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第3章 不等式
3.2 基本不等式
3.2.2 基本不等式的应用
学案
一、学习目标
1. 进一步理解基本不等式；
2. 会用基本不等式解决简单的最值问题.
二、基础梳理
对于正数在运用基本不等式时，应注意：
（1）和为定值时，积有最______大值；积为定值时，和有最______小值.
（2）取等号的条件（当且仅当______时，）.
三、巩固练习
1.已知，且，则的最小值为( )
A.8 B.4 C.2 D.1
2.已知，，且，则的最大值是( )
A. B.4 C. D.8
3.某汽车制造厂生产某种汽车，第一年的汽车产量为A辆，第二年的汽车产量增长率为x，第三年的汽车产量增长率为y，这两年的年平均增长率为z，则下列不等式成立的是( )
A. B. C. D.
4.已知实数，则的最小值为( )
A. B.6 C. D.
5.某人要用铁管做一个形状为直角三角形且面积为的铁架框（铁管的粗细忽略不计），在下面四种长度的铁管中，最合理（够用，又浪费最少）的是( )
A.4.6 m B.4.8 m C.5 m D.5.2 m
6.某地为了加快推进垃圾分类工作，新建了一个垃圾处理厂，每月最少要处理300吨垃圾，最多要处理600吨垃圾，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似表示为，为使每吨的平均处理成本最低，则该厂每月的处理量应为( )
A.300吨 B.400吨 C.500吨 D.600吨
7.欲在如图所示的锐角三角形空地中建一个内接矩形花园（阴影部分），则矩形花园面积的最大值为___________.
8.某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为万元.则一年的总运费与总存储费用之和最小为________万元，此时x为_________吨.
9.某建筑公司用8 000万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少12层，每层建筑面积为4 000平方米的楼房.经初步估计得知，若将楼房建为层，则每平方米的平均建筑费用（单位：元）.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？每平方米的平均综合费用的最小值是多少？
（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=）
10.物联网（Internet of Things，缩写：IOT）是基于互联网、传统电信网等信息承载体，让所有能行使独立功能的普通物体实现互联互通的网络，其应用领域主要包括运输和物流、工业制造、健康医疗、智能环境（家庭、办公、工厂）等，具有十分广阔的市场前景.现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：仓库每月土地占地费为（单位：万元），仓库到车站的距离为x（单位：千米），，其中与成反比，每月库存货物费（单位：万元）与x成正比，若在距离车站9千米处建仓库，则和分别为2万元和7.2万元.这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最少？最少费用是多少？
参考答案
基础梳理
（1）大；小
（2）
巩固练习
1.答案：B
解析：，且，，
当且仅当，即时等号成立.故选B.
2.答案：C
解析：由题意得，，
当且仅当，即，时等号成立，所以的最大值是.故选C.
3.答案：B
解析：由题意得，，
所以，当且仅当，即时等号成立.所以，即.故选B.
4.答案：B
解析：，，当且仅当且，即，时等号成立.故选B.
5.答案：C
解析：设直角三角形两直角边长分别为x m，y m，则，即.
周长，
当且仅当时等号成立.结合实际问题，可知选C.
6.答案：B
解析：设每吨的平均处理成本为s元，
由题意可得，其中.
由基本不等式可得，
当且仅当，即时，每吨的平均处理成本最低.
故选B.
7.答案：400
解析：如图，设矩形花园的一边DE的长为，邻边长为，则矩形花园的面积为，
花园是矩形，与相似，
，又，
，，.
由基本不等式可得，则，
当且仅当时，等号成立，故矩形花园的面积的最大值为400.
8.答案：240；30
解析：由题意可知，一年的总运费与总存储费用之和为万元，
，当且仅当，即时等号成立，
一年的总运费与总存储费用之和最小为240万元，此时x为30吨.
9.答案：设楼房每平方米的平均综合费用为y元.
依题意得.
因为，
当且仅当，即时，等号成立，
所以当时，y取得最小值5 000.
所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为20层，每平方米的平均综合费用的最小值为5 000元.
10.答案：设，，其中.
当时，，，解得，，
所以，，
设两项费用之和为z（单位：万元），
则.
当且仅当，即时，等号成立，
所以这家公司应该把仓库建在距离车站4千米处才能使两项费用之和最少，最少费用是7.2万元.
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