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第八节　函数与方程
课程标准 考向预测
1.结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系．2．根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法． 考情分析：　本节的常考点有判断函数零点所在区间、确定函数零点个数及利用函数零点解决一些参数问题，其中利用零点解决一些参数问题仍是高考考查的热点，题型多以选择题为主，属中档题．学科素养：　直观想象、逻辑推理．
学生用书P46
1．函数零点
(1)定义：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．
(2)三个等价关系
(3)存在性定理
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系
— Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
与x轴的交点 (x1，0)，(x2，0) (x1，0) 无交点
零点 x1，x2 x1 无
有关函数零点的三个结论
(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．
(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．
(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(　　)
(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在当b2－4ac<0时没有零点．(　　)
(3)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.(　　)
(4)若f(x)在区间[a，b]上连续不断，且f(a)·f(b)>0，则f(x)在(a，b)内没有零点．(　　)
答案：　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2．(必修1P92习题A组T1改编)下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是(　　)
A　[根据二分法的概念可知A不能用二分法求零点．]
3．(必修1P92习题A组T5改编)函数f(x)＝ln x－的零点所在的大致区间是(　　)
A．(1，2) B．(2，3)
C．(，1)和(3，4) D．(4，＋∞)
B　[因为f(2)＝ln 2－1<0，
f(3)＝ln 3－>0，
且函数f(x)的图象连续不断，f(x)为增函数，
所以f(x)的零点在区间(2，3)内．]
4．(多选)下列说法中正确的是(　　)
A．函数f(x)＝x＋1的零点为(－1，0)
B．函数f(x)＝x＋1的零点为－1
C．函数f(x)的零点，即函数f(x)的图象与x轴的交点
D．函数f(x)的零点，即函数f(x)的图象与x轴的交点的横坐标
BD　[根据函数零点的定义，可知f(x)＝x＋1的零点为－1.函数y＝f(x)的零点，即函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标，因此B、D正确，A、C错误．]
5．(必修1P88例1改编)函数f(x)＝x－()x的零点个数为________．
解析：　作函数y1＝x和y2＝()x的图象如图所示，
结合函数的单调性及图象知函数f(x)有1个零点．
答案：1
　
学生用书P47
[题组练透]
1．(多选)已知函数f(x)＝＋x2－2，利用零点存在性法则确定各零点所在范围，下列区间中存在零点的是(　　)
A．(－3，－2) B．
C．(2，3) D．
ABD　[f(－3)＝－＋－2＝>0；
f(－2)＝－＋2－2＝－<0；
f()＝2＋－2＝>0；
f(1)＝1＋－2＝－<0；
f(－1)＝－1＋－2＝－<0.
根据零点判定定理可得区间(－3，－2)，，上存在零点，故选ABD.]
2．若aA．(a，b)和(b，c)内
B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内
D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
A　[函数y＝f(x)是开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于a0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0.
所以f(a)·f(b)<0，f(b)·f(c)<0，即f(x)在区间(a，b)和区间(b，c)内各有一个零点．]
3．设f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为(　　)
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，4)
B　[法一：函数f(x)的零点所在的区间可转化为函数g(x)＝ln x，h(x)＝－x＋2图象交点的横坐标所在的取值范围，作图如下：
可知f(x)的零点所在的区间为(1，2).
法二：由于f(1)＝－1<0，f(2)＝ln 2>0，f(2)·f(1)<0，所以函数f(x)＝ln x＋x－2的零点在区间(1，2)内．]
确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法
(1)定理法：使用零点存在性定理，函数y＝f(x)必须在区间[a，b]上是连续的，当f(a)·f(b)<0时，函数在区间(a，b)内至少有一个零点(如题1).
(2)图象法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如f(x)＝g(x)－h(x)，作出y＝g(x)和y＝h(x)的图象，其交点的横坐标即为函数f(x)的零点(如题3).
(2019·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝2sin x－sin 2x在[0，2π]的零点个数为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
(2)函数f(x)＝|x－2|－ln x在定义域内的零点个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
(1)B　(2)C　[(1)f(x)＝2sin x－2sin x cos x＝2sin x(1－cos x)，令f(x)＝0，则sin x＝0或cos x＝1，所以x＝kπ(k∈Z)，又x∈[0，2π]，所以x＝0或x＝π或x＝2π.故选B.
(2)由题意可知f(x)的定义域为(0，＋∞).在同一直角坐标系中画出函数y＝|x－2|(x>0)，y＝ln x(x>0)的图象，如图所示．
由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2.故选C.]
函数零点个数的判断方法
(1)解方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(如本例(1))
(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．
(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．(如本例(2))
[注意]　若已知f(x)有几个零点，则可用数形结合法转化为两个熟悉的函数图象有几个交点问题，数形结合求解．
1．已知函数f(x)＝则函数y＝f(x)＋3x的零点个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
C　[令f(x)＋3x＝0，
则或
解得x＝0或x＝－1.
所以函数y＝f(x)＋3x的零点个数是2.]
2．函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0，1)内的零点个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
B　[法一：∵f(0)·f(1)＝(－1)×1＝－1<0，且函数在定义域上单调递增且连续，
∴函数f(x)在区间(0，1)内有且只有1个零点．
法二：设y1＝2x，y2＝2－x3，
在同一坐标系中画出两函数的图象，如图所示．在区间(0，1)内，两图象的交点个数即为f(x)的零点个数．
故函数f(x)在区间(0，1)内有且只有1个零点．]
(1)(多选)已知函数f(x)＝||x－1|－1|，若关于x的方程f(x)＋a＝0有n个不同的根，则n的值可能为(　　)
A．4. B．3. C．2. D．1.
(2)已知函数f(x)＝且函数h(x)＝f(x)＋x－a有且只有一个零点，则实数a的取值范围是(　　)
A．[1，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－∞，1]
(1)ABC　(2)B　[(1)作出函数f(x)＝||x－1|－1|的图象如图所示：
根据y＝－a与f(x)的交点个数既为方程f(x)＋a＝0的根的个数可知，
当a＝0或a<－1时，从图象可以看出有两个交点，此时n＝2；
当a＝－1时，从图象可以看出有三个交点，此时n＝3；
当－1综上，可知n的值可能为2，3，4故选ABC.
(2)h(x)＝f(x)＋x－a有且只有一个零点，即方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，即f(x)＝－x＋a有且只有一个实根，函数y＝f(x)的图象与直线y＝－x＋a有且只有一个交点．在同一坐标系中作出函数f(x)的图象和直线y＝－x＋a，如图所示，若函数y＝f(x)的图象与直线y＝－x＋a有且只有一个交点，则有a>1，故选B.]
已知函数有零点(方程有根)，求参数取值范围常用的方法
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组)，通过解不等式(组)确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，化为a＝g(x)的形式，进而转化成求函数最值问题加以解决；
(3)数形结合法：将函数解析式(方程)适当变形，转化为图象易得的函数与一个含参的函数的差，在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象，结合函数的单调性、周期性、奇偶性等性质及图象求解．
1．函数f(x)＝x2－ax＋1在区间(，3)上有零点，则实数a的取值范围是(　　)
A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)
C．[2，) D．[2，)
D　[由题意知方程ax＝x2＋1在上有解，即a＝x＋在上有解．设t＝x＋，x∈，则t的取值范围是，∴实数a的取值范围是.]
2．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是________．
解析：　画出函数f(x)＝的图象，如图所示．由于函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，结合图象得0答案：　(0，1)
微专题系列11 [思想方法]
直观想象——解嵌套函数的零点问题
　　
函数的零点是高考命题的热点，主要涉及判断函数零点的个数或范围，常考查三次函数与复合函数相关零点，与函数的性质和相关问题交汇．对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解．
类型1　嵌套函数零点个数的判断
已知f(x)＝则函数y＝2[f(x)]2－3f(x)＋1的零点个数是________．
解析：　
由2[f(x)]2－3f(x)＋1＝0得f(x)＝或f(x)＝1，
作出函数y＝f(x)的图象如图所示．
由图象知y＝与y＝f(x)的图象有2个交点，y＝1与y＝f(x)的图象有3个交点．
因此函数y＝2[f(x)]2－3f(x)＋1的零点有5个．
答案：　5
　求解此类问题的主要步骤：(1)换元解套，转化为t＝g(x)与y＝f(t)的零点．(2)依次解方程，令f(t)＝0，求t，代入t＝g(x)求出x的值或判断图象交点个数
类型2　求嵌套函数零点中的参数
函数f(x)＝若函数g(x)＝f(f(x))－a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是________．
解析：　
设t＝f(x)，令f(f(x))－a＝0，则a＝f(t).在同一坐标系内作y＝a，y＝f(t)的图象(如图).当a≥－1时，y＝a与y＝f(t)的图象有两个交点．
设交点的横坐标为t1，t2(不妨设t2>t1)，则t1<－1，t2≥－1.
当t1<－1时，t1＝f(x)有一解；
当t2≥－1时，t2＝f(x)有两解．
当a＜－1时y＝a与y＝f(t)的图象只有一个交点，函数g(x)只有一个零点，不合题意．综上，当a≥－1时，函数g(x)＝f(f(x))－a有三个不同的零点．
答案：　[－1，＋∞)
　
1．求解本题抓住分段函数的图象性质，由y＝a与y＝f(t)的图象，确定t1，t2的取值范围，进而由t＝f(x)的图象确定零点的个数．
2．含参数的嵌套函数方程，还应注意让参数的取值“动起来”，抓临界位置，动静结合．
　已知函数f(x)＝则函数F(x)＝f(f(x))－2f(x)－的零点个数是(　　)
A．4 B．5
C．6 D．7
A　[令f(x)＝t，则函数F(x)可化为y＝f(t)－2t－，则函数F(x)的零点问题可转化为方程f(t)－2t－＝0的根的问题．
令y＝f(t)－2t－＝0，则f(t)＝2t＋.
分别作出y＝f(t)和y＝2t＋的图象，如图1，由图象可得有两个交点，横坐标设为t1，t2(不妨设t1作函数y＝f(x)，与y＝t的图象如图2，结合图象，当f(x)＝0时，有一解，即x＝2；
当f(x)＝t2时，结合图象，有3个解．
所以y＝f(f(x))－2f(x)－共有4个零点．]
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