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第三节　二次函数与一元二次方程、不等式
课程标准 考向预测
1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系．2．经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．能借助一元二次函数求解一元二次不等式并能用集合表示一元二次不等式的解集．3．借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数方程的联系． 考情分析：　不等式解法是不等式中的重要内容，且常考常新，“三个二次”之间的联系的综合应用等问题是高考考查的热点，题型多以选择题、填空题为主，难度中等偏下．学科素养：　数学抽象、数学运算和逻辑推理．
学生用书P19
三个“二次”间的关系
判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根 有两相异实根x1，x2(x1＜x2) 有两相等实根x1＝x2＝－ 没有实数根
ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集 {x|x＜x1或x＞x2} R
ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2}
1．绝对值不等式的解法
(1)|f(x)|>|g(x)| [f(x)]2>[g(x)]2；
(2)|f(x)|>g(x) f(x)>g(x)或f(x)<－g(x)；
(3)|f(x)|2．两个常用的结论
(1)不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)对任意实数x恒成立
(2)不等式ax2＋bx＋c＜0(a≠0)对任意实数x恒成立
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0.(　　)
(2)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.(　　)
(3)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.(　　)
(4)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集一定不是空集．(　　)
答案：　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
2．(必修5P78例1改编)不等式x2＋2x－3>0的解集为(　　)
A．{x|－3C．{x|x<－3或x>1} D．{x|x<－1或x>3}
C　[根据题意，方程x2＋2x－3＝0有两个根，即－3和1，则x2＋2x－3>0的解集为{x|x<－3或x>1}．]
3．(必修5P80习题T3改编)已知关于x的方程x2－ax＋3＝0有一根大于1，另一根小于1，则实数a的取值范围是(　　)
A．(4，＋∞) B．(－∞，4)
C．(－∞，2) D．(2，＋∞)
A　[设f(x)＝x2－ax＋3，
若方程x2－ax＋3＝0有一根大于1，另一根小于1，
则只需要f(1)<0，即f(1)＝1－a＋3<0，得a>4，即实数a的取值范围是(4，＋∞).]
4．若关于x的不等式ax2＋bx＋2>0的解集是(－，)，则a＋b＝________．
解析：　∵x1＝－，x2＝是方程ax2＋bx＋2＝0的两个根，∴解得∴a＋b＝－14.
答案：　－14
5．不等式x2＋ax＋4＜0的解集不是空集，则实数a的取值范围是________________．
解析：　∵不等式x2＋ax＋4＜0的解集不是空集，
∴Δ＝a2－4×4＞0，即a2＞16.
∴a＞4或a＜－4.
答案：　(－∞，－4)∪(4，＋∞)
学生用书P20
[题组练透]
1．不等式x2<4x＋5的解集为(　　)
A．(－∞，－5)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(5，＋∞)
C．(－1，5) D．(－5，1)
C　[不等式x2<4x＋5，即x2－4x－5<0，所以(x＋1)·(x－5)<0，解得－12．不等式0解析：　原不等式等价于
即
即解得
将x的取值范围在数轴上表示，如图，
由图可知，原不等式的解集为{x|－2≤x<－1或2答案：　[－2，－1)∪(2，3]
3．不等式≥－1的解集为________．
解析：　移项通分得≥0，等价于
解得x≤或x>5，即原不等式的解集为.
答案：　
解一元二次不等式的4个步骤
解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0).
解析：　原不等式变为(ax－1)(x－1)<0.
因为a>0，所以a(x－1)<0，
所以当a>1时，解为当a＝1时，解集为 ；
当0综上，当0不等式的解集为.
当a＝1时，不等式的解集为 .
当a>1时，不等式的解集为.
解含参数的一元二次不等式的步骤
(1)二次项若含有参数应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的一元二次不等式；
(2)判断一元二次不等式所对应的方程实根的个数，即讨论判别式Δ与0的关系；
(3)确定方程无实根或有两个相同实根时，可直接写出解集；确定方程有两个相异实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形式．
1．(多选)(2020·江苏常州市第一中学期末)对于给定的实数a，关于x的一元二次不等式a(x－a)(x＋1)>0的解集可能为(　　)
A． B．{x|－1C．{x|aa}
ABCD　[易知a≠0.当a>0时，函数y＝a(x－a)(x＋1)的图象开口向上，故不等式的解集为{x|x<－1或x>a}．当a<0时，函数y＝a(x－a)(x＋1)的图象开口向下，若a＝－1，不等式的解集为 ；若－12．解不等式12x2－ax>a2(a∈R).
解析：　原不等式可化为12x2－ax－a2>0，
即(4x＋a)(3x－a)>0，令(4x＋a)(3x－a)＝0，
解得x1＝－，x2＝.
当a>0时，不等式的解集为(－∞，－)∪(，＋∞)；
当a＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)；
当a<0时，不等式的解集为(－∞，)∪(－，＋∞).
角度一　形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈R)的不等式确定参数的范围
若不等式ax2－x＋a>0对一切实数x都成立，则实数a的取值范围为(　　)
A．a<－或a> B．a> 或a<0
C．a> D．－C　[不等式ax2－x＋a>0对一切实数x都成立，则即
解得a>，所以实数a的取值范围是a>.]
一元二次不等式在R上恒成立的条件
不等式类型 恒成立条件
ax2＋bx＋c>0 a>0，Δ<0
ax2＋bx＋c≥0 a>0，Δ≤0
ax2＋bx＋c<0 a<0，Δ<0
ax2＋bx＋c≤0 a<0，Δ≤0
角度二　形如f(x)≥0(x∈[a，b])的不等式确定参数范围
若对任意的x∈[－1，2]，都有x2－2x＋a≤0(a为常数)，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－3] B．(－∞，0]
C．[1，＋∞) D．(－∞，1]
A　[法一：令f(x)＝x2－2x＋a，则由题意，
得
解得a≤－3.故选A．
法二：当x∈[－1，2]时，不等式x2－2x＋a≤0恒成立等价于a≤－x2＋2x恒成立，则由题意，
得a≤(－x2＋2x)min(x∈[－1，2]).
而－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，
则当x＝－1时，(－x2＋2x)min＝－3，
所以a≤－3.故选A．]
一元二次不等式在区间上有解的求解方法
　设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).
(1)一元二次不等式f(x)>0(a>0)在区间[m，n]上有解 或或
(2)一元二次不等式f(x)<0(a>0)在区间[m，n]上有解 或或
角度三　形如f(x)>0(t∈[a，b])的不等式确定参数范围
求使不等式x2＋(a－6)x＋9－3a>0，|a|≤1恒成立的x的取值范围．
解析：　将原不等式整理为形式上是关于a的不等式
(x－3)a＋x2－6x＋9>0.
令f(a)＝(x－3)a＋x2－6x＋9.
因为f(a)>0在|a|≤1时恒成立，所以
(1)若x＝3，则f(a)＝0，不符合题意，应舍去．
(2)若x≠3，则由一次函数的单调性，
可得
即
解得x<2或x>4.
故x的取值范围为(－∞，2)∪(4，＋∞).
给定参数范围求x范围的恒成立问题的解法
解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解．
1．若不等式x2≥m＋4x在[0，1]上恒成立，则实数m的取值范围是(　　)
A．m≤－3或m≥0 B．m≥－3
C．－3≤m≤0 D．m≤－3
D　[因为不等式x2≥m＋4x在[0，1]上恒成立，
所以只需m≤(x2－4x)min，x∈[0，1]，
令f(x)＝x2－4x＝(x－2)2－4，x∈[0，1]，
所以f(x)min＝f(1)＝－3，
所以m≤－3.]
2．对任意m∈[－1，1]，函数f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零，求x的取值范围．
解析：　由f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m＝(x－2)m＋x2－4x＋4，
令g(m)＝(x－2)m＋x2－4x＋4.
由题意知在[－1，1]上，g(m)的值恒大于零，所以
解得x<1或x>3.
故当x∈(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意的m∈[－1，1]，函数f(x)的值恒大于零．
微专题系列3 [思想方法]
转化与化归思想在不等式中的应用
转化与化归思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想．
关于x的不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集为[a，b]，则a－b＝(　　)
A．－1 B．－2
C．－3 D．－4
D　[令f(x)＝x2－3x＋4，
则f(x)＝(x－2)2＋1，所以f(x)min＝f(2)＝1，
由题意可知a≤1，且f(a)＝f(b)＝b，a2.
由f(b)＝b得到b2－3b＋4＝b，
解得b＝(舍去)或b＝4，
由抛物线的对称轴为x＝2得到a＝0，所以a－b＝－4.]
(1)本题的解法充分体现了转化与化归思想：函数的值域和不等式的解集转化为a，b满足的条件．
(2)注意函数f(x)的值域为[0，＋∞)与f(x)≥0的区别．
　已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)解析：　由题意知f(x)＝x2＋ax＋b＝＋b－.
因为f(x)的值域为[0，＋∞)，
所以b－＝0，即b＝，所以f(x)＝.
又因为f(x)即－－所以
②－①得2＝6，所以c＝9.
答案：　9
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