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专题复习3：追及和相遇问题
一、考点突破
1．追及相遇问题中的一个条件和两个关系
(1)一个条件：即两者速度相等，它往往是物体间能够追上、追不上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点．
(2)两个关系：即时间关系和位移关系，这两个关系可通过画运动示意图得到．
2．追及相遇问题常见的三种情况
假设物体A追物体B，开始时，两个物体相距x0，则：
(1)A追上B时，必有xA－xB＝x0，且vA≥vB.
(2)要使两物体恰好不相撞，两物体同时到达同一位置时速度相同，必有xA－xB＝x0，vA＝vB.
(3)若使两物体保证不相撞，则要求当vA＝vB时，xA－xB＜x0，且之后vA≤vB.
3．解答追及相遇问题的三种常用方法
(1)物理分析法：抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题目中的隐含条件，建立一幅物体运动关系的图景．
(2)数学极值法：设相遇时间为t，根据条件列方程，得到关于时间t的一元二次方程，用根的判别式进行讨论．若Δ＞0，即有两个解，说明可以相遇两次；若Δ＝0，说明刚好追上或相遇；若Δ＜0，无解，说明追不上或不能相遇．
(3)图象法：将两个物体运动的速度—时间关系在同一图象中画出，然后利用图象分析求解相关问题．
二、典例精析
例1．一步行者以6.0 m/s的速度跑去追赶被红灯阻停的公共汽车，在跑到距汽车25 m处时，绿灯亮了，汽车以1.0 m/s2的加速度匀加速启动前进，则 (　　)
A．人能追上公共汽车，追赶过程中人跑了36 m
B．人不能追上公共汽车，人、车最近距离为7 m
C．人能追上公共汽车，追上车前人共跑了43 m
D．人不能追上公共汽车，且车开动后，人车距离越来越远
例2.如图所示，在两车道的公路上有黑白两辆车，黑色车停在A线位置，某时刻白色车以速度v1＝40 m/s通过A线后，立即以大小为a1＝4 m/s2的加速度开始制动减速，黑色车4 s后以a2＝4 m/s2的加速度开始向同一方向匀加速运动，经过一定时间，两车都到达B线位置。两车可看成质点。从白色车通过A线位置开始计时，求经过多长时间两车都到达B线位置及此时黑色车的速度大小。
[思路点拨]
(1)黑色车从A线开始运动的时刻比白色车经过A线时晚4 s。
(2)黑色车由A线到B线一直做匀加速直线运动。
(3)判断白色车停止运动时黑色车是否追上白色车。
三、方法指导
2．追及、相遇问题常见情景
(1)速度小者追速度大者
追及类型 图象描述 相关结论
匀加速 追匀速 设x0为开始时两物体间的距离，则应有下面结论： ①t＝t0以前，后面物体与前面物体间的距离增大 ②t＝t0时，两物体相距最远，为x0＋Δx ③t＝t0以后，后面物体与前面物体间的距离减小 ④一定能追上且只能相遇一次
匀速追 匀减速
匀加速追 匀减速
(2)速度大者追速度小者
追及类型 图象描述 相关结论
匀减速 追匀速 设x0为开始时两物体间的距离，开始追及时，后面物体与前面物体间的距离在减小，当两物体速度相等时，即t＝t0时刻： ①若Δx＝x0，则恰能追上，两物体只能相遇一次，这也是避免相撞的临界条件 ②若Δxx0，则相遇两次，设t1时刻两物体第一次相遇，则t2＝2t0－t1时刻两物体第二次相遇
匀速追 匀加速
匀减速追 匀加速
例3.在水平轨道上有两列火车A和B相距x，A车在后面做初速度为v0、加速度大小为2a的匀减速直线运动，而B车同时做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动，两车运动方向相同．要使两车不相撞，求A车的初速度v0满足什么条件．
[审题指导]　两车不相撞的临界条件是A车追上B车时其速度与B车相等．
例4．一辆卡车以vB＝10 m/s的初速度沿直线方向做匀减速直线运动，加速度的大小为a＝2 m/s2，在其后方一辆小汽车以vA＝4 m/s 的速度向相同方向做匀速直线运动，小汽车在卡车后方相距x0＝7 m 处，从此时开始计时，求：
(1)小汽车追上卡车前，两车间的最大距离d是多大？
(2)经过多长时间小汽车追上卡车？
四、拓展训练
1. a、b两物体同时从同一地点开始做匀变速直线运动，二者运动的v－t图象如图所示，下列说法正确的是(　　)
A.a、b两物体运动方向相反
B.a物体的加速度小于b物体的加速度
C.t＝1 s时两物体的间距等于t＝3 s时两物体的间距
D.t＝3 s时，a、b两物体相遇
2．一步行者以6.0 m/s的速度跑去追赶被红灯阻停的公共汽车，在跑到距汽车25 m处时，绿灯亮了，汽车以1.0 m/s2的加速度匀加速启动前进，则 (　　)
A．人能追上公共汽车，追赶过程中人跑了36 m
B．人不能追上公共汽车，人、车最近距离为7 m
C．人能追上公共汽车，追上车前人共跑了43 m
D．人不能追上公共汽车，且车开动后，人车距离越来越远
3．A、B两列火车，在同一轨道上同向行驶，A车在前，其速度vA＝10 m/s，B车在后，其速度vB＝30 m/s，因大雾能见度低，B车在距A车x0＝85 m时才发现前方有A车，这时B车立即刹车，但B车要经过180 m才能停止，问：B车刹车时A车仍按原速率行驶，两车是否会相撞？若会相撞，将在B车刹车后何时相撞？若不会相撞，则两车最近距离是多少？
参考答案
例1.解析 在跑到距汽车25 m处时，绿灯亮了，汽车以1.0 m/s2的加速度匀加速启动前进，当汽车加速到6.0 m/s时二者相距最近．汽车加速到6.0 m/s所用时间t＝6 s，人运动距离为6×6 m＝36 m，汽车运动距离为18 m，二者最近距离为18 m＋25 m－36 m＝7 m，选项A、C错误，B正确．人不能追上公共汽车，且车开动后，人车距离先减小后增大，选项D错误．
例2.解析　设白色车停下来所需的时间为t1，减速过程通过的距离为x1，则v1＝a1t1
v12＝2a1x1
解得x1＝200 m，t1＝10 s
在t1＝10 s时，设黑色车通过的距离为x2，
则x2＝a2(t1－t0)2
解得x2＝72 m所以白色车停止运动时黑色车没有追上它，则白色车停车位置就是B线位置。
设经过时间t两车都到达B线位置，此时黑色车的速度为v2，则x1＝a2(t－t0)2
v2＝a2(t－t0)
解得t＝14 s，v2＝40 m/s。
例3.解析　法一：临界条件法
设两车运动速度相等时，所用时间为t，
由v0－(2a)t＝at得，t＝ ①
A车位移：xA＝v0t－(2a)t2
B车位移：xB＝at2
两车不相撞的条件：xB＋x≥xA
即：at2＋x≥v0t－at2 ②
联立①②得：v0≤.
法二：二次函数极值法
设两车运动了时间t，则
xA＝v0t－at2
xB＝at2
两车不相撞需要满足
Δx＝xB＋x－xA＝at2－v0t＋x≥0
则Δxmin＝≥0
解得v0≤.
法三：图象法
利用速度－时间图象求解，先作A、B两车的速度－时间图象，其图象如图所示，设经过t时间两车刚好不相撞，则对A车有vt＝v0－2at，
对B车有vt＝at
以上两式联立解得t＝
经时间t两车发生的位移之差，即为原来两车间的距离x，它可用图中的阴影面积来表示，由图象可知x＝v0t＝v0·＝，所以要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0≤.
法四：相对运动法
巧选参考系求解．以B车为参考系，A车的初速度为v0，加速度为a′＝－2a－a＝－3a.A车追上B车且刚好不相撞的条件是：v＝0，这一过程A车相对于B车的位移为x，由运动学公式v2－v＝2ax得：
02－v＝2·(－3a)·x
所以v0＝.
故要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0≤.
1.解析 (1)设两车速度相等经历的时间为t1有：
vA＝vB－at1
汽车与卡车的最远距离d，有：
v－v＝2axB1
xA1＝vAt1
两者间的最大距离为：
d＝x0＋xB1－xA1
代入数据解得：d＝16 m.
(2)卡车速度减为零的时间为t2，有：
0＝vB－at2得：t2＝5 s
卡车速度减为零的位移为：2axB＝v
得xB＝25 m
此时汽车的位移为：
xA＝vAt2＝4×5 m＝20 m，
因为xA＜xB＋x0，可知卡车速度减为零时，汽车还未追上卡车．
还需追及的时间：t3＝，得t3＝3 s
则有：t＝t2＋t3＝5 s＋3 s＝8 s.
1.解析　由题图可知a、b两物体的速度均为正值，则a、b两物体运动方向相同，A项错误.因v－t图象中图线的斜率表示加速度，则a的加速度大于b的加速度，B项错误.v－t图象中图线与坐标轴所围的面积表示位移，因为t＝1 s到t＝3 s，a图线和b图线与t轴所围的面积相等，即此时间段两物体位移相同，则t＝1 s时两物体的间距等于t＝3 s时两物体的间距，C项正确.由题图可知t＝3 s时，xb＞xa，又a和b同时、同地出发，同向运动，所以t＝3 s时，b在a前方，D项错误.
解析 在跑到距汽车25 m处时，绿灯亮了，汽车以1.0 m/s2的加速度匀加速启动前进，当汽车加速到6.0 m/s时二者相距最近．汽车加速到6.0 m/s所用时间t＝6 s，人运动距离为6×6 m＝36 m，汽车运动距离为18 m，二者最近距离为18 m＋25 m－36 m＝7 m，选项A、C错误，B正确．人不能追上公共汽车，且车开动后，人车距离先减小后增大，选项D错误
3.解析　设B车刹车过程的加速度大小为aB，
由v2－v＝2ax
可得：02－302＝2(－aB)×180
解得：aB＝2.5 m/s2
设经过时间t两车相撞，则有：vBt－aBt2＝x0＋vAt，
即30t－×2.5t2＝85＋10t
整理得t2－16t＋68＝0
由Δ＝162－4×68＜0可知t无实数解，即两车不会相撞，速度相等时两车相距最近，此时
vA＝vB－aBt1，t1＝8 s
此过程中xB＝vBt1－aBt＝160 m
xA＝vAt1＝80 m，
两车的最近距离Δx＝x0＋xA－xB＝5 m.

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