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第2章 匀变速直线运动的研究
探究案
学习目标
掌握匀变速直线运动的常用解题方法。
理解运动图象的意义及应用
总结研究匀变速直线运动实验中数据处理的方法。
考点复习
考点一：匀变速直线运动的常用解题方法
1．常用公式法
匀变速直线运动的常用公式有：
v＝v0＋at　 x＝v0t＋at2/2　 v2－v02＝2ax
注意:
它们都是矢量
一般以v0方向为正方向
其余物理量与正方向相同的为正，与正方向相反的为负。
2．平均速度法
(1)，此式为平均速度的定义式，适用于任何直线运动。
(2) ，只适用于匀变速直线运动。
3．比例法
对于初速度为零的匀加速直线运动或末速度为零的匀减速直线运动，可利用初速度为零的匀加速直线运动的推论，用比例法解题。
4 . 逆向思维法
把运动过程的“末态”作为“初态”的反向研究问题的方法。
例如，末速度为零的匀减速直线运动可以看做反向的初速度为零的匀加速直线运动。
5 . 图象法
应用v-t 图象，可把复杂的物理问题转化为较为简单的数学问题解决，尤其是用图象定性分析，可避免繁杂的计算，快速求解。
典例精析
物体以某一速度冲上一光滑斜面，前4 s 的位移为1.6 m，随后4 s 的位移为零，那么物体的加速度多大？(设物体做匀变速直线运动且返回时加速度不变)你能想到几种方法？
考点二：运动图象的意义及应用
首先要学会识图。识图就是通过“看”寻找规律及解题的突破口。
为方便记忆，这里总结为六看：一看“轴”，二看“线”，三看“斜率”，四看“面”，五看“截距”，六看“特殊值”。
(1)“轴”：纵、横轴所表示的物理量，特别要注意纵轴是位移x,还是速度v。
(2)“线”：从线反映运动性质，如 x-t 图象为倾斜直线表示匀速运动，v-t 图象为倾斜直线表示匀变速运动。
(3)“斜率”：“斜率”往往代表一个物理量．x-t 图象斜率表示速度；
v-t 图象斜率表示加速度．
(4)“面”即“面积 ”：主要看纵、横轴物理量的乘积有无意义．
如x-t 图象面积无意义，v-t 图象与 t 轴所围面积表示位移．
(5)“截距”：初始条件、初始位置x0或初速度v0.
(6)“特殊值”：如交点，x-t 图象交点表示相遇
v-t 图象交点表示速度相等 (不表示相遇)．
典例精析：
如图所示是在同一直线上运动的甲、乙两物体的x-t 图象，下列说法中正确的是(　　 )
A．甲启动的时刻比乙早t1
B．两车都运动起来后甲的速度大
C．当 t＝t2 时，两物体相距最远
D．当 t＝t3 时，两物体相距x1
考点三：追及相遇问题
1．追及相遇问题是一类常见的运动学问题，分析时，一定要抓住：
(1)位移关系：x2＝x0＋x1
其中x0 为开始追赶时两物体之间的距离，
x1 表示前面被追赶物体的位移，
x2 表示后面物体的位移。
(2)临界状态：v1＝v2
当两个物体的速度相等时，可能出现恰好追上、恰好避免相撞、
相距最远、相距最近等临界、最值问题。
2．处理追及相遇问题的三种方法
(1)物理方法：通过对物理情景和物理过程的分析，找到临界状态和临界条件，然后列出方程求解。
(2)数学方法：由于匀变速直线运动的位移表达式是时间t的一元二次方程，我们可利用判别式进行讨论：在追及问题的位移关系式中，
Δ>0，即有两个解，并且两个解都符合题意，说明相遇两次；
Δ= 0，有一个解，说明刚好追上或相遇；
Δ< 0，无解，说明不能够追上或相遇．
(3)图象法：对于定性分析的问题，可利用图象法分析，避开繁杂的计算，快速求解。
典例精析：
甲车以3 m/s2的加速度由静止开始做匀加速直线运动。乙车落后2 s在同一地点由静止开始，以6 m/s2的加速度做匀加速直线运动。两车的运动方向相同．求：
(1)在乙车追上甲车之前，两车距离的最大值是多少？
(2)乙车出发后经多长时间可追上甲车？此时它们离出发点多远？
考点四：研究匀变速直线运动实验中数据处理的方法
研究匀变速直线运动实验，主要研究两个方向：
(1)利用纸带求某点的瞬时速度：
注意：
T=0.02s or T=0.1s
(2)利用纸带求物体的加速度，方法有以下两个：
①逐差法
纸带上有六个连续相等的时间T 内的位移x1、x2、x3、x4、x5、x6.
由Δx＝aT2可得：x4－x1＝(x4－x3)＋(x3－x2)＋(x2－x1)＝3aT2
x5－x2＝(x5－x4)＋(x4－x3)＋(x3－x2)＝3aT2
x6－x3＝(x6－x5)＋(x5－x4)＋(x4－x3)＝3aT2
所以
②v-t 图象法
先求出各时刻的瞬时速度v1、v2、v3、…、vn，然后作v-t 图象，
求出该v-t 图线的斜率k，则k＝a。
典例精析：
如:所示为“探究小车速度随时间变化的规律”实验中打点计时器打出的纸带,相邻两计数点间还有两个点未画出(电源频率为50 Hz)．由图知纸带上D点的瞬时速度vD＝________；加速度a＝______；E点的瞬时速度vE＝________.(小数点后保留两位小数)
随堂检测
1.（多选）物体沿一直线运动,在t时间内通过的位移是x,它在中间位置处的速度为v1,在中间时刻的速度为v2,则v1和v2的关系为(　　)
A.当物体做匀加速直线运动时,v1>v2
B.当物体做匀减速直线运动时,v1>v2
C.当物体做匀速直线运动时,v1=v2
D.当物体做匀减速直线运动时,v12.（多选）质点做直线运动的位移x与时间t的关系为x=5t+t2(各物理量均采用国际单位制单位),则该质点(　　)
A.第1 s内的位移是6 m
B.前2 s内的平均速度是6 m/s
C.任意相邻的1 s内位移差都是1 m
D.任意1 s内的速度增量都是2 m/s
3.（多选）如图所示,以8 m/s匀速行驶的汽车即将通过路口,绿灯还有2 s将熄灭,此时汽车距离停车线18 m.该车加速时最大加速度大小为2 m/s2,减速时最大加速度大小为5 m/s2.此路段允许行驶的最大速度为12.5 m/s.下列说法正确的有 (　　)
A.如果立即做匀加速运动,在绿灯熄灭前汽车可能通过停车线
B.如果立即做匀加速运动,在绿灯熄灭前通过停车线汽车一定超速
C.如果立即做匀减速运动,在绿灯熄灭前汽车一定不能通过停车线
D.如果距停车线5 m处开始减速,汽车能停在停车线处
4.（多选）下图是某质点运动的速度图像,由图像得到的正确结果是 (　　)
A.0~1 s内的平均速度是2 m/s
B.0~2 s内的位移大小是3 m
C.0~1 s内的加速度小于2~4 s内的加速度
D.0~1 s内的运动方向与2~4 s内的运动方向相同
5.A、B两质点在同平面内同时向同一方向做直线运动，它们的位置一时间图象如图所示，其中①是顶点过原点的抛物线的一部分，②是过点(0，3)的一条直线，两图象相交于坐标为(3，9)的P点，则下列说法不正确的是（ ）
A．质点A做初速度为零加速度为2m/s2的匀加速直线运动
B．质点B以2m/s的速度做匀速直线运动
C．在前3s内，质点A比B向前多前进了9m
D．在3s前某时刻质点A、B速度相等
本课小结
参考答案
课堂探究
考点一
典例精析
【答案】a = 0.1 m/s2
【解析】
解法一：基本公式法
物体前4 s位移为1.6 m，是减速运动：
x = v0t - at2/2，代入数据 1.6 = v0×4 - a×42/2
随后4 s 位移为零，则物体滑到最高点所用时间为：t = 4 s＋ 2s＝6 s
初速度为：v0＝at＝a×6
由以上两式得物体的加速度为：a = 0.1 m/s2
解法二：推论法
物体2 s 末时的速度即前4 s内的平均速度为
物体6 s末的速度为v6＝0
物体的加速度大小为
解法三：推论法
整个过程 a 保持不变，是匀变速直线运动，
由于前4s和后4s是相邻相等的两段时间
由Δx＝at2 得物体加速度大小为
解法四：全过程用位移公式
全过程应用
4s内和8s内的位移均为1.6m
考点二
典例精析
【答案】AD
【解析】甲从计时起运动，而乙从t1 时刻开始运动 ，故A正确；甲的图象的斜率小，所以甲的速度小，故B错误；t2时刻，甲和乙到了同一直线上的同一位置，说明两物体相遇，故C错误；t3时刻，甲在原点处，乙在x1处，两物体相距x1，故D正确。
考点三
典例精析
【答案】（1）12 m （2）71 m
【解析】
两车速度相等时，距离最大
v1＝3×(t＋2)＝3t＋6 v2＝6t
由v1＝v2得：t＝2 s
两车距离的最大值
Δx＝a甲(t＋2)2－a乙t2
＝×3×42 m－×6×22 m
＝12 m
(2)追上甲车，甲和乙的位移相等
设乙车出发后经t′ 追上甲车
x1＝a甲(t′＋2)2＝×3×(t′＋2)2＝ m
x2＝a乙t′2＝×6×t′2＝3t′2
x1＝x2，求得：t′＝(2＋2) s
带入位移公式可得
x1=x2≈71 m
考点四
典例精析
【答案】0.90m/s 3.33m/s2 1.10m/s
【解析】利用平均速度推论：vD＝CE＝ m/s＝0.90 m/s
逐差法：求加速度a＝＝≈3.33 m/s
利用速度时间公式：vE＝vD＋aT≈1.10 m/s.
随堂检测
1．ABC
【解析】如图所示,物体由A沿直线运动到B,C点为AB的中点,速度为v1.若物体做匀加速直线运动,A到B的中间时刻应在C点左侧,有v1>v2;若物体做匀减速直线运动,A到B的中间时刻应在C点右侧,仍有v1>v2,故选项A、B正确,选项D错误.若物体做匀速直线运动,中间时刻的位置恰在中点C处,有v1=v2,选项C正确。
2．AD
【解析】根据质点做直线运动的位移与时间的关系式x=5t+t2(各物理量均采用国际单位制单位)可知,质点做匀加速直线运动,初速度为5 m/s,加速度为2 m/s2,在第1 s内的位移是x=6 m,选项A正确;前2 s内的平均速度为v=7 m/s,选项B错误;因为是匀变速直线运动,满足公式Δx=x2-x1=aT2,任意相邻的1 s内的位移差都是2 m,选项C错误;任意1 s内的速度增量在数值上等于加速度的大小,选项D正确。
3． AC
【解析】如果立即以最大加速度做匀加速直线运动,t1=2 s内的位移x=v0t1+a1=20 m>18 m,此时汽车的速度为v1=v0+a1t1=12 m/s<12.5 m/s,汽车没有超速,选项A正确,选项B错误;汽车匀速行驶时,2 s通过的距离为2×8 m=16 m<18 m,故若做减速运动,绿灯熄灭前一定不能通过停车线,选项C正确;如果以最大加速度做匀减速运动,速度减为0需要的时间t2==1.6s,此过程通过的位移为x2=a2=6.4 m>5 m,选项D错误。
4．BD
【解析】由公式=得0~1 s内的平均速度= m/s=1 m/s,选项A错误;由面积法知0~2 s内的位移x=3 m,选项B正确;用斜率求出 0~1 s内的加速度a1=2 m/s2,2~4 s内的加速度a2=-1 m/s2,负号代表方向,所以a1>a2,选项C错误;0~1 s、2~4 s两个时间段内速度均为正,表明运动方向相同,选项D正确。
5．C
【解析】A、质点A的运动方程为，则初速度为零，加速度，故A正确；
B、乙直线的斜率表示速度,故质点B做匀速直线运动，质点B的速度为，故B正确；
C、在前3s内，质点B的位移为6m，质点A的位移为9m，质点A比B向前多前进了3m，故C错误；
D、时，质点A的速度为，故D正确；

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