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第3章 不等式
3.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式
3.3.1 从函数观点看一元二次方程
学案
一、学习目标
1. 通过函数图象理解二次函数零点的概念，及其与一元二次方程之间的联系.
2. 能利用二次函数的图象和性质解决与二次函数零点有关的问题.
二、基础梳理
1. 二次函数的零点定义：一般地，一元二次方程的根就是二次函数当函数值取零时自变量的值，即二次函数的图象与轴交点的横坐标，也称为二次函数的零点.
2.当时，一元二次方程的根、二次函数的图象、二次函数的零点之间的关系如下表所示：
判别式
方程的根 有两个相异的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根
二次函数的图象
二次函数的零点 有两个零点 有一个零点 无零点
三、巩固练习
1．二次函数的零点是（ ）
A．， B．，1
C．， D．，
2．二次函数的零点个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
3．若函数经过点，则函数的零点是（ ）
A．0，2 B．0， C．0， D．2，
4．若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围为____________.
5．函数的零点是_____________.
6．若二次函数的两个零点分别是和，则的值为_____________.
7．如果函数有两个异号的零点，那么实数的取值范围是___________.
8．求下列函数的零点：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
9．设m为实数，已知二次函数的两个零点都在区间内，求m的取值范围.
10．已知二次函数.
（1）若二次函数有零点，求实数的取值范围；
（2）如果是满足（1）的最大整数，且二次函数的零点是二次函数的一个零点，求的值及二次函数的另一个零点.
参考答案
巩固练习
1．答案：A
解析：二次函数的零点就是的解，
解得，或，
故选A.
2．答案：C
解析：已知二次函数，
因为，所以二次函数有2个零点.
故选C.
3．答案：C
解析：函数经过点，，，
∴，
令，则，
所以函数的零点是0和．
故选C.
4．答案：或
解析：因为函数有两个不同的零点，
所以方程有两个不同的实数根.
所以，
解得或.
故答案为：或.
5．答案：2和0
解析：由题意，令即，解得或，
所以函数的零点是2和0.
故答案为：2和0.
6．答案：
解析：因为二次函数的两个零点分别是和，
所以一元二次方程的两个根分别是和，
由一元二次方程根与系数关系得：，解得，
因此，.
故答案为：
7．答案：
解析：设函数的两个零点为和，由题意得，，即，解得.
故答案为：.
8．答案：（1）－１和1；（2）0和4；（3）无零点；（4）1.
解析：（1）令，即，得，∴函数的零点为－１和1；
（2）令，即，得，∴函数的零点为0和4；
（3）令，即，得无实数解，∴函数在实数集内无零点；
（4）令，即，得，∴函数的零点为1.
9．答案：
解析：二次函数的图象是一条抛物线，
开口向上，对称轴方程为，
若它的两个零点都在区间内，
只需满足 ，
解得.
所以m的取值范围.
10．答案：（1）；（2），另一个零点为4.
解析：（1）由题意得，所以，解得.
（2）由（1）可知，
所以方程的根，二次函数的零点是，
∴二次函数的一个零点是，
∴方程的一个根为2，
∴，解得，
∴，解得或，
所以二次函数的另一个零点为4.
2

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