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第3章 不等式
3.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式
3.3.2 从函数观点看一元二次不等式
学案
一、学习目标
1.通过学习，理解一元二次不等式与二次函数之间的关系.
2.掌握图像法解一元二次不等式的方法.
2.能够利用一元二次不等式解决实际问题.
二、基础梳理
1.一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数最高次数是2的整式不等式叫作一元二次不等式.
2.当时，一元二次不等式和相应的二次函数的联系如下表：
判别式
方程的根 有两个相异的实数根， 有两个相等的实数根 没有实数根
二次函数 的图象
的解集 R
的解集
三、巩固练习
1.将进货价为每个80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，每涨价1元，销售量就减少20个，为了使商家利润有所增加，则售价a（元/个）的取值范围应是( )
A. B. C. D.
2.某产品的总成本y（万元）与产量x（台）之间的函数关系是.若每台产品的售价为20万元，则生产者不亏本时（销售收入不小于总成本)的最低产量是( )
A.100台 B.150台 C.200台 D.250台
3.用一根长为的绳子，围成一个一边长为，面积大于的矩形，则实数的取值范围为________________.
4.某商家一月份至五月份的累计销售额达3860万元，预测六月份的销售额为500万元，七月份的销售额比六月份增长，八月份的销售额比七月份增长，九、十月份的销售总额与七、八月份的销售总额相等.若一月份至十月份的销售总额至少达7000万元，则x的最小值是__________.
5.现要规划一块长方形绿地，且长方形绿地的长与宽的差为30米.若使长方形绿地的面积不小于4000平方米，则这块绿地的长与宽至少应为多少米？
6.一个小型服装厂生产某种风衣，月产量x（件）与售价P（元/件）之间的关系为，生产x件的成本元.
（1）该厂的月产量为多少时，每月获得的利润不少于1300元？
（2）当月产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少元？
7.某空调生产企业，上年度的投入成本是1万元/台，出厂价为1.2万元/台，年销量为1000台.本年度为适应市场需要，计划提高产品档次，适度增加投入成本，若每台空调投入成本增加的比例为，则出厂价相应提高的比例为，同时预计年销量增加的比例为，已知年利润=（出厂价-投入成本）×年销量.
（1）写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x之间的关系式；
（2）为使本年度的利润超过上年度的利润，求投人成本增加的比例x的取值范围.
8.如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求B点在上，D点在上，且对角线过C点，已知米，米.
（1）要使矩形的面积大于50平方米，则的长应在什么范围？
（2）当的长为多少米时，矩形花坛的面积最小？并求出最小值.
答案以及解析
1.答案：A
解析：设每个涨价x元，涨价后的利润与原利润之差为y元，则，.要使商家利润有所增加，则必须使，即，得，，的取值范围为.故选A.
2.答案：C
解析：设产量为x台，则总售价为万元，若使生产者不亏本，则，即，整理得，解得或（舍去）.故最低产量是200台.故选C.
3.答案：
解析：由题目条件知矩形的另一边的长为，且.由题意得围成的矩形的面积为，所以，即，解得.
4.答案：20
解析：由题意得，化简得，解得或（舍去），所以，即x的最小值为20.
5.解析：设长方形绿地的长与宽分别为a米与b米.
由题意可得①，②，
由①②可得，即，
解得或（舍去），所以，
所以b至少为50，则a至少为80，
所以这块绿地的长至少为80米，宽至少为50米.
6.解析：（1）设该厂的月获利为y元，
依题意得.
令，即，
，解得.
当月产量在20件至45件（包括20件和45件）之间时，月获利不少于1300元.
（2）由（1）知.
为正整数，当或时，y取得最大值1612，
当月产量为32件或33件时，可获得最大利润1612元.
7.解析：（1）由题意得，本年度每台空调投入成本为万元，出厂价为万元，年销量为台.
，
即.
（2）为使本年度的利润超过上年度的利润，
则，即，解得.
投入成本增加的比例x的取值范围为.
8.解析：（1）设的长为米，则米，
，，，
由矩形的面积大于50，得，
又，得，
解得或，
即长的取值范围是.
（2）矩形花坛的面积为
，
当且仅当，即时，矩形花坛的面积取得最小值48.
故的长为4米时，矩形的面积最小，最小值为48平方米.
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