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第四节　二次函数与幂函数
课程标准 考向预测
1.通过实例，了解幂函数的概念；结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的图象，了解它们的变化情况．2．理解二次函数的图象和性质．3．能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题． 考情分析：　幂函数一般不单独命题，常与指数、对数函数交汇命题；二次函数的图象与应用仍是高考考查的热点，题型多以选择题、填空题为主，属中档题．学科素养：　直观想象、数学运算．
学生用书P32
1．幂函数
(1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数叫幂函数，其中底数x是自变量，α是常数．常见的五类幂函数为y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1.
(2)性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有意义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减．
[注意]　一个函数是幂函数，它的解析式必须满足：
(1)指数为常数；(2)底数为自变量x；(3)xα的系数为1.
2．二次函数
(1)解析式
(2)图象与性质
函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
定义域 R R
值域
单调性 在上递减，在上递增 在上递增，在上递减
奇偶性 当b＝0时为偶函数
对称轴 函数的图象关于x＝－成轴对称
1．巧识幂函数的图象和性质
2．一元二次不等式恒成立的条件
(1)“ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a>0，且Δ<0”．
(2)“ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a<0，且Δ<0”．
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y＝是幂函数．(　　)
(2)当n>0时，幂函数y＝xn在(0，＋∞)上是增函数．(　　)
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)不可能是偶函数．(　　)
(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈[a，b])的最值一定是.(　　)
答案：　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2．(必修1P79习题T1改编)已知幂函数f(x)＝k·xa的图象过点，则k＋a等于(　　)
A．　 B．1
C． D．2
C　[由幂函数的定义，知
所以k＝1，a＝，所以k＋a＝.]
3．已知函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
C　[由题意知即得a>.]
4．函数y＝2x2－6x＋3，x∈[－1，1]，则y的最小值是________．
解析：　函数y＝2x2－6x＋3的图象的对称轴为x＝－＝＞1，∴函数y＝2x2－6x＋3在[－1，1]上单调递减，∴ymin＝2－6＋3＝－1.
答案：　－1
5．(必修1P44复习参考题A组T9)已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，若y＝f(x)在区间[－4，6]上是单调函数，则实数a的取值范围为________________．
解析：　由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f(x)在[－4，6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4.
答案：　(－∞，－6]∪[4，＋∞)
学生用书P33
[题组练透]
1．幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，则幂函数y＝f(x)的图象是(　　)
C　[设幂函数的解析式为y＝xα，
因为幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，
所以2＝4α，解得α＝，
所以y＝，其定义域为[0，＋∞)，且是增函数，
当02．已知点在幂函数f(x)＝(a－1)xb的图象上，则函数f(x)是(　　)
A．奇函数 B．偶函数
C．定义域内的减函数 D．定义域内的增函数
A　[由题意得a－1＝1，且＝ab，因此a＝2，b＝－1.故f(x)＝x－1是奇函数，但在定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)不是单调函数．]
3．若(a＋1)<(3－2a)，则实数a的取值范围是________．
解析：　易知函数y＝x的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数，所以解得－1≤a<.
答案：　
幂函数的指数与图象特征的关系
(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．
(2)若幂函数y＝xα(α∈R)是偶函数，则α必为偶数．当α是分数时，一般将其先化为根式再判断．
(3)若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α>0，若在(0，＋∞)上单调递减，则α<0.
[注意]　在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．
(一题多解)已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．
解析：　法一：(利用一般式)
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).
由题意得解得
所以所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
法二：(利用顶点式)
设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0).因为f(2)＝f(－1)，
所以抛物线的对称轴为x＝＝.
所以m＝.又根据题意函数有最大值8，所以n＝8，
所以f(x)＝a＋8.
因为f(2)＝－1，所以a＋8＝－1，
解得a＝－4，
所以f(x)＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7.
法三：(利用零点式)
由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，
故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，
即f(x)＝ax2－ax－2a－1.
又函数有最大值8，即＝8.
解得a＝－4或a＝0(舍去)，
所以所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
　求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式，一般选择规律如下：
1．已知二次函数的图象过点(0，1)，对称轴为x＝2，最小值为－1，则它的解析式为______________________．
解析：　依题意可设f(x)＝a(x－2)2－1，
又其图象过点(0，1)，所以4a－1＝1，
所以a＝，所以f(x)＝(x－2)2－1＝x2－2x＋1.
答案：　f(x)＝x2－2x＋1
2．已知二次函数y＝f(x)的顶点坐标为，且方程f(x)＝0的两个实根之差等于7，则此二次函数的解析式为________________________．
解析：　设f(x)＝a＋49(a≠0)，方程a＋49＝0的两个根分别为x1，x2，则|x1－x2|＝2＝7，所以a＝－4，
所以f(x)＝－4x2－12x＋40.
答案：　f(x)＝－4x2－12x＋40
角度一　二次函数的图象
(多选)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，已知图象过点A(－3，0)，对称轴为直线x＝－1，下面四个选项正确的是(　　)
A．b2>4ac B．2a－b＝1
C．a－b＋c＝0 D．5aAD　[由题意可知，图象与x轴交于两点，∴b2>4ac，A正确；∵对称轴为直线x＝－1，∴－＝－1，即2a－b＝0，B错误；由图可知，f(－1)>0，∴a－b＋c>0，C错误；函数图象开口向下，a<0，b＝2a，∴5a<2a＝b，D正确，故选AD.]
辨识二次函数图象的三个要点
(1)看二次项系数的符号，它确定二次函数图象的开口方向．
(2)看对称轴和最值，它确定二次函数图象的具体位置．
(3)看函数图象上的一些特殊点，如函数图象与y轴的交点、与x轴的交点，函数图象的最高点或最低点等．
从这三个方面入手，能准确地判断出二次函数的图象．反之，也可以从图象中得到如上信息．
角度二　二次函数的单调性及最值
(1)设二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c在区间[0，1]上单调递减，且f(m)≤f(0)，求实数m的取值范围；
(2)已知函数f(x)＝x2＋2ax＋1，求f(x)在区间[－1，2]上的最大值．
解析：　(1)依题意a≠0，二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c图象的对称轴是直线x＝1，因为函数f(x)在区间[0，1]上单调递减，所以a>0，即函数图象的开口向上，所以f(0)＝f(2)，则当f(m)≤f(0)时，有0≤m≤2.
∴实数m的取值范围为[0，2].
(2)f(x)＝(x＋a)2＋1－a2，所以f(x)的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x＝－A．
①当－a<即a>－时，f(x)max＝f(2)＝4a＋5；
②当－a≥即a≤－时，f(x)max＝f(－1)＝2－2A．
综上，f(x)max＝
求解二次函数的单调性及最值的策略
(1)对于二次函数的单调性，关键是开口方向与对称轴的位置，若开口方向或对称轴的位置不确定，则需要分类讨论求解．
(2)解决二次函数最值的方法，抓住“三点一轴”数形结合，“三点”是指区间两个端点和中点，“一轴”指的是对称轴，可用下面的思维流程图表示：
角度三　二次函数的恒成立问题
已知f(x)＝x2＋2(a－2)x＋4，如果对x∈[－3，1]，f(x)>0恒成立，求实数a的取值范围．
解析：　因为f(x)＝x2＋2(a－2)x＋4，对称轴为x＝－(a－2)，若对x∈[－3，1]，f(x)>0恒成立，
则或
或
解得a∈ 或1≤a<4或－所以实数a的取值范围为.
由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键
(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．
(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否易分离．分离参数思路的依据是：a≥f(x)恒成立 a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立 a≤f(x)min.
1．函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a的取值范围是(　　)
A．[－3，0) B．(－∞，－3]
C．[－2，0] D．[－3，0]
D　[当a＝0时，f(x)＝－3x＋1在[－1，＋∞)上递减，满足题意．
当a≠0时，f(x)的对称轴为x＝，
由f(x)在[－1，＋∞)上递减知
解得－3≤a<0.
综上，a的取值范围为[－3，0].]
2．已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在x∈[0，1]时，有最大值2，求a的值．
解析：　函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a＝－(x－a)2＋a2－a＋1，对称轴方程为x＝A．
当a<0时，f(x)max＝f(0)＝1－a，
所以1－a＝2，所以a＝－1.
当0≤a≤1时，f(x)max＝a2－a＋1，
所以a2－a＋1＝2，所以a2－a－1＝0，
所以a＝(舍去).
当a>1时，f(x)max＝f(1)＝a，所以a＝2.
综上可知，a＝－1或a＝2.
微专题系列7 [思想方法]
三个“二次”间的转化
(2018·天津卷)已知a∈R，函数f(x)＝若对任意x∈[－3，＋∞)，f(x)≤|x|恒成立，则a的取值范围是________．
解析：　①当x∈[－3，0]时，因为f(x)≤|x|恒成立，
所以x2＋2x＋a－2≤－x，参变量分离得
a≤－x2－3x＋2，
令y＝－x2－3x＋2＝－＋，
所以当x＝0或x＝－3时，y取得最小值为2，所以a≤2.
②当x∈(0，＋∞)时，因为f(x)≤|x|恒成立，所以－x2＋2x－2a≤x，参变量分离得a≥－x2＋x，
令y＝－x2＋x＝－＋，
所以当x＝时，y取得最大值为，
所以a≥.
由①②可得≤a≤2.
答案：　
　二次函数、二次方程与二次不等式统称三个“二次”，它们常结合在一起，而二次函数又是三个“二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体．因此，解决此类问题首先采用转化思想，把方程、不等式问题转化为函数问题．借助函数思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)问题是高考命题的热点．
已知一元二次方程x2＋mx＋3＝0(m∈Z)有两个实数根x1，x2，且0A．－4　 B．－5 C．－6 D．－7
A　[令f(x)＝x2＋mx＋3，∵一元二次方程x2＋mx＋3＝0(m∈Z)有两个实数根x1、x2，且0∴解得－结合m∈Z，可得m＝－4，故选A．]
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