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第六节　利用导数研究不等式的恒成立问题
学生用书P64
角度一　分离参数法求参数
已知函数f(x)＝(x－1)ln x＋ax(a∈R)，若f(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围．
解析：　由(x－1)ln x＋ax>0，得－ax<(x－1)ln x，而x>0，∴－a<＝ln x－.
记h(x)＝ln x－，
则h′(x)＝－＝.
设m(x)＝ln x＋x－1(x>0)，
显然m(x)在(0，＋∞)上单调递增，而m(1)＝0，
∴x∈(0，1)时，m(x)<0，h′(x)<0，h(x)单调递减；
x∈(1，＋∞)时，m(x)>0，h′(x)>0，h(x)单调递增．
∴h(x)min＝h(1)＝0.
∴－a<0，a>0，即实数a的取值范围是(0，＋∞).
1．分离参数法解含参不等式恒成立问题的思路
用分离参数法解含参不等式恒成立问题是指在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，只要研究变量表达式的最值就可以解决问题．
2．求解含参不等式恒成立问题的关键是过好“双关”
转化关 通过分离参数法，先转化为f(a)≥g(x)(或f(a)≤g(x))对 x∈D恒成立，再转化为f(a)≥g(x)max(或f(a)≤g(x)min)
求最值关 求函数g(x)在区间D上的最大值(或最小值)问题
角度二　分类讨论法求参数
(2020·新高考卷)已知函数f(x)＝aex－1－ln x＋ln A．若f(x)≥1，求a的取值范围．
解析：　由题意可知a>0.当0当a＝1时，f(x)＝ex－1－ln x，f′(x)＝ex－1－.
当x∈(0，1)时，f′(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，
所以当x＝1时，f(x)取得最小值，最小值为f(1)＝1，
从而f(x)≥1.故a＝1符合需求．
当a>1时，f(x)＝aex－1－ln x＋ln a≥ex－1－ln x≥1.
综上，a的取值范围是[1，＋∞).
　若f(x)≥0恒成立，求a的取值范围，即研究a取什么范围能使f(x)≥0，如果参数a不易分离，通常对a分类讨论，找到使f(x)≥0的a的取值范围．
设函数f(x)＝ln x－ax(a>0).
(1)判断f(x)的单调性；
(2)当f(x)<0在(0，＋∞)上恒成立时，求a的取值范围．
解析：　(1)∵f(x)＝ln x－ax，
∴函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a，
因a>0，x∈时，f′(x)>0，此时f(x)在上是增函数；
x∈时，f′(x)<0，此时f(x)在上是减函数．
综上，f(x)在上是增函数，在上是减函数．
(2)f(x)<0在(0，＋∞)上恒成立，即a>在(0，＋∞)上恒成立，
设g(x)＝，则g′(x)＝，
当x∈(0，e)时，g′(x)>0，g(x)为增函数；
当x∈(e，＋∞)时，g′(x)<0，g(x)为减函数．
故当x＝e时，g(x)取得极大值，即最大值，且为.
所以a的取值范围为.
已知函数f(x)＝x－1－a ln x(a<0).
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若对于任意的x1，x2∈(0，1]，且x1≠x2，都有|f(x1)－f(x2)|<4，求实数a的取值范围．
解析：　(1)由题意知f′(x)＝1－＝(x>0)，
因为x>0，a<0，所以f′(x)>0.
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
(2)不妨设0>0，
由(1)知f(x1)所以|f(x1)－f(x2)|<4 f(x2)－f(x1)<4(－) f(x1)＋>f(x2)＋.
设g(x)＝f(x)＋，x∈(0，1]，
易知g(x)在(0，1]上单调递减，
所以g′(x)≤0在(0，1]上恒成立 1－－＝≤0在(0，1]上恒成立 a≥x－在(0，1]上恒成立，易知y＝x－在(0，1]上单调递增，其最大值为－3.因为a<0，所以－3≤a＜0，所以实数a的取值范围为
[－3，0).
　对于含有两个变量的不等式恒成立求参数问题，一般要找到两个变量的关系，转化为一个变量，从而得到一个函数；也可以从含有两个变量的不等式中抽象出一个函数是单调函数．对于求参数的范围，可以分离出变量，得到一个不等式，通过函数的最值得参数的范围；如果变量不易分离，可以对参数进行讨论，看参数在什么范围使不等式成立，从而求出参数范围．
　已知两个函数f(x)＝7x2－28x－c，g(x)＝2x3＋4x2－40x.若对任意x1∈[－3，3]，x2∈[－3，3]都有f(x1)≤g(x2)成立，求实数c的取值范围．
解析：　由对任意x1∈[－3，3]，x2∈[－3，3]，
都有f(x1)≤g(x2)成立，得f(x1)max≤g(x2)min.
因为f(x)＝7x2－28x－c＝7(x－2)2－28－c，
当x1∈[－3，3]时， f(x1)max＝f(－3)＝147－c；
由g(x)＝2x3＋4x2－40x可得，
g′(x)＝6x2＋8x－40＝2(3x＋10)(x－2)，
当x变化时，g′(x)和g(x)在[－3，3]上的变化情况如下表：
x －3 (－3，2) 2 (2，3) 3
g′(x) － 0 ＋
g(x) 102 ? 极小值－48 ? －30
易得g(x)min＝g(2)＝－48，
故147－c≤－48，即c≥195.
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