∩C，则B＝C.(　　)
答案：　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√　(6)×
2．若集合P＝{x∈N|x≤}，a＝2，则(　　)
A．a∈P　 B．{a}∈P　 C．{a} P　 D．a P
D　[因为a＝2不是自然数，而集合P是不大于的自然数构成的集合，所以a P，{a}?P.故选D.]
3．(2020·全国卷Ⅱ)已知集合U＝{－2，－1，0，1，2，3}，A＝{－1，0，1}，B＝{1，2}，则 U(A∪B)＝(　　)
A．{－2，3} B．{－2，2，3}
C．{－2，－1，0，3} D．{－2，－1，0，2，3}
A　[因为A∪B＝{－1，0，1，2}，所以 U(A∪B)＝{－2，3}，故选A．]
4．设全集为R，集合A＝{x|0解析：　因为集合B＝{x|x≥1}，所以 RB＝{x|x<1}，所以A∩( RB)＝{x|0答案：　{x|05．已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}．若P∪M＝P，则实数a的取值范围为________．
解析：　∵P＝{x|－1≤x≤1}，且P∪M＝P，
∴M P，∴a∈P，因此－1≤a≤1.
答案：　[－1，1]
学生用书P10
[题组练透]
1．(2020·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，则A∩B中元素的个数为(　　)
A．2 B．3 C．4 D．6
C　[依题意A∩B的元素是直线x＋y＝8上满足x，y∈N*且y≥x的点，即点(1，7)，(2，6)，(3，5)，(4，4).故选C.]
2．(多选)(2020·长沙月考)如果集合A＝{x|ax2＋4x＋1＝0}中只有一个元素，则a的值是(　　)
A．0 B．4
C．2 D．不能确定
AB　[当a＝0时，集合A＝{x|ax2＋4x＋1＝0}＝，只有一个元素，满足题意；
当a≠0时，由集合A＝{x|ax2＋4x＋1＝0}中只有一个元素，可得Δ＝42－4a＝0，解得a＝4.
则a的值为0或4.故选AB.]
3．设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则b－a＝________________________________________________________________________.
解析：　因为{1，a＋b，a}＝，a≠0，所以a＋b＝0，则＝－1，所以a＝－1，b＝1.所以b－a＝2.
答案：　2
4．已知集合M＝{x∈R|x2＝36}，集合N＝{2m，m＋6，12}，且m∈M，则m的值为________．
解析：　由x2＝36，x∈R，得x＝±6，所以M＝{6，－6}．因为m∈M，所以当m＝6时，m＋6＝2m，不符合集合中元素的互异性；当m＝－6时，N＝{－12，0，12}，符合要求，故m＝－6.
答案：　－6
　解决集合含义问题的关键有三点：一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限制条件；三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题．
[注意]　含字母的集合问题，在求出字母的值后，需要验证集合的元素是否满足互异性．(如题4)
(1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0A．1　　 B．2 C．3　　 D．4
(2)已知集合A＝{x|－1解析：　(1)由题意可得，A＝{1，2}，B＝{1，2，3，4}，又因为A C B，所以C＝{1，2}或{1，2，3}或{1，2，4}或{1，2，3，4}．
(2)当m≤0时，B＝ ，显然有B A；
当m>0时，因为A＝{x|－1当B A时，在数轴上标出两集合，如图，
所以所以0综上所述，m的取值范围为(－∞，1].
答案：　(1)D　(2)(－∞，1]
集合间基本关系的两种判定方法和一个关键
[注意]　题目中若有条件B A，则应分B＝ 和B≠ 两种情况进行讨论(如例(2)).
1．已知集合A＝{x|y＝ }，B＝{x|x＝m2，m∈A}，则(　　)
A．AB B．BA C．A B D．B＝A
B　[由题意知A＝{x|y＝ }，
所以A＝{x|－1≤x≤1}．
所以B＝{x|x＝m2，m∈A}＝{x|0≤x≤1}，
所以B?A，故选B.]
2．已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈N*}，则集合A的真子集的个数为(　　)
A．7 B．8 C．15 D．16
A　[法一：A＝{x|－1≤x≤3，x∈N*}＝{1，2，3}，其真子集有： ，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}共7个．
法二：因为集合A中有3个元素，所以其真子集的个数为23－1＝7(个).]
3．(变条件)若本例(2)中，把条件“B A”变为“A B”，其他条件不变，则m的取值范围为________．
解析：　若A B，由得m≥3.
∴m的取值范围为[3，＋∞).
答案：　[3，＋∞)
角度一　集合的运算
(1)(多选)若全集U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，4}，N＝{2，3}，则集合{5，6}等于(　　)
A．M∪N B．M∩N
C．( UM)∩( UN) D． U(M∪N)
(2)(2020·四省八校第二次质量检测)若全集U＝R，集合A＝(－∞，－1)∪(4，＋∞)，B＝{x||x|≤2}，则如图阴影部分所示的集合为(　　)
A．{x|－2≤x＜4} B．{x|x≤2或x≥4}
C．{x|－2≤x≤－1} D．{x|－1≤x≤2}
(1)CD　(2)D　[(1)由题意，知M∪N＝{1，2，3，4}，M∩N＝ ， UM＝{2，3，5，6}， UN＝{1，4，5，6}，所以( UM)∩( UN)＝{5，6}， U(M∪N)＝{5，6}，故选CD.
(2) UA＝{x|－1≤x≤4}，B＝{x|－2≤x≤2}，记所求阴影部分所表示的集合为C，则C＝( UA)∩B＝{x|－1≤x≤2}．]
集合基本运算的求解策略
角度二　利用集合的运算求参数
(1)已知集合A＝{－1，0，m}，B＝{1，2}．若A∪B＝{－1，0，1，2}，则实数m的值为(　　)
A．－1或0 B．0或1 C．－1或2 D．1或2
(2)(2020·全国卷Ⅰ)设集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，且A∩B＝{x|－2≤x≤1}，则a＝(　　)
A．－4 B．－2 C．2 D．4
(1)D　(2)B　[(1)因为A＝{－1，0，m}，B＝{1，2}，A∪B＝{－1，0，1，2}，所以m∈(A∪B).由集合中元素的互异性可知，m不能等于A中的其他元素，所以m＝1或m＝2.
(2)由x2－4≤0，解得－2≤x≤2，所以集合A＝[－2，2].又2x＋a≤0，解得x≤－，则集合B＝.又集合A∩B＝[－2，1]，则－＝1，所以a＝－2，故选B.]
根据集合的运算结果求参数的值或取值范围的方法
(1)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系．若集合中的元素能一一列举，则用观察法得到不同集合中元素之间的关系；若集合是与不等式有关的集合，则一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到．
(2)将集合之间的关系转化为解方程(组)或不等式(组)问题求解．
(3)根据求解结果来确定参数的值或取值范围．
1．(2020·天津卷)设全集U＝{－3，－2，－1，0，1，2，3}，集合A＝{－1，0，1，2}，B＝{－3，0，2，3}，则A∩( UB)＝(　　)
A．{－3，3} B．{0，2}
C．{－1，1} D．{－3，－2，－1，1，3}
C　[法一：由题知 UB＝{－2，－1，1}，所以A∩( UB)＝{－1，1}，故选C.
法二：易知A∩( UB)中的元素不在集合B中，则排除选项A，B，D，故选C.]
2．(多选)已知集合M＝{x|x<2}，N＝{x|x2－x<0}，则下列正确的是(　　)
A．M∪N＝R B．M∪ RN＝R
C．N∪ RM＝R D．M∩N＝N
BD　[因为N＝{x|x2－x<0}＝{x|03．设集合A＝{x|－1≤x＜2}，B＝{x|xA．－12
C．a≥1 D．a>－1
D　[在数轴上表示出集合A，B(如图)，
观察可知a>－1.]
微专题系列1 [交汇创新]
追踪集合中的新定义
以集合为背景的新定义问题是近几年高考命题创新型试题的一个热点，此类题目常常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的．常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等，这类试题只是以集合为依托，考查考生理解、解决创新问题的能力．
(1)设U＝{1，2，3}，M，N是U的子集，若M∩N＝{1，3}，则称(M，N)为一个“理想配集”，则符合此条件的“理想配集”的个数(规定(M，N)与(N，M)不同)为________；
(2)设A，B是非空集合，定义A B＝{x|x∈(A∪B)且x (A∩B)}．已知集合A＝{x|0解析：　(1)符合条件的理想配集有①M＝{1，3}，N＝{1，3}；②M＝{1，3}，N＝{1，2，3}；③M＝{1，2，3}，N＝{1，3}．共3个．
(2)由已知A＝{x|0答案：　(1)3　(2){0}∪[2，＋∞)
解决集合中新定义问题的两个关键点
(1)紧扣新定义：新定义型试题的难点就是对新定义的理解和运用，在解决问题时要分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中．
(2)用好集合的性质：集合的性质是破解集合类新定义型试题的基础，也是突破口．在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质．
1．定义集合的商集运算为＝.
已知集合A＝{2，4，6}，B＝，则集合∪B中的元素个数为(　　)
A．6 B．7 C．8 D．9
B　[由题意知，B＝{0，1，2}，＝，
则∪B＝，共有7个元素．]
2．对于集合M，定义函数fM(x)＝对于两个集合A，B，定义集合A△B＝{x|fA(x)·fB(x)＝－1}．已知A＝{2，4，6，8，10}，B＝{1，2，4，8，12}，则用列举法写出集合A△B的结果为________________．
解析：　要使fA(x)·fB(x)＝－1，必有x∈{x|x∈A且x B}∪{x|x∈B且x A}＝{1，6，10，12}，所以A△B＝{1，6，10，12}．
答案：　{1，6，10，12}
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