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专题复习5： 匀变速直线运动的规律
一.考点突破
1．匀变速直线运动
(1)定义：沿着一条直线，且加速度不变的运动．
(2)分类：
2．速度与时间的关系式：v＝v0＋at.
3．位移与时间的关系式：x＝v0t＋at2.
4．位移与速度的关系式：v2－v＝2ax.
匀变速直线运动的推论
1．平均速度公式：＝v＝.
2．位移差公式：Δx＝x2－x1＝x3－x2＝…＝xn－xn－1＝aT2.可以推广到xm－xn＝(m－n)aT2.
3．初速度为零的匀加速直线运动比例式
(1)1T末、2T末、3T末……的瞬时速度之比为：v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n.
(2)1T内，2T内，3T内……位移之比为：x1∶x2∶x3∶…∶xn＝1∶22∶32∶…∶n2.
(3)第一个T内，第二个T内，第三个T内，……，第n个T内位移之比为：
xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶…∶xn＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)．
(4)通过连续相等的位移所用时间之比为：t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶(－1)∶(－)∶…∶(－)．
二.典例精析
例1．一质点沿直线运动，其平均速度与时间的关系满足v＝2＋t(各物理量均选用国际单位制中单位)，则关于该质点的运动，下列说法正确的是(　　)
A．质点可能做匀减速直线运动
B．5 s内质点的位移为35 m
C．质点运动的加速度为1 m/s2
D．质点3 s末的速度为5 m/s
例2.如图所示，水平地面O点的正上方的装置M每隔相等的时间由静止
释放一小球，当某小球离开M的同时，O点右侧一长为L＝1.2 m的平板车开始以a＝6.0 m/s2的恒定加速度从静止开始向左运动，该小球恰好落在平板车的左端，已知平板车上表面距离M的竖直高度为h＝0.45 m。忽略空气阻力，重力加速度g取10 m/s2。　
(1)求小车左端离O点的水平距离；
(2)若至少有2个小球落在平板车上，则释放小球的时间间隔Δt应满足什么条件？
[审题指导]
第一步：抓关键点
关键点 获取信息
由静止释放一小球 小球做自由落体运动
忽略空气阻力
平板车以恒定加速度从静止开始向左运动 小车做初速度为零的匀加速直线运动
该小球恰好落在平板车的左端 在小球自由落体的时间内，小车的左端恰好运动到O点
第二步：找突破口
(1)小球下落的时间t0可由h＝gt02求得。
(2)小车左端离O点的水平距离等于t0时间内小车的水平位移x。
(3)要使第二个小球能落入平板车上，小车在t0＋Δt时间内的位移应不大于x＋L。
三、方法指导
匀变速直线运动的求解思路和注意问题
(1)解题的基本思路
→→→→
(2)应注意的两个问题
①如果一个物体的运动包含几个阶段，就要分段分析，各段交接处的速度往往是联系各段的纽带。
②公式的矢量性
解决匀变速直线运动的六种方法
例3．物体以一定的初速度从斜面底端A点冲上固定的光滑斜面，斜面总长度为l，到达斜面最高点C时速度恰好为零，如图所示，已知物体运动到距斜面底端l处的B点时，所用时间为t，求物体从B滑到C所用的时间．
方法一：逆向思维法
方法二：基本公式法
方法三：比例法
方法四：中间时刻速度法
方法五：图象法
四、拓展训练
1．一物体以初速度为v0做匀减速运动，第1 s内通过的位移为x1＝3 m，第2 s内通过的位移为x2＝2 m，又经过位移x3，物体的速度减小为0，则下列说法中不正确的是(　　)
A．初速度v0的大小为2.5 m/s
B．加速度a的大小为1 m/s2
C．位移x3的大小为 m
D．位移x3内的平均速度大小为0.75 m/s
2．（多选）如图所示，t＝0时，质量为0.5 kg的物体从光滑斜面上的A点由静止开始下滑，经过B点后进入水平面(经过B点前后速度大小不变)，最后停在C点。每隔2 s物体的瞬时速度记录在下表中，重力加速度g＝10 m/s2，则下列说法中正确的是(　　)
t/s 0 2 4 6
v/(m·s－1) 0 8 12 8
A．t＝3 s的时刻物体恰好经过B点
B．t＝10 s的时刻物体恰好停在C点
C．物体运动过程中的最大速度为12 m/s
D．A、B间的距离小于B、C间的距离
3.如图1所示，在成都天府大道某处安装了一台500万像素的固定雷达测速仪，可以准确抓拍超速车辆以及测量运动车辆的加速度。一辆汽车正从A点迎面驶向测速仪B，若测速仪与汽车相距355 m，此时测速仪发出超声波，同时车由于紧急情况而急刹车，汽车运动到C处与超声波相遇，当测速仪接收到发射回来的超声波信号时，汽车恰好停止于D点，且此时汽车与测速仪相距335 m，忽略测速仪安装高度的影响，可简化为图2所示分析(已知超声波速度为340 m/s)。
(1)求汽车刹车过程中的加速度a；
(2)此路段有80 km/h的限速标志，分析该汽车刹车前的行驶速度是否超速？
参考答案
例1.解析选B　根据平均速度v＝知，x＝vt＝2t＋t2，根据x＝v0t＋at2＝2t＋t2知，质点的初速度v0＝2 m/s，加速度a＝2 m/s2，质点做匀加速直线运动，故A、C错误；5 s内质点的位移x＝v0t＋at2＝2×5 m＋×2×25 m＝35 m，故B正确；质点在3 s末的速度v＝v0＋at＝2 m/s＋2×3 m/s＝8 m/s，故D错误。
例2.解析　(1)设小球自由下落至平板车上表面处历时t0，在该时间段内由运动学公式
对小球有：h＝gt02 ①
对平板车有：x＝at02 ②
由①②式并代入数据可得：x＝0.27 m。
(2)从释放第一个小球至第二个小球下落到平板车上表面处历时Δt＋t0，设平板车在该时间段内的位移为x1，由运动学公式有：x1＝a(Δt＋t0)2 ③
至少有2个小球落在平板车上须满足：x1≤x＋L ④
由①～④式并代入数据可得：Δt≤0.4 s。
例3.解析
方法一：逆向思维法
物体向上匀减速冲上斜面，其逆过程为由静止开始向下匀加速滑下斜面．设物体从B到C所用的时间为tBC.
由运动学公式得xBC＝，xAC＝，
又xBC＝，
由以上三式解得tBC＝t.
方法二：基本公式法
因为物体沿斜面向上做匀减速运动，设初速度为v0，物体从B滑到C所用的时间为tBC，由匀变速直线运动的规律可得v＝2axAC①
v＝v－2axAB②
xAB＝xAC③
由①②③解得vB＝④
又vB＝v0－at⑤
vB＝atBC⑥
由④⑤⑥解得tBC＝t.
方法三：比例法
对于初速度为零的匀加速直线运动，在连续相等的时间内通过的位移之比为x1∶x2∶x3∶…∶xn＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)．
因为xCB∶xBA＝∶＝1∶3，而通过xBA的时间为t，所以通过xBC的时间tBC＝t.
方法四：中间时刻速度法
利用推论：匀变速直线运动中中间时刻的瞬时速度等于这段位移的平均速度，AC＝＝.又v＝2axAC，v＝2axBC，xBC＝.由以上三式解得vB＝.可以看成vB正好等于AC段的平均速度，因此B点是这段位移的中间时刻，因此有tBC＝t.
方法五：图象法
根据匀变速直线运动的规律，画出v－t图象．如图所示，利用相似三角形的规律，面积之比等于对应边的平方比，得＝，且＝，OD＝t，OC＝t＋tBC.所以＝，解得tBC＝t.
答案：t
1.答案　A
解析　由Δx＝aT2得a＝＝1 m/s2。根据匀变速直线运动位移—时间公式，则有x1＝v0t1－at得v0＝3.5 m/s，故A错误，B正确；设物体的停止距离为x，停止时所用时间为t，根据匀变速直线运动位移—速度公式和速度—时间公式，则有v＝2ax，v0＝at，解得：x＝ m，t＝3.5 s，因此，x3＝x－x1－x2＝ m，所用时间t3＝t－t1－t2＝1.5 s，位移x3内的平均速度大小3＝＝0.75 m/s，故C、D正确。所以应选A。
2.答案　BD
解析　根据图表中的数据，可以求出物体下滑的加速度a1＝4 m/s2和在水平面上的加速度a2＝－2 m/s2。根据运动学公式：8＋a1t1＋a2t2＝12，t1＋t2＝2，解得t1＝ s，知经过 s到达B点，到达B点时的速度v＝a1t＝ m/s。物体在水平面上做减速运动，所以最大速度不是12 m/s，故A、C错误。第6 s末的速度是8 m/s，到停下来还需的时间t′＝ s＝4 s，所以到C点的时间为10 s，故B正确。根据v2－v＝2ax，求出AB段的长度为 m，BC段长度为 m，则A、B间的距离小于B、C间的距离，故D正确。
3.答案　(1)10 m/s2　(2)不超速
解析　(1)设超声波从B运动到C的时间为t0，那么在超声波从C返回B的t0时间内，汽车由C减速运动到D且速度为零，应用逆向思维
x2＝at，x1＝a(2t0)2－x2＝at
x1＋x2＝x0－x＝20 m
即at＋at＝20解得at＝10
而超声波在t0内的距离为BC＝x＋x2＝335＋at
又BC＝v声t0
解得t0＝1 s，a＝10 m/s2。
(2)由x1＋x2＝，解得v0＝20 m/s＝72 km/h
所以汽车未超速。

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