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第九节　函数模型及其应用
课程标准 考向预测
1.利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．2．收集一些社会生活中普遍使用的函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等)的实例，了解函数模型的广泛应用． 考情分析：　考查根据实际问题建立函数模型解决问题的能力，常与函数图象、单调性、最值及方程、不等式交汇命题，预计高考对本节考查将延续近几年的考查风格，各种题型均有可能，属中档题．学科素养：　数学建模、数学运算．
学生用书P49
1．几类常见的函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0)
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
幂函数模型 f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0)
2.三种函数模型的性质
　　函数性质　　 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同
值的比较 存在一个x0，当x>x0时，有logax“对勾”函数的性质
函数f(x)＝x＋(a>0)，
(1)该函数在(－∞，－]和[，＋∞)上单调递增；
在[－，0)和(0，]上单调递减．
(2)当x>0时，x＝时取最小值2；
当x<0时，x＝－时取最大值－2.
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)幂函数增长比一次函数增长更快．(　　)
(2)在(0，＋∞)内，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xα(α>0)的增长速度．(　　)
(3)指数型函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题．(　　)
答案：　(1)×　(2)√　(3)√
2．在某个物理实验中，测得变量x和变量y的几组数据，如下表：
x 0.50 0.99 2.01 3.98
y －0.99 0.01 0.98 2.00
则对x，y最适合的拟合函数是(　　)
A．y＝2x B．y＝x2－1
C．y＝2x－2 D．y＝log2x
D　[根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意．]
3．(多选)如图①是反映某条公交线路收支差额(即营运所得票价收入与付出成本的差)y与乘客量x之间关系的图象．由于目前该条公交线路亏损，公司有关人员提出了两种调整的建议，如图②③所示．
则下列说法中，正确的有(　　)
A．图②的建议：提高成本，并提高票价
B．图②的建议：降低成本，并保持票价不变
C．图③的建议：提高票价，并保持成本不变
D．图③的建议：提高票价，并降低成本
BC　[ 根据题意和图②知，两直线平行即票价不变，直线向上平移说明当乘客量为0时，收入是0但是支出变少了，即说明此建议是降低成本而保持票价不变，故B正确；由图③可以看出，当乘客量为0时，支出不变，但是直线的倾斜角变大，即相同的乘客量时收入变大，即票价提高了，即说明此建议是提高票价而保持成本不变，故C正确．]
4．(必修1P104例5改编)生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝x2＋2x＋20(万元).一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为________万件．
解析：　利润L(x)＝20x－C(x)＝－(x－18)2＋142，当x＝18时，L(x)有最大值．
答案：　18
5．(必修1P103例4改编)某动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog3(x＋1)，设这种动物第2年有100只，则到第8年繁殖到________只．
解析：　依题意知alog33＝100，a＝100.
当x＝8时，y＝100log39＝200.
答案：　200
学生用书P50
[题组练透]
1．设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为(　　)
D　[y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，故排除A，C.又因为小王在乙地休息10分钟，故排除B，故选D.]
2．(多选)为预防新冠病毒感染，某学校每天定时对教室进行喷洒消毒，教室内每立方米空气中的含药量y(单位：mg)随时间x(单位：h)的变化情况如图所示；在药物释放过程中，y与x成正比；药物释放完毕后，y与x的函数关系式为y＝(a为常数)，则(　　)
A．当0≤x≤0.2时，y＝5x
B．当x>0.2时，y＝
C．小时后，教室内每立方米空气中的含药量可降低到0.25 mg以下
D．小时后，教室内每立方米空气中的含药量可降低到0.25 mg以下
AD　[当0≤x≤0.2时，设y＝kx，则1＝0.2k，故k＝5，故A正确；当x>0.2时，把(0.2，1)代入y＝可得：＝1
∴a＝0.2，故B错误；
令<0.25，即<.
∴3x－0.6>2.解得x>，故C错误，D正确．故选AD.]
判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的方法
(1)构建函数模型法：当根据题意可以构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．
(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．
(2020·全国卷Ⅲ)Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：I(t)＝，其中K为最大确诊病例数．当I(t*)＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为(ln 19≈3)(　　)
A．60 B．63
C．66 D．69
C　[由0.95K＝得e－0.23(t*－53)＝.
两边取自然对数得－0.23(t*－53)＝－ln 19，结合ln 19≈3解得t*≈66.]
求解已知函数模型解决实际问题的关注点
(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．
(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．
(3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验．
某农场种植一种农作物，为了解该农作物的产量情况，现将近四年的年产量f(x)(单位：万斤)与年份x(记2017年为第1年)之间的关系统计如下：
x 1 2 3 4
f(x) 4.00 5.62 7.00 8.86
则f(x)近似符合以下三种函数模型之一：①f(x)＝ax＋b；②f(x)＝2x＋a；③f(x)＝x2＋b.则你认为最适合的函数模型的序号是________．
解析：　若模型为②，则f(1)＝2＋a＝4，解得a＝2，于是f(x)＝2x＋2，此时f(2)＝6，f(3)＝10，f(4)＝18，与表格中的数据相差太大，不符合；若模型为③，则f(1)＝1＋b＝4，解得b＝3，于是f(x)＝x2＋3，f(2)＝7，f(3)＝12，f(4)＝19，此时，与表格中的数据相差太大，不符合；
若模型为①，则根据表中数据得
解得a＝，b＝，经检验模型①是最适合的函数模型．
答案：　①
角度一　构建二次函数、分段函数、“对勾”函数模型
响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为2万元，每年生产x万件，需另投入流动成本为W(x)万元，在年产量不足8万件时，W(x)＝x2＋2x.在年产量不小于8万件时，W(x)＝7x＋－37.每件产品售价6元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完．
(1)写出年利润P(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)
(2)年产量为多少万件时，小李在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
解析：　(1)因为每件商品售价为6元，
则x万件商品销售收入为6x万元，依题意得
当0当x≥8时，P(x)＝6x－－2＝35－.
故P(x)＝
(2)当0此时，当x＝6时，P(x)取最大值，最大值为10万元．
当x≥8时，P(x)＝35－(x＋)≤35－2 ＝15
(当且仅当x＝，即x＝10时取等号).
此时，当x＝10时，P(x)取得最大值，最大值为15万元．
因为10<15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元．
建模解决实际问题的三个步骤
(1)建模：抽象出实际问题的数学模型；
(2)推理、演算：对数学模型进行逻辑推理或数学演算，得到问题在数学意义上的解；
(3)评价、解释：对求得的数学结果进行深入的讨论，作出评价、解释，返回到原来的实际问题中去，得到实际问题的解．即：
[注意]　(1)构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域．
(2)利用模型f(x)＝ax＋求解最值时，注意取得最值时等号成立的条件．
角度二　构建指数、对数函数模型
一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的.
(1)求每年砍伐面积的百分比；
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
解析：　(1)设每年砍伐面积的百分比为x(0则a(1－x)10＝a，
即(1－x)10＝，
解得x＝1－().
(2)设经过m年剩余面积为原来的，
则a(1－x)m＝a，
即()＝()，
即＝，解得m＝5.
故到今年为止，该森林已砍伐了5年．
指数函数与对数函数模型的应用技巧
(1)要先学会合理选择模型，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．
(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象及性质求解实际问题．
1．某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，至少应过滤________次才能达到市场要求．(已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
解析：　设至少过滤n次才能达到市场需求．
则2%(1－)n≤0.1%，即()n≤，
所以n lg ≤－1－lg 2，解得n≥7.39.
所以n＝8.
答案：　8
2．一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x(x∈N*)件．当x≤20时，年销售总收入为(33x－x2)万元；当x>20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元，则y与x的函数关系式为____________，该工厂的年产量为________件时，所得年利润最大(年利润＝年销售总收入－年总投资).
解析：　当020时，y＝260－100－x＝160－x.
故y＝
当020时，160－x<140，即当x＞20时，年利润小于140，故x＝16时取得最大年利润．
答案：　y＝(x∈N*)　16
微专题系列12 [五育并举]
渗透劳动教育　关注社会实践
(2020·新高考卷)某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG ，垂足为C，tan ∠ODC＝，BH∥DG ，EF＝12 cm，DE＝2 cm，A到直线DE和EF的距离均为7 cm，圆孔半径为1 cm，则图中阴影部分的面积为________ cm2.
解析：　
连接OA，过点A作EF的垂线，分别交BH，DG于点M，N，过点O垂直于CG的线段与CG交于点P，则由EF＝12，DE＝2，A到直线DE和EF的距离为7可知AN＝NG＝5，则∠MAH＝.又OA⊥AG，所以△AOM为等腰直角三角形，∠AOM＝，∠AOB＝.令AM＝OM＝MH＝PN＝x，则OP＝MN＝5－x，DP＝7－x，OA＝AH＝x，由tan ∠ODC＝＝＝，解得x＝2，则OA＝2，
所以S△OAH＝·OA·AH＝4，S扇形OAB＝××OA2＝×8＝3π，圆孔半径为1，则S半圆O＝π×12＝，所以S阴影＝S扇形OAB＋S△OAH－S半圆O＝3π＋4－＝＋4.
答案：　＋4
　本题将社会生产劳动实践情境与数学知识结合，发挥了高考试题对劳动观念的培养的引导作用，在考查几何知识的同时，考查学生的数学应用意识，渗透劳动教育．
　现有一个圆锥形的钢锭，底面半径为3，高为4.某工厂拟将此钢锭切割加工成一个圆柱形构件，并要求将钢锭的底面加工成构件的一个底面，则可加工出该圆柱形构件的最大体积为________．
解析：　设内接圆柱的底面半径为x，高为h，
则＝，即h＝4－x，
∴V＝πx2＝4π，
∴V′＝4π(2x－x2)，
令V′＝0，解得x＝2或x＝0(舍去)，
当00；当x>2时，V′<0.
∴V＝4π在(0，2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减，故当x＝2时，Vmax＝.
答案：　
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