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第三节　函数的奇偶性及周期性
课程标准 考向预测
1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．2．会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性．3．结合三角函数，了解周期性的含义和几何意义、会应用简单函数的周期性． 考情分析：　以理解函数的奇偶性、会用函数的奇偶性为主，其中与函数的单调性、周期性交汇的问题仍是高考考查的热点．题型以选择、填空题为主，难度中等偏上．学科素养：　数学抽象、逻辑推理．
学生用书P28
1．函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称
奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 关于原点对称
[注意]　奇、偶函数定义域的特点是关于原点对称，函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件．
2．函数的周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任意值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
1．函数奇偶性常用结论
(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).
(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
2．函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0).
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0).
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0).
3．函数对称性常用结论
(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称．
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数．(　　)
(2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(　　)
(3)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．(　　)
(4)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．(　　)
答案：　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2．(必修1P39习题B组T1改编)下列函数为偶函数的是(　　)
A．f(x)＝x－1 B．f(x)＝x2＋x
C．f(x)＝2x－2－x D．f(x)＝2x＋2－x
D　[D中，f(－x)＝2－x＋2x＝f(x)，所以f(x)为偶函数，其余A，B，C选项均不满足f(－x)＝f(x).]
3．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是(　　)
A．－　 B． C．　 D．－
B　[∵f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，
∴a－1＋2a＝0，a＝.
又f(－x)＝f(x)，∴b＝0，
∴a＋b＝.]
4．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，则x<0时，f(x)＝________．
解析：　当x<0时，则－x>0，所以f(－x)＝(－x)(1－x).又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)＝(－x)(1－x)，所以f(x)＝x(1－x).
答案：　x(1－x)
5．(必修1P45复习题B组T4改编)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1，1)时，f(x)＝则f()＝________．
解析：　f()＝f(－)＝－4×(－)2＋2＝1.
答案：　1
学生用书P29
角度一　函数奇偶性的判断
判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝x3－；
(2)f(x)＝＋；
(3)f(x)＝
解析：　(1)原函数的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，并且对于定义域内的任意一个x都有
f(－x)＝(－x)3－＝－＝－f(x)，
所以函数f(x)为奇函数．
(2)f(x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称．
又f(－1)＝f(1)＝0，f(－1)＝－f(1)＝0，
所以f(x)既是奇函数又是偶函数．
(3)f(x)的定义域为R，关于原点对称，
当x>0时，
f(－x)＝－(－x)2－2＝－(x2＋2)＝－f(x)；
当x<0时，
f(－x)＝(－x)2＋2＝－(－x2－2)＝－f(x)；
当x＝0时，f(0)＝0，也满足f(－x)＝－f(x).
故该函数为奇函数．
判断函数奇偶性的两种方法
(1)定义法
(2)图象法
[注意]　对函数奇偶性的判断，不能用特殊值法，如存在x0使f(－x0)＝－f(x0)，不能判断函数f(x)是奇函数．
角度二　函数奇偶性的应用
(1)(2019·全国卷Ⅱ)设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x<0时，f(x)＝(　　)
A．e－x－1 B．e－x＋1
C．－e－x－1 D．－e－x＋1
(2)已知函数f(x)＝3x＋4sin x－1，若f(－a)＝5，则f(a)＝________．
解析：　(1)依题意得，当x<0时，－x>0，所以f(－x)＝e－x－1.又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)＝e－x－1，故f(x)＝－e－x＋1.
(2)因为函数f(x)＝3x＋4sin x－1，f(－a)＝5，所以－3a＋4sin (－a)－1＝5，则3a＋4sin a＝－6，所以f(a)＝3a＋4sin a－1＝－6－1＝－7.
答案：　(1)D　(2)－7
已知函数奇偶性可以解决的3个问题
(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．
(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出解析式．
(3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性得参数的方程或方程(组)，进而得出参数的值．
1．函数f(x)＝－2x的图象关于(　　)
A．y轴对称 B．直线y＝－x对称
C．坐标原点对称 D．直线y＝x对称
C　[因为f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝－(－2x)＝－＋2x＝－＝－f(x)，所以f(x)＝－2x是奇函数，所以其图象关于坐标原点对称．故选C.]
2．设函数f(x)＝，则下列结论错误的是(　　)
A．|f(x)|是偶函数 B．－f(x)是奇函数
C．f(x)|f(x)|是奇函数 D．f(|x|)f(x)是偶函数
D　[因为f(x)＝，则f(－x)＝＝－f(x).
所以f(x)是奇函数．因为f(|－x|)＝f(|x|)，所以f(|x|)是偶函数，所以f(|x|)f(x)是奇函数．]
3．设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝3x－7x＋2b(b为常数)，则f(－2)＝(　　)
A．6 B．－6 C．4 D．－4
A　[∵f(x)为定义在R上的奇函数，且当x≥0时，
f(x)＝3x－7x＋2b，
∴f(0)＝1＋2b＝0，
∴b＝－.
∴f(x)＝3x－7x－1，
∴f(－2)＝－f(2)＝－(32－7×2－1)＝6.故选A．]
(1)已知f(x)是定义在R上的函数，并且f(x＋2)＝，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f(2 022)＝________．
(2)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点个数为________．
解析：　(1)由f(x＋2)＝得f(x＋4)＝＝f(x)，所以T＝4，
f(2 022)＝f(4×505＋2)＝f(2)＝2.
(2)因为当0≤x＜2时，f(x)＝x3－x.又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f(0)＝0，则f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝0.又f(1)＝0，所以f(3)＝f(5)＝f(1)＝0，故函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点有7个．
答案：　(1)2　(2)7
函数周期性的判定与应用
(1)判断函数的周期性只需f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．
(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．
1．若f(x)是定义在R上的周期为4的函数，且在[0，2]上的解析式为f(x)＝则f ＝________．
解析：　因为f(x)的周期为4，则f ＝f ＝f ＝cos π＝cos ＝，所以f ＝f ＝×＝.
答案：　
2．设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件：①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)＝f(x＋2)；③当0≤x<1时，f(x)＝2x－1，则f()＋f(1)＋f()＋f(2)＋f()＝________．
解析：　依题意知，函数f(x)为奇函数且周期为2，
则f(1)＋f(－1)＝0，f(－1)＝f(1)，即f(1)＝0.
∴f()＋f(1)＋f()＋f(2)＋f()
＝f()＋0＋f(－)＋f(0)＋f()
＝f()－f()＋f(0)＋f()
＝f()＋f(0)＝2－1＋20－1＝－1.
答案：　－1
角度一　函数单调性与奇偶性
已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，在(0，＋∞)上是增函数，且f(－4)＝0，则使得xf(x)>0成立的x的取值范围是(　　)
A．(－4，4) B．(－4，0)∪(0，4)
C．(0，4)∪(4，＋∞) D．(－∞，－4)∪(4，＋∞)
D　[∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，在(0，＋∞)上是增函数，∴函数f(x)在(－∞，0)上是增函数，又f(－4)＝0，∴f(4)＝0.由xf(x)>0，得或∴x>4或x<－4，∴x的取值范围是(－∞，－4)∪(4，＋∞).故选D.]
利用函数单调性、奇偶性解不等式的方法
(1)解f(m)可以利用函数单调性，去掉函数符号“f”，将“抽象”的不等式问题转化为“具体”的不等式问题求解；若不等式一边没有函数符号“f”，而是常数(如f(m)(2)f(x)为奇函数，形如f(m)＋f(n)<0的不等式的解法
①将f(n)移到不等式右边，得到f(m)<－f(n)；
②根据f(x)为奇函数，得到f(m)③利用函数f(x)的单调性去掉函数符号“f”，列出不等式求解．
角度二　函数的奇偶性与周期性
(2020·河北唐山模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)，对任意实数x，恒有f(x＋3)＝－f(x)，且当x∈(0，]时，f(x)＝x2－6x＋8，则f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 020)＝(　　)
A．6　　 B．3 C．0　 D．－3
B　[根据题意，对任意实数x，恒有f(x＋3)＝－f(x)，则有f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，即函数f(x)是周期为6的周期函数，由f(x)为定义在R上的奇函数，得f(0)＝0，则f(3)＝－f(0)＝0；又由当x∈(0，]时，f(x)＝x2－6x＋8，得f(1)＝3，f(2)＝f(－1＋3)＝－f(－1)＝f(1)＝3，f(4)＝f(1＋3)＝－f(1)＝－3，f(5)＝f(2＋3)＝－f(2)＝－3，
则有f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝0，
则f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 020)＝[f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(5)]×336＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝3.故选B.]
周期性与奇偶性结合
此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解(如本例).
角度三　单调性、奇偶性与周期性的综合
(2020·福建省质量检测)已知f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于点(1，0)对称．以下关于f(x)的结论：
①f(x)是周期函数；
②f(x)在(0，2)上单调递减；
③f(x)满足f(x)＝f(4－x)；
④f(x)＝cos 是满足条件的一个函数．
其中正确结论是________．(写出所有正确结论的序号)
解析：　因为f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)，因为f(x)的图象关于点(1，0)对称，故有f(－x)＝－f(2＋x)，故f(x＋2)＝－f(x)，故有f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即f(x)是以4为周期的周期函数，故①正确．由f(－x)＝f(x)＝f(x＋4).把x替换与－x可得f(x)＝f(4－x)，故③正确．f(x)＝cos 是定义在R上的偶函数，(1，0)是它的图象的一个对称中心，可得④正确．取f(x)＝－cos 时满足题设条件，但它在(0，2)上单调递增，故②错误．
答案：　①③④
　函数的奇偶性、对称性、周期性，知二断一．特别注意“奇函数若在x＝0处有定义，则一定有f(0)＝0；偶函数一定有f(|x|)＝f(x)”在解题中的应用．)
1．(2020·全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝x3－，则f(x)(　　)
A．是奇函数，且在(0，＋∞)单调递增
B．是奇函数，且在(0，＋∞)单调递减
C．是偶函数，且在(0，＋∞)单调递增
D．是偶函数，且在(0，＋∞)单调递减
A　[由题意，知函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).因为f(－x)＝(－x)3－＝－x3＋＝－＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数．又易知y＝x3和y＝－在(0，＋∞)都单调递增，所以函数f(x)＝x3－在(0，＋∞)单调递增，故选A．]
2．(2020·湖北八校第一次联考)定义在R上的奇函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，f()＝0，则满足f(logx)>0的x的取值范围是(　　)
A．(0，＋∞) B．(0，)∪(1，2)
C．(0，)∪(，2) D．(0，)
B　[由已知得f(－)＝－f()＝0，且f(x)在(－∞，0)和(0，＋∞)上均单调递增，由f(logx)>0，得logx>或－0的x的取值范围是(0，)∪(1，2).故选B.]
3．定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[0，2)上单调递减，则下列结论正确的是(　　)
A．0C．f(1)<0C　[由函数f(x)是定义在R上的奇函数，得f(0)＝0.
由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
故函数f(x)是以4为周期的周期函数，
所以f(3)＝f(－1).
又f(x)在[0，2)上单调递减，
所以函数f(x)在(－2，2)上单调递减，
所以f(－1)>f(0)>f(1).
即f(1)<0微专题系列6 [学科素养]
数学抽象——函数性质中“三个二级”结论的应用
　　
函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．
结论1　抽象函数的对称性
已知函数f(x)是定义在R上的函数．
(1)若f(a＋x)＝f(b－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称．特别地，若f(a＋x)＝f(a－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
(2)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(a－x)＝0，即f(x)＝－f(2a－x)，则f(x)的图象关于点(a，0)对称．
定义在R上的函数f(x)满足：①对任意x∈R有f(x＋4)＝f(x)；②f(x)在[0，2]上是增函数；③f(1＋x)＝f(3－x)，则下列结论正确的是(　　)
A．f(7)C．f(4.5)D　[由①知函数f(x)的周期为4，由f(1＋x)＝f(3－x)，知函数f(x)图象关于直线x＝2对称，由②知函数f(x)在[0，2]上单调递增，则在[2，4]上单调递减，且在[0，4]上越靠近x＝2，对应的函数值越大，又f(7)＝f(3)，f(6.5)＝f(2.5)，f(4.5)＝f(0.5)，由以上分析可得f(0.5)结论2　奇函数的最值性质
已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数，则对任意的x∈D，都有f(x)＋f(－x)＝0.特别地，若奇函数f(x)在D上有最值，则f(x)max＋f(x)min＝0，且若0∈D，则f(0)＝0.
设函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________．
解析：　显然函数f(x)的定义域为R，
f(x)＝＝1＋.
设g(x)＝，则g(－x)＝－g(x)，
∴g(x)为奇函数．
由奇函数图象的对称性知g(x)max＋g(x)min＝0，
∴M＋m＝[g(x)＋1]max＋[g(x)＋1]min
＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2.
答案：　2
结论3　抽象函数的周期性
(1)如果f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a．
(2)如果f(x＋a)＝(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a．
(3)如果f(x＋a)＋f(x)＝c(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a．
偶函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，当－1≤x≤0时，f(x)＝－x2＋1，则f(2 020)＝(　　)
A．2 B．0 C．－1 D．1
D　[∵f(x)为偶函数，∴f(x)的图象关于直线x＝0对称，f(x)＝f(－x).又f(x)的图象关于点(1，0)对称，∴f(x)＝－f(2－x)，即f(x)＝－f(x－2).∴f(x)的周期为4.∴f(2 020)＝f(2 020－4×505)＝f(0)，又当－1≤x≤0时，f(x)＝－x2＋1，∴f(2 020)＝f(0)＝1.故选D.]
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