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第五节　指数函数
课程标准 考向预测
1.通过对有理指数幂a(a>0，且a≠1；m，n为整数，且n>0)，实数指数幂ax(a>0，且a≠1；x∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质．2．通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念．3．能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点． 考情分析：　指数函数中比较大小、与其他知识结合考查指数型函数图象的识别与应用以及指数型函数单调性的应用仍是高考考查的热点，题型多以选择题、填空题为主．学科素养：　直观想象、数学运算、数学建模．
学生用书P35
1．根式
(1)根式的概念
①若xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n>1且n∈N*.式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
②a的n次方根的表示：
xn＝a
(2)根式的性质
①()n＝a(n∈N*).
②＝
2．有理数指数幂
(1)幂的有关概念
①正分数指数幂：a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；
②负分数指数幂：a－＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；
③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义．
(2)有理数指数幂的性质
①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；
②(ar)s＝ar_s(a>0，r，s∈Q)；
③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q).
3．指数函数的图象与性质
3．指数函数的图象与性质
函数 y＝ax(a>0，且a≠1)
图象 01
图象特征 在x轴上方，过定点(0，1)
当x逐渐增大时，图象逐渐下降 当x逐渐增大时，图象逐渐上升
性质 定义域 R
值域 (0，＋∞)
单调性 减 增
函数值变化规律 当x＝0时，y＝1
当x<0时，y>1；当x>0时， 00时，y>1
[注意]　指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象与性质跟a的取值有关，要特别注意分a>1和0(1)指数函数的图象恒过点(0，1)，(1，a)，，依据这三点的坐标可得到指数函数的大致图象．
(2)函数y＝ax与y＝(a>0，且a≠1)的图象关于y轴对称．
(3)底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升降”：当a>1时，指数函数的图象“上升”；当01．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)＝()n＝a(n∈N＋).(　　)
(2)分数指数幂a可以理解为个a相乘．(　　)
(3)函数y＝3·2x与y＝2x＋1都不是指数函数．(　　)
(4)若am0，且a≠1)，则m答案：　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
2．(必修1P54练习T2改编)化简(x<0，y<0)得(　　)
A．2x2y　　　 B．2xy C．4x2y D．－2x2y
D　[因为x<0，y<0，所以＝(16x8·y4)＝(16)·(x8)·(y4)＝2x2|y|＝－2x2y.]
3．设函数f(x)＝a－|x|(a＞0，且a≠1)，f(2)＝4，则(　　)
A．f(－2)＞f(－1) B．f(－1)＞f(－2)
C．f(1)＞f(2) D．f(－2)＞f(2)
A　[由a－2＝4，a＞0，得a＝，∴f(x)＝＝2|x|.
又∵|－2|＞|－1|，∴2|－2|＞2|－1|，
即f(－2)＞f(－1).]
4．(必修1P56例6改编)若函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点P，则f(－1)＝________．
解析：　由题意知＝a2，所以a＝，
所以f(x)＝，所以f(－1)＝＝.
答案：　
5．若函数y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围是________________．
解析：　由题意知0＜a2－1＜1，即1＜a2＜2，
得－＜a＜－1或1＜a＜.
答案：　(－，－1)∪(1，)
学生用书P36
[题组练透]
1．若实数a>0，则下列等式成立的是(　　)
A．(－2a)－2＝ B．2a－3＝
C．(－2a)0＝－1 D．(a－)4＝
D　[对于A，(－2a)－2＝，故A错误；对于B，2a－3＝，故B错误；对于C，(－2a)0＝1，故C错误；对于D，(a－)4＝a－1＝.故D正确．]
2．(多选)下列计算正确的是(　　)
A．＝
B．＝－9a(a>0，b>0)
C．＝
D．已知x2＋x－2＝2，则x＋x－1＝2
BC　[对于A，＝＝3＝3＝≠，所以A错误；
对于B，÷＝－＝－9a(a>0，b>0)，所以B正确；
对于C，＝＝9＝3＝，所以C正确；
对于D，因为(x＋x－1)2＝x2＋2＋x－2＝4，
所以x＋x－1＝±2，D错误，故选BC.]
3．计算：－＋＋(0.002)－＝________．
解析：　原式＝－＋＋
＝－＋＋10＝10.
答案：　10
4．已知x＋＝3，则x2＋x－2＋3＝________．
解析：　由x＋＝3，得x＋x－1＋2＝9.所以x＋x－1＝7，所以x2＋x－2＋2＝49，所以x2＋x－2＝47，所以x2＋x－2＋3＝50.
答案：　50
　
[注意]　运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一．
(1)已知函数y＝kx＋a的图象如图所示，则函数y＝ax＋k的图象可能是(　　)
(2)若方程|3x－1|＝k有一解，则k的取值范围为________________．
解析：　(1)由函数y＝kx＋a的图象可得k<0，0－1，所以－1(2)函数y＝|3x－1|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示．
当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象有唯一的交点，所以方程有一解．
答案：　(1)B　(2){0}∪[1，＋∞)
与指数函数有关的图象问题的求解方法
(1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．
(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
1．(变条件)若本例(2)的条件变为：函数y＝|3x－1|＋k的图象不经过第二象限，则实数k的取值范围是________．
解析：　作出函数y＝|3x－1|＋k的图象如图所示．
由图象知k≤－1，即k∈(－∞，－1].
答案：　(－∞，－1]
2．(变条件)若本例(2)的条件变为：若函数y＝|3x－1|在(－∞，k]上单调递减，则k的取值范围为________．
解析：　函数y＝|3x－1|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示．
由图象知，其在(－∞，0]上单调递减，所以k的取值范围为(－∞，0].
答案：　(－∞，0]
角度一　比较指数幂的大小
已知a＝，b＝，c＝，则下列关系式中正确的是(　　)
A．cC．aB　[把b化简为b＝，而函数y＝在R上为减函数，又>>，所以<<，即b比较指数式大小的常用方法
(1)单调性法，不同底的指数式化同底后就可以应用指数函数的单调性比较大小，所以能够化同底的尽可能化同底；
(2)取中间值法，不同底、不同指数的指数式比较大小时，先与中间值(特别是0，1)比较大小，然后得出大小关系；
(3)图解法，根据指数式的特征，在同一平面直角坐标系中作出它们的函数图象，借助图象比较大小．
角度二　解简单的指数方程或不等式
(1)若2≤，则函数y＝2x的值域是(　　)
A． B．
C． D．[2，＋∞)
(2)已知实数a≠1，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为________．
解析：　(1)因为2≤()x－2＝24－2x，
则x2＋1≤4－2x，即x2＋2x－3≤0，所以－3≤x≤1，所以≤y≤2.
(2)当a<1时，41－a＝21，解得a＝；
当a>1时，代入方程不成立．故a的值为.
答案：　(1)B　(2)
利用指数函数的单调性解指数不等式的方法　
解指数不等式时，若0a\a\vs4\al(x2) x11，则ax1>a\a\vs4\al(x2) x1>x2.如果不等号一端为常数，则利用指数运算性质将常数化成同底的指数值，再利用指数函数的单调性转化为一般不等式求解．
角度三　探究指数型函数的性质
已知函数f(x)＝.
(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)有最大值3，求a的值；
(3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值．
解析：　(1)当a＝－1时，f(x)＝，
令g(x)＝－x2－4x＋3，由于g(x)在(－∞，－2]上单调递增，在[－2，＋∞)上单调递减，而y＝在R上单调递减，所以f(x)在(－∞，－2]上单调递减，在[－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是[－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2].
(2)令g(x)＝ax2－4x＋3，则f(x)＝，
由于f(x)有最大值3，
所以g(x)应有最小值－1，
因此必有
解得a＝1，即当f(x)有最大值3时，a的值等于1.
(3)令g(x)＝ax2－4x＋3.
由指数函数的性质知，
要使f(x)＝的值域为(0，＋∞).
应使g(x)＝ax2－4x＋3的值域为R，
因此只能a＝0.(因为若a≠0，则g(x)为二次函数，其值域不可能为R).
故a的值为0.
求指数型复合函数的单调区间和值域的方法
(1)形如y＝f(ax)(a>0，且a≠1)的函数求值域时，要借助换元法：令ax＝t，将求原函数的值域转化为求f(t)的值域．但要注意“新元”t的范围．
(2)形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)的函数求值域时，要借助换元法：令u＝f(x)，先求出u＝f(x)的值域，再利用y＝au的单调性求出y＝af(x)的值域．
(3)形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)的函数单调性的判断，首先确定定义域D，再分两种情况讨论：
①当a>1时，若f(x)在区间(m，n)上(其中(m，n) D)具有单调性，则函数y＝af(x)在区间(m，n)上的单调性与f(x)在区间(m，n)上的单调性相同；
②当01．已知a＝2，b＝4，c＝25，则(　　)
A．bC．bA　[因为a＝2＝4，c＝25＝5，函数f(x)＝x在(0，＋∞)上单调递增，所以4<5，又函数g(x)＝4x在(0，＋∞)上单调递增，所以4<4，所以b2．若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，a≠1)满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是(　　)
A．(－∞，2] B．[2，＋∞)
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
B　[由f(1)＝得a2＝.
又a>0，
所以a＝，因此f(x)＝.
因为g(x)＝|2x－4|在[2，＋∞)上单调递增，所以f(x)的单调递减区间是[2，＋∞).]
微专题系列8 [思想方法]
换元法求解与指数型函数有关的最值问题
已知函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)，当x≥0时，求函数的值域．
解析：　y＝a2x＋2ax－1，令t＝ax，
则y＝g(t)＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.
当a>1时，∵x≥0，∴t≥1，∴当a>1时，y≥2.
当0∵g(0)＝－1，g(1)＝2，
∴当0综上所述，当a>1时，函数的值域是[2，＋∞)；
当0(1)此例利用了换元法，把函数f(x)转化为y＝t2＋2t－1，将问题转化为求二次函数的最值(值域)问题，从而减少了运算量．
(2)对于同时含有ax与a2x(a>0且a≠1)的函数、方程、不等式问题，通常令t＝ax进行换元巧解，但一定要注意新元的范围，对数函数中的类似问题，也用这种方法
已知函数y＝4x＋m·2x－2在区间[－2，2]上单调递增，则m的取值范围为________．
解析：　设t＝2x，则y＝4x＋m·2x－2＝t2＋mt－2.
因为x∈[－2，2]，所以t∈.
又函数y＝4x＋m·2x－2在区间[－2，2]上单调递增，
即y＝t2＋mt－2在区间上单调递增，
故有－≤，解得m≥－.
所以m的取值范围为.
答案：　
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