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第七节　函数的图象
课程标准 考向预测
1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．2．会运用函数图象理解和研究函数的性质． 考情分析：　本节的常考点有函数图象的辨析、函数图象和函数性质的综合应用及利用图象解方程或不等式，其中函数图象的辨析仍是高考考查的热点，题型以选择题为主，属中档题．学科素养：　逻辑推理、直观想象．
学生用书P42
1．描点法作图的流程
2．函数图象的四种变换
(1)平移变换
(2)对称变换
＝－f(x)；
＝f(－x)；
＝－f(－x)；
＝logax．
(3)翻折变换
＝|f(x)|．
＝f(|x|)．
(4)伸缩变换
①y＝f(x)
＝f(ax)．
②y＝f(x)
＝af(x)．
[注意]　函数图象的左右变换都针对自变量“x”而言，如从f(－2x)的图象到f(－2x＋1)的图象是向右平移个单位长度，其中是把x变成x－.
1．关于对称的三个重要结论
(1)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称．
(2)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)中心对称．
(3)若函数y＝f(x)在定义域内任意自变量x满足：f(a＋x)＝f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
2．函数图象平移变换八字方针
(1)“左加右减”，要注意加减指的是自变量．
(2)“上加下减”，要注意加减指的是函数值．
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y＝f(1－x)的图象，可由y＝f(－x)的图象向左平移1个单位得到．(　　)
(2)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同．(　　)
(3)函数y＝f(x)的图象关于y轴对称即函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称．(　　)
(4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．(　　)
答案：　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．(必修1P35例5改编)函数f(x)＝x＋的图象关于(　　)
A．y轴对称 B．x轴对称
C．原点对称 D．直线y＝x对称
C　[函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)且f(－x)＝－f(x)，即函数f(x)为奇函数，关于原点对称．]
3．(必修1P24习题A组T7改编)下列图象是函数y＝的图象的是(　　)
C　[其图象是由y＝x2图象中x<0的部分和y＝x－1图象中x≥0的部分组成．]
4．把函数f(x)＝ln x的图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，得到的图象的函数解析式是________________________________．
解析：　根据伸缩变换方法可得，所求函数解析式为y＝ln .
答案：　y＝ln
5．若关于x的方程|x|＝a－x只有一个解，则实数a的取值范围是________．
解析：　由题意a＝|x|＋x，令y＝|x|＋x＝图象如图所示，故要使a＝|x|＋x只有一解，则a>0，即实数a的取值范围是(0，＋∞).
答案：　(0，＋∞)
学生用书P43
作出下列函数的图象．
(1)y＝
(2)y＝2x＋2；
(3)y＝x2－2|x|－1.
解析：　(1)分段分别画出函数的图象，如图①所示．
　
(2)y＝2x＋2的图象是由y＝2x的图象向左平移2个单位长度得到的，其图象如图②所示．
(3)y＝函数为偶函数，其图象关于y轴对称．如图③所示．
作函数图象的两种常用方法
(1)直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本初等函数时，就可根据这些函数的特征直接作出．(如本例(1))
(2)图象变换法：若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序．(如本例(2))
[注意]　(1)画函数的图象一定要注意定义域．
(2)画函数的图象时要注意对函数式作适当变形．
作出下列函数的图象．
(1)y＝；
(2)y＝|x－2|·(x＋2).
解析：(1)作出y＝的图象，保留y＝图象中x≥0的部分，加上y＝的图象中x>0部分关于y轴的对称部分，即得y＝的图象，如图中实线部分．
(2)函数式可化为y＝
其图象即图中实线所示．
(1)(2020·天津卷)函数y＝的图象大致为(　　)
(2)已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可以是(　　)
A．f(x)＝
B．f(x)＝
C．f(x)＝－1
D．f(x)＝x－
(3)(多选)(2021·湖北期中)函数f(x)＝ax2＋2x＋1与g(x)＝xa在同一坐标系中的图象可能为(　　)
(1)A　(2)A　(3)ACD　[(1)设f(x)＝，定义域为R，则f(－x)＝－＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，排除C，D；又f(1)＝2＞0，所以排除B.故选A．
(2)由函数图象可知，函数f(x)为奇函数，应排除B，C；若函数为f(x)＝x－，则x→＋∞时，f(x)→＋∞，排除D，故选A．
(3)对于A，若函数y＝xa正确，可得出a<0，此时二次函数图象开口向下，对称轴x＝－>0，所给图象符合这一特征，A项可能，B项不可能；对于C，若函数y＝xa正确，可得出a>0，此时二次函数图象开口向上，对称轴x＝－<0，所给图象符合这一特征，故C项可能；对于D，函数y＝xa正确，可得出a>0，此时二次函数图象开口向上，对称轴x＝－<0，所给图象符合这一特征，故D项可能；故选ACD.]
函数图象的辨识可从以下五个方面入手
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；
从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性(如本例(2)).
(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复．
(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．
1．(2020·湖北省部分重点中学联考)已知函数f(x)＝g(x)＝－f(－x)，则函数g(x)的图象大致是(　　)
D　[先画出函数f(x)＝的图象，如图(1)所示，再根据函数f(x)与－f(－x)的图象关于坐标原点对称，即可画出函数－f(－x)的图象，即g(x)的图象．如图(2)所示．故选D.]
2．学校宿舍与办公室相距a m，某同学有重要材料要送给老师，从宿舍出发，先匀速跑步3分钟来到办公室，停留2分钟，然后匀速步行10分钟返回宿舍．在这个过程中，这位同学行走的路程是时间的函数，则这个函数图象大致是(　　)
A　[由题意可得某同学先匀速跑步3分钟来到办公室，路程是均匀递增的，停留2分钟，路程不发生变化，再匀速步行10分钟返回宿舍，总路程也是均匀增加的，只有A项符合．故选A．]
角度一　研究函数的性质
对于函数f(x)＝lg (|x－2|＋1)，给出如下三个命题：
①f(x＋2)是偶函数；②f(x)在区间(－∞，2)上是减函数，在区间(2，＋∞)上是增函数；③f(x)没有最小值．其中正确的个数为(　　)
A．1 B．2 C．3　 D．0
B　[因为函数f(x)＝lg (|x－2|＋1)，所以函数f(x＋2)＝lg (|x|＋1)是偶函数；
由y＝lg x y＝lg (x＋1)
去掉y轴左侧的图象，以y轴为对称轴，作y轴右侧图象的对称图象得到y＝lg (|x|＋1)
y＝lg (|x－2|＋1)，如图，可知f(x)在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数；由图象可知函数存在最小值0.所以①②正确．]
利用函数的图象研究函数的性质
对于已知或解析式易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象研究：
(1)从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；
(2)从图象的对称性，分析函数的奇偶性；
(3)从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．
角度二　解不等式
(2020·北京卷)已知函数f(x)＝2x－x－1，则不等式f(x)＞0的解集是(　　)
A．(－1，1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(0，1) D．(－∞，0)∪(1，＋∞)
D　[在同一平面直角坐标系中画出h(x)＝2x，g(x)＝x＋1的图象如图．结合图象得交点坐标为(0，1)和(1，2).
又f(x)＞0等价于2x＞x＋1，
结合图象，可得x＜0或x＞1.
故f(x)＞0的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞).故选D.]
利用函数的图象研究不等式的基本思路
当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上下关系问题或函数图象与坐标轴的位置关系问题，从而利用数形结合法求解．
角度三　求参数的取值范围
已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是________．
解析：　作出函数y＝f(x)与y＝k的图象，如图所示：
由图可知，若关于x的方程f(x)＝k有两个不相等的实数根，则k∈(0，1].
答案：　(0，1]
　求解函数图象的应用问题，其实质是利用数形结合思想解题，其思维流程一般是：
1．已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是(　　)
A．f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞)
B．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)
C．f(x)是奇函数，递减区间是(－1，1)
D．f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0)
C　[将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值得f(x)＝画出函数f(x)的图象，如图，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1，1)上单调递减．]
2．已知奇函数f(x)在x≥0时的图象如图所示，则不等式xf(x)<0的解集为(　　)
A．(－2，－1)∪(1，2) B．(－2，－1)
C．(－1，0)∪(1，2) D．(－1，0)
A　[由f(x)为奇函数，补齐整个函数的图象如图．
可得：当x∈(－2，－1)∪(0，1)∪(2，＋∞)时，f(x)>0，
当x∈(－∞，－2)∪(－1，0)∪(1，2)时，f(x)<0，
∵xf(x)<0，∴x和f(x)异号，
∴不等式xf(x)<0的解集为(－2，－1)∪(1，2).故选A．]
3．已知函数f(x)＝若方程f(x)－a＝0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是________．
解析：　画出函数f(x)的图象如图所示，
观察图象可知，若方程f(x)－a＝0有三个不同的实数根，即函数y＝f(x)的图象与直线y＝a有三个不同的交点，此时需满足0答案：　(0，1)
微专题系列10 [学科素养]
直观想象——破解抽象函数图象的对称性
下列说法中，正确命题的个数为(　　)
①函数y＝f(x)与函数y＝－f(x)的图象关于直线y＝0对称；
②函数y＝f(x)与函数y＝－f(－x)的图象关于坐标原点对称；
③如果函数y＝f(x)对于一切x∈R，都有f(a＋x)＝f(a－x)，那么y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；
④函数y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图象关于直线x＝1对称．
A．1 B．2 C．3 D．4
D　[对于①，把函数y＝f(x)中的y换成－y，x保持不变，得到的函数的图象与原函数的图象关于x轴对称；对于②，把函数y＝f(x)中的x换成－x，y换成－y，得到的函数的图象与原函数的图象关于原点对称；对于③，若对于一切x∈R，都有f(a＋x)＝f(a－x)，则f(x)的图象关于直线x＝＝a对称；对于④，因为函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称，它们的图象分别向右平移1个单位长度得到函数y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图象，即y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图象关于直线x＝1对称．]
函数对称性的常用结论
(1)函数图象自身的轴对称
①f(－x)＝f(x) 函数y＝f(x)的图象关于y轴对称；
②函数y＝f(x)的图象关于x＝a对称 f(a＋x)＝f(a－x) f(x)＝f(2a－x) f(－x)＝f(2a＋x)；
③若函数y＝f(x)的定义域为R，且有f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称．
(2)两个函数图象之间的对称关系
①函数y＝f(a＋x)与y＝f(b－x)的图象关于直线x＝对称；函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称；
②函数y＝f(x)与y＝2b－f(x)的图象关于直线y＝b对称．
　若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图象大致为(　　)
C　[要想由y＝f(x)的图象得到y＝－f(x＋1)的图象，需要先将y＝f(x)的图象关于x轴对称得到y＝－f(x)的图象，然后再向左平移一个单位长度得到y＝－f(x＋1)的图象，根据上述步骤可知C项正确．]
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