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第六节　对数函数
课程标准 考向预测
1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在化简运算中的作用．2．理解对数函数的概念及单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，10，的对数函数的图象．3．体会对数函数是一类重要的函数模型．4．了解指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数． 考情分析：　对数函数中利用性质比较对数值大小，求对数型函数的定义域、值域、最值等仍是高考考查的热点，题型多以选择题、填空题为主，属中档题．学科素养：　逻辑推理、直观想象．
学生用书P39
1．对数
概念 如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底数N的对数， 记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN叫做对数式
性质 对数式与指数式的互化：ax＝N x＝logaN(a>0，且a≠1)
loga1＝0，logaa＝1，alogaN＝N(a>0，且a≠1)
运算法则 loga (MN)＝logaM＋logaN a>0，且a≠1，M >0，N>0
loga＝logaM－logaN
logaMn＝nlogaM(n∈R)
换底公式 logab＝(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0)
[注意]　在运算性质logaMn＝nlogaM中，要特别注意条件，在无M>0的条件下应为logaMn＝nloga|M|(n∈N*，且n为偶数).
2．对数函数的图象与性质
a>1 0图象
性质 定义域：(0，＋∞)
值域：R
过定点(1，0)
当x>1时，y>0；当01时，y<0；当00
在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
[注意]　y＝logax(a>0且a≠1)的图象只在第一、四象限．在直线x＝0的右侧．
3．反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若MN>0，则loga(MN)＝logaM＋logaN.(　　)
(2)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．(　　)
(3)函数y＝ln 与y＝ln (1＋x)－ln (1－x)的定义域相同．(　　)
(4)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象过定点(1，0)且过点(a，1)，(，－1)，函数图象只在第一、四象限．(　　)
答案：　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2．已知a>0，a≠1，函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象可能是(　　)
B　[函数y＝loga(－x)的图象与y＝logax的图象关于y轴对称，函数y＝logax的图象与y＝ax的图象关于y＝x对称，分析图象可知符合条件的只有B项，故选B.]
3．(必修1P73练习T3改编)已知a＝2－，b＝log2，c＝log，则(　　)
A．a>b>c B．a>c>b
C．c>b>a D．c>a>b
D　[因为01.所以c>a>b.]
4．(必修1P74习题T3改编)计算：lg －lg 8＋lg 7＝________．
解析：　原式＝lg 4＋lg 2－lg 7－lg 8＋lg 7＋lg 5＝2lg 2＋(lg 2＋lg 5)－2lg 2＝.
答案：　
5．函数y＝logax(a>0，a≠1)在[2，4]上的最大值与最小值的差是1，则a＝________．
解析：　分两种情况讨论：①当a>1时，有loga4－loga2＝1，解得a＝2；②当0答案：　2或
学生用书P40
[题组练透]
1．(2020·全国卷Ⅰ)设alog34＝2，则4－a＝(　　)
A． B． C． D．
B　[因为alog34＝log34a＝2，所以4a＝32＝9，所以4－a＝＝，故选B.]
2．(多选)若10a＝4，10b＝25，则(　　)
A．a＋b＝2 B．b－a＝1
C．ab>8lg22 D．b>2a
ACD　[因为10a＝4，10b＝25，所以a＝lg 4，b＝lg 25，a＋b＝lg 4＋lg 25＝lg 100＝2，b－a＝lg 25－lg ab＝2lg 2×2lg 5>8lg22，＝＝log25>2，即b>2A．故选ACD.]
3．计算log23·log38＋()log34＝________．
解析：　原式＝·＋3log34＝3＋3log32＝3＋2＝5.
答案：　5
4．设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝________．
解析：　因为2a＝5b＝m>0，所以a＝log2m，b＝log5m，所以＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2.
所以m2＝10，所以m＝.
答案：　
对数运算的一般思路
[注意]　对数的运算性质以及有关公式都是在式子中所有的对数符号有意义的前提下才成立的，不能出现log212＝log2[(－3)×(－4)]＝log2(－3)＋log2(－4)的错误．
(1)若函数y＝a|x|(a>0，且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则函数y＝loga|x|的图象大致是(　　)
(2)当x∈(0，]时给出下列两个条件，选择________，则a的取值范围________
①4x②4x＝logax在(0，]有解．
解析：　(1)由于y＝a|x|的值域为{y|y≥1}，所以a>1，
则y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，
又函数y＝loga|x|的图象关于y轴对称．
因此y＝loga|x|的图象应大致为选项B.
(2)选①构造函数f(x)＝4x和g(x)＝logax，当a>1时不满足条件，当0，所以a的取值范围为.
选②若方程4x＝logax在(0，]上有解，则函数y＝4x和函数y＝logax在(0，]上有交点，由图象知解得0答案：　(1)B　(2)①　
对数型函数图象的考查类型及解题思路
(1)对有关对数型函数图象的识别问题，主要依据底数确定图象的变化趋势、图象的位置、图象所过的定点及图象与坐标轴的交点等求解．
(2)对有关对数型函数的作图问题，一般是从基本初等函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到所要求的函数图象．特别地，当底数与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
(3)与对数型函数有关的方程或不等式问题常常结合对数函数的图象来解决，即数形结合法．
1．函数y＝2log4(1－x)的图象大致是(　　)
C　[函数y＝2log4(1－x)的定义域为(－∞，1)，排除A，B；函数y＝2log4(1－x)在定义域上单调递减，排除D.故选C.]
2．已知点(m，n)在函数y＝log2x的图象上，则下列各点也在该函数图象上的是(　　)
A．(m2，n2) B．(2m，2n)
C．(m＋2，n＋1) D．(，n－1)
D　[因为点(m，n)在函数y＝log2x的图象上，所以y＝log2m＝n.若x＝，则log2x＝log2＝log2m－1＝n－1，所以点也在该函数图象上．]
角度一　比较对数值的大小
(2020·全国卷Ⅲ)设a＝log32，b＝log53，c＝，则(　　)
A．a＜c＜b B．a＜b＜c
C．b＜c＜a D．c＜a＜b
A　[由a＝log32＝log3log5＝log55＝＝c，所以a比较对数值的大小的方法
角度二　解简单的对数不等式或方程
已知函数f(x)＝logax(a>0且a≠1)满足f()0的解集为(　　)
A．(0，1) B．(－∞，1)
C．(1，＋∞) D．(0，＋∞)
C　[法一：因为函数f(x)＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上为单调函数，而<且f()0 2x－1>1，所以x>1.
法二：由f()所以loga2－1所以a>1.由f(2x－1)>0得loga(2x－1)>0，
所以2x－1>1，即x>1.]
解对数不等式的方法
(1)形如loga x> loga b的不等式，借助y＝loga x的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0(2)形如loga x>b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式．
角度三　探究对数型函数的性质
已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3).
(1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)的最小值为0，求实数a的值．
解析：　(1)∵f(1)＝1，∴log4(a＋5)＝1，
因此a＋5＝4，a＝－1，
所以f(x)＝log4(－x2＋2x＋3).
由－x2＋2x＋3>0，得－1即函数f(x)的定义域为(－1，3).
令g(x)＝－x2＋2x＋3，
则g(x)在(－1，1]上递增，在[1，3)上递减．
又y＝log4x在(0，＋∞)上递增，
所以f(x)的单调递增区间是(－1，1]，递减区间是[1，3).
(2)因f(x)的最小值为0，
则h(x)＝ax2＋2x＋3应有最小值1，
因此应有解得a＝.
求解与对数函数有关的复合函数单调性的步骤
一求 求出函数的定义域，所有问题都必须在定义域内讨论
二判 判断对数函数的底数与1的关系，分a>1与0判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”原则判断函数的单调性
1．(多选)(2020·镇江期中)下列条件能使loga3A．b>a>0 B．1>a>b>0
C．b>>1 D．1>>>0
BC　[要使loga3∴<.∴lg a>lg b，或lg a<0，lg b>0.
求得a>b>0，或b>1>a>0，
故选BC. ]
2．已知函数f(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上单调递增，则f(－2)________f(a＋1).(填“<”“＝”或“>”)
解析：　因为f(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上单调递增，所以a>1，所以a＋1>2.因为f(x)是偶函数，所以f(－2)＝f(2)答案：　<
3．(2020·全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝ln |2x＋1|－ln |2x－1|，则f(x)(　　)
A．是偶函数，且在单调递增
B．是奇函数，且在单调递减
C．是偶函数，且在单调递增
D．是奇函数，且在单调递减
D　[f(x)的定义域为，且f(－x)＝ln |－2x＋1|－ln |－2x－1|＝ln |2x－1|－ln |2x＋1|＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．
当x>0时，f(x)＝
当0时，f(x)＝ln ＝ln，易知f(x)单调递减．因为f(x)为奇函数，且在上连续，所以f(x)在上单调递增，在和上单调递减，故选D.]
微专题系列9 [思想方法]
巧借运算性质　拟合函数破压轴
(2020·辽宁大连期中)定义在(0，＋∞)上的增函数f(x)，满足对于任意正实数x，y恒有f(xy)＝f(x)＋f(y)，且f(3)＝1，则不等式f(x)＋f(x－8)<2的解集是(　　)
A．(－1，9) B．(0，8) C．(8，9) D．(0，9)
C　[法一：(一般解法)因为f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，
所以2＝2f(3)＝f(3)＋f(3)＝f(3×3)＝f(9)，
则不等式f(x)＋f(x－8)<2等价于f[x(x－8)]因为函数f(x)在定义域(0，＋∞)上为增函数，
所以不等式等价于即
解得8所以不等式的解集为(8，9)，故选C.
法二：(秒杀解法)根据在(0，＋∞)上的增函数f(x)，满足对于任意正实数x，y恒有f(xy)＝f(x)＋f(y)，且f(3)＝1，可以设f(x)＝log3x(x>0)，则不等式f(x)＋f(x－8)<2可化为log3x＋log3(x－8)<2，
得即解得8　本题是一个抽象函数的试题，如果直接研究抽象函数的单调性有困难，可尝试根据抽象函数的结构和形式，从中找到一个能“拟合”这个规律的具体函数，结合具体函数的性质解决问题．如本题抽象函数有性质“f(xy)＝f(x)＋f(y)”，可以借助对数函数模型解题．
　(2020·山东临沂期中)若f(x)满足对任意的实数a，b都有f(a＋b)＝f(a)·f(b)且f(1)＝2，则＋＋＋…＋＋＋＝(　　)
A．1 009 B．2 018
C．2 019 D．2 020
D　[法一：(一般解法)因为f(x)满足对任意的实数a，b，都有f(a＋b)＝f(a)·f(b)，所以令b＝1得，f(a＋1)＝f(a)·f(1)，所以＝f(1)＝2，
所以＝＝＝…＝＝＝＝2，(共有1 010项)
所以＋＋＋…＋＋＋＝1 010×2＝2 020.
故选D.
法二：(秒杀解法)根据题意可设f(x)＝2x，则
＋＋＋…＋＋＋＝＋＋…＋＝2×1 010＝2 020.故选D.]
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