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第6章 幂函数、指数函数和对数函数
6.3 对数函数
学案
一、学习目标
1.理解对数函数的概念，会求对数函数的定义域.
2.能画出具体对数函数的图象，并掌握对数函数的性质.
2.能够利用对数函数的性质解决简单的数学问题.
二、基础梳理
1.对数函数：一般地，叫作对数函数，它的定义域是.
2.对数函数的性质如下表：
图象
性质 （1）定义域：
（2）值域：R
（3）图象过点
（4）在上是增函数； 当时，； 当时， 在上是减函数； 当时，； 当时，
3.反函数：当，时，称为的反函数. 反之，也称为的反函数. 一般地，如果函数存在反函数，那么它的反函数记作.
三、巩固练习
1.给出下列函数：
①；②；③；④.
其中是对数函数的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.已知函数，若其图象过点，则的值为( )
A.-2 B.2 C. D.
3.若函数是对数函数，则实数a的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.1或3
4.函数的定义域为( )
A. B.
C. D.
5.函数的图象大致是( )
A. B.
C. D.
6.函数，且的反函数的图象过点，则a的值为( )
A.2 B. C.2或 D.3
7.若函数(且)的图象恒过点，则点的坐标为( )
A. B. C. D.
8.若函数(，且)的定义域和值域均为，则a的值为( )
A.或4 B.或 C.或8 D.或16
9.已知函数在上单调递减，则a的取值范围为( )
A. B. C. D.
10.已知函数，若，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
11.若函数是函数的反函数，则的值为_______________.
12.已知函数的定义域、值域都为，则__________.
13.函数(，且)的图象经过的定点坐标为________________.
14.若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围为______.
15.设函数，其中.
（1）证明：是上的减函数；
（2）若，求x的取值范围.
16.已知函数(，且).
（1）当时，求函数的定义域；
（2）当时，求关于x的不等式的解集；
（3）当时，若不等式对任意实数恒成立，求实数m的取值范围.
答案以及解析
1.答案：A
解析：①②中，因为对数的真数不是只含有自变量x，所以不是对数函数；③中，因为对数的底数不是常数，所以不是对数函数；④是对数函数.故选A.
2.答案：B
解析：将点代入中，得，即，，，.故选B.
3.答案：C
解析：因为是对数函数，所以，解得或.由于，且，则舍去，即.故选C.
4.答案：D
解析：依题意得，，即，解得或.故选D.
5.答案：C
解析：由底数大于1可排除A、B，的图象可看作由的图象向左平移1个单位得到（或令，得，而且函数为增函数）.故选C.
6.答案：B
解析：解法一：函数(，且)的反函数为(，且)，故的图象过点，则.故选B.
解法二：函数(，且)的反函数的图象过点，函数(，且)的图象过点，，即.故选B.
7.答案：B
解析：当时，与a的值无关，点M的坐标为.故选B.
8.答案：B
解析：由题意知，①当时，，得，得，得，所以由，解得；
②当时，，得，得，得，代入，解得.故选B.
9.答案：D
解析：令.因为在上单调递减，所以函数在区间上单调递增，且恒大于0，所以且，所以且，所以.故选D.
10.答案：B
解析：由题可知的定义域满足，解得.
又，故为奇函数.
又，且在上为减函数，故为减函数.
，即，所以，所以.故选B.
11.答案：
解析：易得，.
12.答案：或3
解析：当时，函数为增函数，则，解得，
符合题意，此时；当时， 函数为增函数，则，
解得，，符合题意，此时.综上可得，的值为或3.
13.答案：
解析：因为(，且)，所以在中，取，解得，
故函数的图象过定点.
14.答案：
解析：由得，设，，要使时，不等式恒成立，只需在上的图象在图象的下方即可.当时，显然不成立；当时，如图所示：
要使在上恒成立，需，所以有，解得，所以.故实数a的取值范围是.
15.解析：（1）任取，，不妨令，，
则，.
又，，
是上的减函数.
（2），且，，.
，，从而.
的取值范围是.
16.解析：（1）当时，，
故，解得，
故函数的定义域为.
（2）由题意知，，其定义域为，
易知为上的增函数，
由得，不等式的解集为.
（3）设，，
设，易知为增函数，
又为定义域内的增函数，所以在上单调递增，
故.
对任意实数恒成立，
，
即.
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