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第二节　函数的单调性与最值
课程标准 考向预测
1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调，最大值、最小值．2．理解函数单调性，最大值、最小值的作用和实际意义． 考情分析：　以基本初等函数为载体，考查函数的单调性、单调区间及函数最值的确定与应用，其中函数单调性及应用仍是高考考查的热点，题型多以选择题为主，属中档题．学科素养：　逻辑推理、数学抽象、数学运算．
学生用书P25
1．函数的单调性
(1)增函数和减函数
分类 增函数 减函数
定义 要求x1，x2 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D I，如果对于任意x1，x2∈D，且x1要求f(x1)与f(x2) 都有f(x1)f(x2)
结论 函数f(x)在区间D上是增函数 函数f(x)在区间D上是减函数
图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．
[注意]　有多个单调区间应分开写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“逗号”或“和”联结．
2．函数的最值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在M∈R
条件 ①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M②存在x0∈I，使得f(x0)＝M ①对于任意的x∈I，都有f(x)≥M②存在x0∈I，使得f(x0)＝M
结论 M是f(x)的最大值 M是f(x)的最小值
1．函数单调性的两个等价结论
设 x1，x2∈D(x1≠x2)，则
(1)>0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0) f(x)在D上单调递增．
(2)<0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0) f(x)在D上单调递减．
2．函数最值的两个结论
(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．
当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到．
(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(或最小值).
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).(　　)
(2)具有相同单调性的函数的和、差、积、商函数还具有相同的单调性．(　　)
(3)若定义在R上的函数f(x)有f(－1)(4)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞).(　　)
(5)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数．(　　)
(6)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到．(　　)
答案：　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×　(6)√
2．(必修1P39习题B组T3改编)下列函数中，在区间(0，＋∞)内单调递减的是(　　)
A．y＝－x B．y＝x2－x
C．y＝ln x－x D．y＝ex
A　[对于选项A，y＝在(0，＋∞)内是减函数，y＝x在(0，＋∞)内是增函数，则y＝－x在(0，＋∞)内是减函数；B，C选项中的函数在(0，＋∞)上均不单调；选项D中，y＝ex在(0，＋∞)上是增函数．]
3．函数y＝(2m－1)x＋b在R上是减函数，则(　　)
A．m> B．m<
C．m>－ D．m<－
B　[要使y＝(2m－1)x＋b在R上是减函数，则2m－1<0，即m<.]
4．设定义在[－1，7]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的增区间为________．
解析：　由图可知函数的单调递增区间为[－1，1]和[5，7].
答案：　[－1，1]，[5，7]
5．(必修1P31例4改编)函数y＝在[2，3]上的最大值是________．
解析：　该函数在[2，3]上单调递减，故当x＝2时，函数取得最大值，最大值为2.
答案：　2
学生用书P26
(1)试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1，1)上的单调性；
(2)求函数f(x)＝－x2＋2|x|＋1的单调区间．
解析：　(1)设－1f(x)＝a＝a，
f(x1)－f(x2)＝a－a
＝，
由于－1所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，
故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(－1，1)上递减；
当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)(2)f(x)＝
＝
画出函数图象如图所示，可知单调递增区间为(－∞，－1]和[0，1]，单调递减区间为[－1，0]和[1，＋∞).
1．定义法证明或判断函数单调性的步骤
2．确定函数的单调区间的方法
(1)定义法：先求定义域，再利用单调性定义来求．
(2)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的升、降写出它的单调区间(如本例(2)).
(3)导数法：利用导数取值的正、负确定函数的单调区间．
1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为减函数的是(　　)
A．y＝ B．y＝x2－1
C．y＝()x D．y＝log2x
C　[函数y＝在区间[－1，＋∞)上为增函数；函数y＝x2－1在区间(0，＋∞)上为增函数；函数y＝()x在区间(0，＋∞)上为减函数；函数y＝log2x在区间(0，＋∞)上为增函数．综上所述，选C.]
2．(变条件)若将本例(2)中函数变为f(x)＝|－x2＋2x＋1|，如何求解？
解析：　函数y＝|－x2＋2x＋1|的图象如图所示．由图象可知，函数y＝|－x2＋2x＋1|的单调递增区间为(1－，1)和(1＋，＋∞)；单调递减区间为(－∞，1－)和(1，1＋).
角度一　比较函数值的大小
(2020·重庆模拟)已知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，设a＝f(－)，b＝f(2)，c＝f(e)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．c>a>b B．c>b>a C．a>c>b D．b>a>c
D　[因为f(x)的图象关于x＝1对称，所以f(－)＝f()，又由已知可得f(x)在(1，＋∞)上单调递减，所以f(2)>f()>f(e)，即f(2)>f(－)>f(e).]
利用函数的单调性比较大小的方法
比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，则要利用函数性质，将自变量的值转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题通常选用数形结合的方法进行求解．
角度二　求函数的最值
(1)函数f(x)＝3x＋log2(x＋2)在区间[－1，2]上的最大值为________．
(2)(2020·深圳模拟)函数y＝的最大值为________．
解析：　(1)由于y＝3x在R上单调递增，y＝log2(x＋2)在[－1，2]上单调递增，所以f(x)在[－1，2]上单调递增，故f(x)在[－1，2]上的最大值为f(2)＝11.
(2)令 ＝t，则t≥2，
∴x2＝t2－4，∴y＝＝，
设h(t)＝t＋，则h(t)在[2，＋∞)上为增函数，
∴h(t)min＝h(2)＝，∴y≤＝(x＝0时取等号).
即y最大值为.
答案：　(1)11　(2)
　利用函数单调性求最值应先确定函数的单调性，再由单调性求最值．(可结合本节微专题理解)
[注意]　(1)求函数的最值时，应先确定函数的定义域．
(2)求分段函数的最值时，应先求出每一段上的最值，再选取其中最大的作为分段函数的最大值，最小的作为分段函数的最小值．
角度三　解函数不等式问题
定义在[－2，2]上的函数f(x)满足(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，x1≠x2，且f(a2－a)>f(2a－2)，则实数a的取值范围为(　　)
A．[－1，2) B．[0，2) C．[0，1) D．[－1，1)
C　[函数f(x)满足(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，x1≠x2，∴函数在[－2，2]上单调递增，
∴∴
∴0≤a<1，故选C.]
利用函数的单调性求解或证明不等式的方法
若f(x)在定义域上(或某一区间上)是增(减)函数，则f(x1)x2)，在解决“与抽象函数有关的不等式”问题时，可通过“脱去”函数符号“f”化为一般不等式求解，但无论如何都必须在同一单调区间内进行．需要说明的是，若不等式一边没有“f”，而是常数，则应将常数转化为函数值．如若已知0＝f(1)，f(x－1)<0，则f(x－1)角度四　求参数的取值范围或值
若f(x)＝是定义在R上的减函数，则a的取值范围为________．
解析：　由题意知，
解得
所以a∈.
答案：　
利用单调性求参数的方法
(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；
(2)需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．
1．若函数f(x)＝则函数f(x)的值域是(　　)
A．(－∞，2) B．(－∞，2]
C．[0，＋∞) D．(－∞，0)∪(0，2)
A　[当x<1时，0<2x<2；
当x≥1时，f(x)＝－log2x≤－log21＝0.
综上f(x)<2，即函数的值域为(－∞，2).]
2．若函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则a的值为(　　)
A．－2 B．2 C．－6 D．6
C　[作y＝|2x＋a|的图象(图略)，由图象易知函数f(x)＝|2x＋a|的单调增区间是[－，＋∞)，令－＝3，得a＝－6.]
3．已知函数f(x)＝－x|x|，x∈(－1，1)，则不等式f(1－m)解析：　由已知得f(x)＝
则f(x)在(－1，1)上单调递减，
∴解得0∴所求解集为(0，1).
答案：　(0，1)
微专题系列5 [思想方法]
求函数最值的常用方法
一、单调性法
函数f(x)＝－＋b(a>0)在上的值域为，则a＝________，b＝________．
解析：　∵f(x)＝－＋b(a>0)在上是增函数，
∴f(x)min＝f ＝，f(x)max＝f(2)＝2.
即解得a＝1，b＝.
答案：　1　
　利用函数的单调性求解函数的值域是最基本的方法，解题的关键是准确确定函数的单调性．
二、不等式法
主要是指运用均值不等式及其变形公式来解决函数最值问题的一种方法．常用的不等式有以下几种：
a2＋b2≥2ab(a，b为实数)；
≥(a≥0，b≥0)；
ab≤≤(a，b为实数).
已知函数f(x)＝－，则f(x)的最大值为________．
解析：　设t＝sin x＋2，则t∈[1，3]，则sin2x＝(t－2)2，则g(t)＝－＝4－≥4－2＝0，当且仅当t＝，即t＝2时取等号．
答案：　0
　在利用均值不等式法求函数最值时，必须注意“一正”“二定”“三相等”，特别是“三相等”能否取到，是我们易忽略的地方，容易产生失误．
三、换元法
换元法有两类，即代数换元和三角换元，我们可以根据具体问题及题目形式去灵活选择换元的方法，以便将复杂的函数最值问题转化为简单函数的最值问题，从而求出原函数的最值．如可用三角代换解决形如a2＋b2＝1及部分根式函数形式的最值问题．
(1)函数f(x)＝x＋2的最大值为________；
(2)求函数y＝x－的值域．
解析：　(1)设＝t(t≥0)，所以x＝1－t2.所以y＝f(x)＝x＋2＝1－t2＋2t＝－t2＋2t＋1＝－(t－1)2＋2.所以当t＝1即x＝0时，ymax＝f(x)max＝2.
(2)由4－x2≥0，得－2≤x≤2，
设x＝2cos θ(θ∈[0，π])，
则y＝2cos θ－＝2cos θ－2sin θ
＝2cos ，
因为θ＋∈，
所以cos ∈，
所以y∈[－2，2].
答案：　(1)2　(2)y∈[－2，2]
　在使用换元法时注意换元后新元的范围(即定义域)，特别是三角换元后新函数的周期性对值域的影响．
四、数形结合法
数形结合法，是指利用函数所表示的几何意义，借助几何方法及函数的图象求函数最值的一种常用方法．
对a，b∈R，记max{a，b}＝函数f(x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(x∈R)的最小值是________．
解析：　令|x＋1|≥|x－2|，
得(x＋1)2≥(x－2)2，解得x≥.
所以f(x)＝
其图象如图所示：
由图象易知，当x＝时，函数有最小值，所以f(x)min＝f ＝＝.
答案：　
　找出函数的解析式，并作出对应图象是解题的关键．
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