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第一节　函数及其表示
课程标准 考向预测
1.通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．3．通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用． 考情分析：　以基本初等函数为载体，考查函数的表示法、定义域，分段函数以及函数与其他知识的综合仍是高考的热点，题型既有选择、填空题，又有解答题，难度中等偏上．学科素养：　数学抽象、数学运算．
学生用书P22
1．函数的定义
函数
前提条件 集合A，B是两个非空的数集
对应关系 按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应
名称 称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
记法 y＝f(x)，x∈A
2.函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．
(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．
(4)函数的表示法
表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．
[注意]　函数图象的特征：与x轴垂直的直线与其最多有一个公共点．利用这个特征可以判断一个图形能否作为一个函数的图象．
3．分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．
[注意]　分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．
(1)直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象有0个或1个交点．
(2)判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致．
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y＝f(x)的图象与直线x＝1有两个交点．(　　)
(2)定义域相同，值域也相同的两个函数一定是相等函数．(　　)
(3)二次函数y＝x2－1的值域可以表示为{y|y＝x2－1，x∈R}，即为{y|y≥－1}．(　　)
(4)分段函数是由两个或几个函数组成的．(　　)
答案：　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
2．已知函数f(x)＝，则f(f(－))＝(　　)
A．－2　　 B．2　　　 C．－1　　 D．1
D　[f(－)＝3，则f(f(－))＝f(3)＝log33＝1，故选D.]
3．(多选)(2020·海南海口第四中学期中)下列各组函数表示同一函数的是(　　)
A．f(x)＝1，g(x)＝x0
B．f(x)＝，g(x)＝|x|
C．f(x)＝x＋1，g(x)＝
D．f(x)＝|x|，g(x)＝
BD　[对于A项，f(x)＝1的定义域为R，g(x)＝x0的定义域为{x|x≠0}，两个函数的定义域不同，所以它们是不同函数；对于B项，f(x)＝＝|x|的定义域为R，g(x)＝|x|的定义域为R，且两个函数的对应关系相同，所以它们是同一函数；对于C项，f(x)＝x＋1的定义域为R，g(x)＝的定义域为{x|x≠1}，两个函数的定义域不同，所以它们是不同函数；对于D项，f(x)＝|x|＝g(x)＝两个函数的对应关系与定义域都相同，所以它们是同一函数．故选BD.]
4．函数y＝ax2－6x＋7a(a≠0)的值域为[－2，＋∞)，则a的值为(　　)
A．－1 B．－ C．1 D．2
C　[由函数y＝ax2－6x＋7a(a≠0)的值域为[－2，＋∞)知a>0，且当x＝－，即x＝时，y＝a×()2－6×＋7a＝－2，即7a2＋2a－9＝0，所以a＝1或a＝－(舍去).]
5．已知f(x)＝＋，若f(－2)＝0，则a的值为________．
解析：　因为f(x)＝＋，
所以f(－2)＝＋＝0，
解得a＝1.
答案：　1
6．如果f＝，则f(x)＝________．
解析：　由f＝，知x≠0且x≠1.
令＝t，得x＝(t≠0且t≠1)，
∴f(t)＝＝(t≠0且t≠1)，
∴f(x)＝(x≠0且x≠1).
答案：　(x≠0且x≠1)
学生用书P23
[题组练透]
1．函数f(x)＝＋ln (3x－1)的定义域为(　　)
A．[，1) B．(，]
C．[－，) D．[－，]
B　[要使函数f(x)＝＋ln (3x－1)有意义，则有 2．如果函数f(x)＝ln (－2x＋a)的定义域为(－∞，1)，那么实数a的值为(　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
D　[因为－2x＋a>0，所以x<，又因为函数定义域为(－∞，1)，所以＝1，所以a＝2.]
3．函数y＝＋的定义域为________________________________________．
解析：　由得所以函数的定义域为{x|x≤－1或x≥1且x≠±2}．
答案：　{x|x≤－1或x≥1且x≠±2}
4．已知函数y＝f(x)的定义域为[－8，1]，则函数g(x)＝的定义域是______________．
解析：　由题意得－8≤2x＋1≤1，解得－≤x≤0，由x＋2≠0，解得x≠－2，故函数的定义域是∪(－2，0].
答案：　∪(－2，0]
　
1．求给定解析式的函数定义域的方法
求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解(如题1)；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义．
2．求抽象函数定义域的方法
(1)已知二次函数f(x)满足f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，求f(x)的解析式；
(2)已知f ＝x2＋，求f(x)的解析式；
(3)已知f(x)满足2f(x)＋f ＝3x－1，求f(x)的解析式．
解析：　(1)法一：(换元法)令2x＋1＝t(t∈R)，则x＝，所以f(t)＝4－6×＋5＝t2－5t＋9(t∈R)，所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R).
法二：(配凑法)因为f(2x＋1)＝4x2－6x＋5＝(2x＋1)2－10x＋4＝(2x＋1)2－5(2x＋1)＋9，所以f(x)＝x2－5x＋9.
法三：(待定系数法)因为f(x)是二次函数，所以设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f(2x＋1)＝a(2x＋1)2＋b(2x＋1)＋c＝4ax2＋(4a＋2b)x＋a＋b＋c.因为f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，所以解得
所以f(x)＝x2－5x＋9.
(2)由于f ＝x2＋＝－2，
所以f(x)＝x2－2，x≥2或x≤－2，
故f(x)的解析式是f(x)＝x2－2(x≥2或x≤－2).
(3)已知2f(x)＋f ＝3x－1　①，
以代替①中的x(x≠0)，得
2f ＋f(x)＝－1　②，
①×2－②，得3f(x)＝6x－－1，
故f(x)＝2x－－(x≠0).
求函数解析式常用的方法
[注意]　由于函数的解析式相同，定义域不同，则为不相同的函数，因此求函数的解析式时，如果定义域不是R，一定要注明函数的定义域．
1．(多选)(2020·台州期中)已知函数f(x)是一次函数，满足f(f(x))＝9x＋8，则f(x)的解析式可能为(　　)
A．f(x)＝3x＋2 B．f(x)＝3x－2
C．f(x)＝－3x＋4 D．f(x)＝－3x＋4
AD　[设f(x)＝kx＋b(k≠0)，
因为f(f(x))＝9x＋8，
所以f(f(x))＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝9x＋8
所以解得或
所以f(x)＝3x＋2或f(x)＝－3x－4.
故选AD.]
2．已知f(1－cos x)＝sin2x，则f(x)＝________．
解析：　f(1－cos x)＝sin2x＝1－cos2x.令1－cos x＝t，t∈[0，2]，则cos x＝1－t，所以f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0，2].
答案：　2x－x2，x∈[0，2]
角度一　分段函数的求值问题
(1)(2020·山东菏泽市模拟)已知函数f(x)＝则f(f(1))＝(　　)
A．－ B．2
C．4 D．11
(2)(2020·湖北省部分重点中学联考)设函数f(x)＝若f(m)＝3，则f(－m)＝________．
解析：　(1)因为f(1)＝12＋2＝3，所以f(f(1))＝f(3)＝3＋＝4.故选C.
(2)当m≥2时，m2－1＝3，所以m＝2或m＝－2(舍)；
当0所以m＝2.所以f(－m)＝f()＝log2＝－1.
答案：　(1)C　(2)－1
分段函数的求值问题的解题思路
(1)求函数值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．
角度二　分段函数的方程、不等式问题
(2020·广东六校联盟第二次联考)已知函数f(x)＝，若f(x－4)>f(2x－3)，则实数x的取值范围是(　　)
A．(－1，＋∞) B．(－∞，－1)
C．(－1，4) D．(－∞，1)
C　[函数f(x)＝在(－∞，0]上是减函数，在(0，＋∞)上函数值保持不变，若f(x－4)>f(2x－3)，则或x－4<2x－3≤0，解得x∈(－1，4)，故选C.]
已知函数值(或函数值范围)求自变量的值(或取值范围)
(1)先根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值(或取值范围)是否符合相应段的自变量的取值范围，然后将各段的结果求并集即可；
(2)如果分段函数的图象易得，也可以画出函数图象后结合图象求解．
1．设函数f(x)＝则f(f(－1))＝(　　)
A． B．＋1
C．1 D．3
D　[由题意知f(－1)＝2，因此f(f(－1))＝f(2)＝2＋1＝3.故选D.]
2．设f(x)＝若f(a)＝f(a＋1)，则f()＝(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
C　[法一：当01.
所以f(a)＝，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2A．
由f(a)＝f(a＋1)得＝2a，
所以a＝.
此时f()＝f(4)＝2×(4－1)＝6.
当a≥1时，a＋1>1，
所以f(a)＝2(a－1)，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2A．
由f(a)＝f(a＋1)得2(a－1)＝2a，无解．
综上，f()＝6.故选C.
法二：因为当0当x≥1时，f(x)＝2(x－1)，为增函数．
又f(a)＝f(a＋1)，所以＝2(a＋1－1)，
所以a＝.
所以f()＝f(4)＝6.]
3．已知函数f(x)＝若a[f(a)－f(－a)]>0，则实数a的取值范围为(　　)
A．(1，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
D　[当a>0时，不等式a[f(a)－f(－a)]>0可化为a2＋a－3a>0，解得a>2.当a<0时，不等式a[f(a)－f(－a)]>0可化为－a2－2a<0，解得a<－2.综上所述，a的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞).]
微专题系列4 [交汇创新]
新定义下的函数问题
　　
所谓“新定义”函数，是相对于高中教材而言，指在高中教材中不曾出现或尚未介绍的一类函数．函数新定义问题的一般形式是：由命题者先给出一个新的概念、新的运算法则、或者给出一个抽象函数的性质等，然后让学生按照这种“新定义”去解决相关的问题．
(多选)(2020·广东深圳3月模拟)在平面直角坐标系中．横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，若函数f(x)的图象恰好经过n(n∈N*)个整点，则称函数f(x)为n阶整点函数．给出下列函数，其中是一阶整点函数的是(　　)
A．f(x)＝sin 2x B．g(x)＝x3
C．h(x)＝()x D．φ(x)＝ln x
AD　[对于函数f(x)＝sin 2x，它的图象(图略)只经过一个整点(0，0)，所以它是一阶整点函数；对于函数g(x)＝x3，它的图象(图略)经过整点(0，0)，(1，1)，…，所以它不是一阶整点函数；对于函数h(x)＝()x，它的图象(图略)经过整点(0，1)，(－1，3)，…，所以它不是一阶整点函数，排除C，对于φ(x)＝ln x，它的图象(图略)经过整点(1，0)，所以它是一阶整点函数．]
1．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，则函数解析式为y＝x2＋1，值域为{1，3}的同族函数有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
C　[由x2＋1＝1得x＝0，由x2＋1＝3得x＝±，所以函数的定义域可以是{0，}，{0，－}，{0，，－}，故值域为{1，3}的同族函数共有3个．]
2．若函数f(x)同时满足下列两个条件，则称该函数为“优美函数”：
(1) x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0；
(2) x1，x2∈R，且x1≠x2，都有<0.
①f(x)＝sin x；②f(x)＝－2x3；③f(x)＝1－x.
以上三个函数中，“优美函数”的个数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
B　[由条件(1)，得f(x)是奇函数，由条件(2)，得f(x)是R上的减函数．
对于①，f(x)＝sin x在R上不单调，故不是“优美函数”；对于②，f(x)＝－2x3既是奇函数，又在R上单调递减，故是“优美函数”；对于③，f(x)＝1－x不是奇函数，故不是“优美函数”．故选B.]
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