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第7章 三角函数
7.4 三角函数应用
学案
一、学习目标
1.会用三角函数解决一些简单的实际问题.
2.体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型.
二、基础梳理
当物体做简谐运动（单摆、弹簧振子等）时，也是一种周期运动，其运动规律可以用三角函数表达为.
其中，x表示时间，y表示相对于平衡位置的偏离；
A表示物体运动时离开平衡位置的最大距离，称为振幅；
往复运动一次所需的时间称为这个运动的周期；
单位时间内往复运动的次数称为运动的频率；
称为相位，时的相位称为初相位.
三、巩固练习
1.如图所示的是一个单摆，以平衡位置OA为始边、OB为终边的角与时间满足函数关系式，则当时，角的大小，单摆的频率分别是( )
A.， B.2， C.， D.2，
2.音叉是呈“Y”型的钢质或铝合金发声器（如图1），各种音叉可因其质量和叉臂长短、粗细不同而在振动时发出不同频率的纯音.敲击某个音叉时，在一定时间内，音叉上点P离开平衡位置的位移y与时间t的函数关系为，图2是该函数在一个周期内的图象，根据图中数据可确定的值为( )
A.200 B.400 C. D.
3.商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一某商场的人流量满足函数，则下列时间段内人流量是增加的是( )
A. B. C. D.
4.在两个弹簧上各有一个小球做上下自由振动，它们的质量分别为和，已知它们在时间离开平衡位置的位移和分别由和确定，则当时，与的大小关系是( )
A. B. C. D.不能确定
5.电流强度I(A)随时间t(s)变化的函数的图象如图所示，则当时，电流强度是( )
A.-5A B.5A C.A D.10A
6.为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的平面直角坐标系，设秒针针尖指向位置.若初始位置为，秒针从（注：此时）开始沿顺时针方向走动，则点P的纵坐标y与时间t（秒）的函数关系式为( )
A. B.
C. D.
7.已知某简谐运动的振幅是，，图象上相邻最高点和最低点的距离是5，且过点，则该简谐运动的频率和初相是( )
A.， B.， C.， D.，
8.如图所示是一质点做简谐运动的图象，则下列结论中错误的是( )
A.该质点的运动周期为
B.该质点的振幅为
C.该质点在和时的运动速度最大
D.该质点在和时的运动速度为零
9.某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈（单位：千元，，，）的模型波动，（x为月份，且）.已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定的解析式为( )
A. B.
C. D.
10.一弹簧振子的位移y与时间t的函数关系式为，若弹簧振子运动的振幅为3，周期为，初相为，则这个函数的解析式为________________.
11.已知某种交流电的电流I(A)随时间t(s)的变化规律可以拟合为函数，，则这种交流电的电流在0.5 s内往复运动_________次.
12.国际油价在某一时间内呈现正弦波动规律：（单位：美元，t为天数，，），现采集到下列信息：最高油价80美元，当时，油价最低，则A的值为__________，的最小值为_______________.
13.如图所示，一半径为2米的水轮的圆心O距离水面1米，已知水轮自点M开始以1分钟旋转4圈的速度顺时针旋转，点M距水面的高度d（米）（在水平面下d为负数）与时间t（秒）满足函数关系式，则函数关系式为__________________.
14.已知电流在一个最小正周期内的图象如图所示.
（1）根据图中数据求的解析式；
（2）如果t在任意一段秒的时间内，电流都能取得最大值和最小值，那么的最小正整数值是多少？
15.如图所示，摩天轮的半径为40m，点O距地面的高度为50m，摩天轮做匀速转动，每3min转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在最低点处.
（1）试确定在时刻t min时，点P距离地面的高度；
（2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P距离地面超过70m？
16.某市通宵营业的一大型商场为响应节能减排的号召，在气温超过28℃时，才开放中央空调降温，否则关闭中央空调.如图是该市夏季一天的气温（单位：℃）随时间t（，单位：h）的大致变化曲线，若该曲线近似地满足函数.
（1）求这段曲线的函数解析式.
（2）该商场的中央空调应在本天内何时开启？何时关闭？
答案以及解析
1.答案：A
解析：当时，，由函数解析式易知单摆的周期为，故单摆的频率为.故选A.
2.答案：D
解析：由题图可得，，，即，则.故选D.
3.答案：C
解析：由，，得，，所以函数的增区间为，.当时，，而，故选C.
4.答案：C
解析：当时，；
当时，，故.故选C.
5.答案：A
解析：由图象知，，，，，又在图象上，，，又，，，当时，，故选A.
6.答案：C
解析：由题意，设函数关系式为，则函数的周期，，
，，，初始位置为，时，.，，函数关系式为.故选C.
7.答案：C
解析：设该简谐运动的最小正周期为T，由题意可知，，，则，，则，将点代人，得，即，，，该简谐运动的频率是，初相是.故选C.
8.答案：C
解析：设最小正周期为T，由题图可知，，所以，故A正确；y的最小值为，所以振幅为，故B正确；在和处图象的切线斜率等于零，所以该质点在和时的运动速度为零，故C错误，D正确.故选C.
9.答案：D
解析：3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，当时，函数有最大值9；当时，函数有最小值5，，，函数的最小正周期，由，得，当时，函数有最大值，，即，，取，得，函数的解析式为.故选D.
10.答案：
解析：由题意得，，，则，故所求函数的解析式为.
11.答案：25
解析：由知，所以该电流的周期，则这种交流电的电流在0.5 s内往复运动的次数.
12.答案：20；
解析：由得，因为当时油价最低，所以，，即，又，所以当时，取得最小值，此时.
13.答案：
解析：由题意知，水轮的半径为2米，水轮的圆心O距离水面1米，所以，
又水轮每分钟旋转4圈，所以转一圈需要15秒，
所以，解得.
当时，，则，即，
又，所以，
所以函数关系式为.
14.解析：(1)由图象可知，，最小正周期，
.
又由，得，.
又，.
(2)由题意得，即.
，，
的最小正整数值是943.
15.解析：（1）以中心O为坐标原点建立如图所示的坐标系，
设t min时P距地面的高度为y m，依题意得.
（2）令，
则，
，
，
.
令，得.
因此，摩天轮转动的一圈内，共有1min点P距离地面超过70m.
16.解析：（1）由图知，
所以，得.
由图知，，
所以.
因为点在曲线上，所以，
得，即，
又，所以.
所以所求解析式为.
（2）依题意，令，
得，
所以，
解得，
令，得，
故商场的中央空调应在上午10h开启，下午18h关闭.
2

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