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简谐运动的回复力和能量
知识点梳理
1.简谐运动的回复力
(1)回复力
①定义：振动物体偏离平衡位置后，所受到的使它回到平衡位置的力叫做回复力.
②回复力是根据力的作用效果命名的，它可以是弹力，也可以是其他力（包括摩擦力），或几个力的合力，或是某个力的分力，物体沿直线振动时回复力就是合外力，沿圆弧振动时回复力是合外力在圆弧切线方向上的分力.
③回复力的方向总是指向平衡位置，回复力为零的位置就是平衡位置（沿圆弧振动时，物体经平衡位置时回复力为零，但合外力不为零).
(2)简谐运动的动力学特征：回复力
①回复力中的是比例系数，并非弹簧的劲度系数，其值由振动系统决定，对水平弹簧振子，回复力仅由弹簧弹力提供，即为劲度系数，由弹簧决定，与振幅无关，其单位是.
②回复力的大小跟位移大小成正比，“—”号表示回复力与位移的方向相反.
③如果质点所受的回复力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，则质点的运动就是简谐运动.
(3)简谐运动的运动学特征：加速度
①简谐运动是一种变加速的往复运动，“—”号表示加速度方向与位移方向相反.
②一个物体是否做简谐运动，就是看它是否满足简谐运动的受力的特点或运动特征，即回复力是否满足或加速度是否满足.
例1、做简谐振动的物体，当振子的位移为负值时，以下说法中正确的是（　　）
A．速度一定为正值，加速度一定为负值
B．速度一定为负值，加速度一定为正值
C．速度不一定为正值，但加速度一定为正值
D．速度不一定为负值，但加速度一定为负值
例2、（多选）关于回复力，下列说法中正确的是（ ）
A．回复力就是物体所受各力中指向平衡位置的力
B．回复力一定是物体所受的合力
C．回复力是从力的效果来命名的，可以是弹力，也可以是摩擦力，还可以是几个力的合力
D．回复力与向心力都是以作用效果命名的
2.简谐运动的能量
(1)定义
做简谐运动的物体在振动中经过某一位置时所具有的势能和动能之和，称为简谐运动的能量.
(2)公式 ：,式中为回复力与位移的比例常数，为振动的振幅.
(3)关于简谐运动能量的说明
①做简谐运动的物体能量的变化规律：只有动能和势能的相互转化，对弹簧振子而言，机械能守恒. 对简谐运动来说，一旦供给系统一定的能量，使它开始振动，它就以一定的振幅永不停息地持续振动，简谐运动是一种理想化的振动.
振动过程是一个动能和势能不断转化的过程.
②简谐运动中的能量跟振幅有关，振幅越大，振动的能量越大.
在简谐运动中，振动的能量保持不变，所以振幅保持不变，只要没有能量损耗，它将永不停息地振动下去，因此简谐运动又称等幅振动.
③在振动的一个周期内，动能和势能完成两次周期性变化，经过平衡位置时动能最大，势能最小；经过最大位移处时，势能最大，动能最小.
例3、(多选)一质点做简谐运动的图象如图所示，则下列结论中，正确的是（ ）
A．质点速度最大而加速度为零的时刻分别是0.1 s、0.3 s
B．质点速度为零而加速度为负方向最大值的时刻分别是0、0.4 s
C．质点所受的回复力方向由正变负的时刻是0.3 s
D．振动系统势能最大而加速度为正方向最大值的时刻是0.3 s
二、技巧总结
1.简谐运动的判定方法
(1)简谐运动的位移一时间图象是正弦曲线或余弦曲线.
(2)简谐运动物体所受的力满足,即回复力与位移成正比且方向总相反. 用判定振动是否是简谐运动的步骤：
①找出振动的平衡位置；
②让物体沿振动方向偏离平衡位置的位移为；
③对物体进行受力分析；
④规定正方向（一般规定位移的方向为正），求出指向平衡位置的合力（回复力），判断是否符合.
例4、如图所示，劲度系数为k的弹簧上端固定在天花板上，下端挂一质量为m的小球，小球静止后，再向下将弹簧拉长x，然后放手，小球开始振动.
（1）请证明小球的振动为简谐运动；
（2）求小球振动的振幅；
（3）求小球运动到最高点的加速度 .
例5、如图所示，在光滑水平面上，用两根劲度系数分别为、的轻质弹簧系住一个质量为m的小球. 开始时，两弹簧均处于原长，后使小球向左偏离x后放手，可以看到小球将在水平面上做往复振动，试问小球是否做简谐运动？
2.做简谐运动的物体受力情况的分析方法
物体做简谐运动时，其运动的加速度时刻在变化.在分析物体的受力情况时，首先要判断出加速度的方向，然后根据牛顿第二定律分析出所要求的力.
对于连接体问题，可以利用整体法求出加速度，然后根据隔离法求相互作用力；也可以先利用相互作用力求出加速度，然后利用整体法求合外力.
例6、在光滑水平面上有一弹簧振子，弹簧的劲度系数为k,振子质量为M, 振动的最大速度为v. 如图所示，当振子在最大位移为A的时刻把质量为m的物体轻放其上，假定最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则：
(1)要保持物体和振子一起振动，二者间动摩擦因数至少是多少？
(2)物体和振子一起振动时，二者过平衡位置的速度多大？振幅又是多大？
3.简谐运动中位移、回复力、加速度、速度、动能、势能的变化规律
(1)位移的变化规律
振动中的位移都是以平衡位置为起点，因此，方向就是从平衡位置指向末位置的方向，大小就是这两位置间的距离，在两个“端点”时位移最大，在平衡位置位移为零.
(2)加速度与回复力的变化规律
加速度的变化与回复力的变化是一致的，在两个“端点”最大，在平衡位置为零，方向总指向平衡位置.
(3)速度变化规律
速度大小与加速度的变化恰好相反，在两个“端点”为零，在平衡位置最大，除两个“端点”外任何一个位置的速度方向都有两种可能.
(4)动能变化规律
动能大小与速度大小对应，在两端点为零，在平衡位置最大.
(5)势能变化规律
势能大小变化与动能大小变化恰好相反，在两端点最大，在平衡位置为零.
简谐运动的能量曲线
做简谐运动的物体在运动的过程中，只有回复力做功，存在着振子动能和系统势能之间的相互转化，振动的总能量等于动能和系统势能之和，即.简谐运动的振动方程为.振动的总能量 ①
其中 ②
③
右图甲表示简谐运动动能或势能随时间的变化曲线，图乙表示简谐运动的动能或势能随位移的变化曲线.由②式可知，势能曲线是通过坐标原点、且具有横向对称性的抛物线；而①式则表明，总能量曲线是一条平行于轴的水平线，它与势能曲线分别交于坐标为的点和的点. 由②③式可知，动能、势能随时间变化的周期都是振动周期的一半. 由于简谐运动的机械能与振幅的二次方成正比，所以对于确定的谐振子，振幅越大，振动越强烈，能量也就越大.振幅的二次方可用来表示简谐运动的强度. 这一结论对于其他形式的简谐运动系统同样适用.
三、针对练习
1.（多选）在下述各力中，属于根据力的性质命名的是（　　）
A．弹力 B．回复力 C．向心力 D．摩擦力
2.做简谐运动的物体，通过平衡位置时，其（　　）
A．合外力为零 B．回复力为零 C．加速度为零 D．速度为零
3.（多选）做简谐运动的振子每次通过同一位置时，相同的物理量是（ ）
A．速度 B．加速度 C．位移 D．动能
4.一个做简谐运动的物体，每次有相同的动能时，下列说法正确的是（ ）
A．一定具有相同的势能 B．一定具有相同的速度
C．一定具有相同的加速度 D．一定具有相同的位移
5.在水平方向上做简谐运动的弹簧振子如图所示，为平衡位置，振子在A、B之间振动，图示时刻振子所受的力有（ ）
A．重力、支持力和弹簧的弹力
B．重力、支持力、弹簧弹力和回复力
C．重力、支持力和回复力
D．重力、支持力、摩擦力和回复力
6.（多选）甲、乙两弹簧振子，振动图象如图所示，则可知（ ）
A．甲速度为零时，乙加速度最大
B．甲加速度为零时，乙速度最小
C．1.25s～1.5 s时间内，甲的回复力大小增大，乙的回复力
大小减小
D．甲、乙的振动频率之比
E．甲、乙的振幅之比
7.一平台竖直方向做简谐运动，一物体置于振动平台上随平台一起运动，当振动
平台处于什么位置时，物体对平台的压力最大（ ）
A．当振动平台运动到最高点时 B．当振动平台向下运动过振动中心时
C．当振动平台运动到最低点时 D．当振动平台向上运动过振动中心时
8.（多选）做简谐运动的弹簧振子，振子质量为,最大速率为, 则下列说法中正确的是（ ）
A．从某时刻算起，在半个周期的时间内，回复力做的功一定为零
B．从某时刻算起，在半个周期的时间内，回复力做的功可能是零到之间的某一个值
C．从某时刻算起，在半个周期的时间内，速度变化量一定为零
D．从某时刻算起，在半个周期的时间内，速度变化量的大小可能是零到之间的某一个值
9.公路上匀速行驶的货车受一扰动，车上货物随车厢底板上下振动但不脱离底板. 一段时间内货物在竖直方向的振动可视为简谐运动，周期为. 取竖直向上为正方向，以某时刻作为计时起点，即, 其振动图象如图所示，则（ ）
A．时，货物对车厢底板的压力最大
B．时，货物对车厢底板的压力最小
C．时，货物对车用底板的压力最大
D．时，货物对车用底板的压力最小
10.一个质点以O为中心做简谐运动，位移随时间变化的图像如图所示，a、b、c、d表示的原点在不同时刻的相应位置下，下列说法正确的（ ）
A．质点在位置b比位置d时相位超前
B．质点通过位置b时，相对平衡位置的位移
C．质点从位置a到c和从位置b到d所用时间相等
D．质点从位置a到b和从b到c的平均速度相等
11．一质点做简谐运动. 质点的位移随时间变化的规律如图所示，则从图中可以看出（　　）
A．质点做简谐运动的周期为5s
B．质点做简谐运动的振幅为4cm
C．t=2s时，质点的加速度最大
D．t=3s时，质点沿y轴负向运动
12.如图甲所示为以O点为平衡位置. 在A、B两点间做简谐运动的弹簧振子，图乙为这个弹簧振子的振动图像，由图可知下列说法中正确的是（　　）
A．在时，弹簧振子一定运动到B位置
B．在与两个时刻，弹簧振子的速度相同
C．从0到的时间内，弹簧振子的动能持续地减少
D．在与两个时刻，弹簧振子的加速度相同
13.把一个小球套在光滑细杆上，球与轻弹簧相连组成弹簧振子，小球沿杆在水平方向做简谐运动，它的平衡位置为O，在A、B间振动，如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．小球在O位置时，动能最大，加速度最小
B．小球在A、B位置时，动能最大，加速度最大
C．小球从A经O到B的过程中，回复力一直做正功
D．小球从A经O到B的过程中，回复力一直做负功
14.（多选）某鱼漂的示意图如图所示，O、M、N为鱼漂上的三个点. 当鱼漂静止时，水面恰好过点O. 用手将鱼漂向下压，使点M到达水面，松手后，鱼漂会上下运动，上升到最高处时，点N到达水面. 不考虑阻力的影响，下列说法正确的是（　 　）
A．鱼漂的运动是简谐运动
B．点O过水面时，鱼漂的速度最大
C．点M到达水面时，鱼漂具有向下的加速度
D．鱼漂由上往下运动时，速度越来越大
15.（多选）理论表明：弹簧振子的振动周期，总机械能与振幅A的平方成正比，即，k为弹簧的劲度系数，m为振子的质量. 如图，一劲度系数为k的轻弹簧一端固定，另一端连接着质量为m的物块，物块在光滑水平面上往复运动. 当物块运动到最大位移为A的时刻，把另一质量也为m的物块轻放在其上，两个物块始终一起振动设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g. 放上质量也为m的物块后，下列说法正确的是（　　）
A．物块振动周期变为原来的2倍
B．两物块之间的动摩擦因数至少为
C．物块经过平衡位置时速度为
D．系统的振幅可能减小
16.（多选）如图是一质点做简谐运动的振动图象，关于该质点的运动，下列说法正确的是（ ）
A．0.01s时质点的运动方向向下
B．0.025s和0.075s两个时刻的加速度大小和方向都相同
C．0.025s和0.075s两个时刻的速度大小相等，方向相反
D．0.125时刻速度和加速度的方向相同
E．00.3s时间内该质点通过的路程为3cm
17.（多选）如图所示，两根完全相同的弹簧和一根张紧的细线将甲、乙两物块束缚在光滑水平面上，已知甲的质量是乙的质量的4倍，弹簧振子做简谐运动的周期T＝2π，式中m为振子的质量，k为弹簧的劲度系数. 当细线突然断开后，两物块都开始做简谐运动，在运动过程中（ ）
A．甲的振幅是乙的振幅的4倍
B．甲的振幅等于乙的振幅
C．甲的最大速度是乙的最大速度的
D．甲的振动周期是乙的振动周期的2倍
E．甲的振动频率是乙的振动频率的2倍
18.如图所示，质量分别为2kg和3kg的A、B两物块，用劲度系数为k的轻弹簧相连后竖直放在水平面上，今用大小为F=45N的力把物块A向下压而使之静止，突然撤去压力，则（ ）
A．物块B有可能离开水平面
B．物块B不可能离开水平面
C．只要k足够小，物块B就可能离开水平面
D．只要k足够大，物块B就可能离开水平面
19.如图所示，一轻弹簧一端固定，另一端连接一物块构成弹簧振子，该物块是由、两个小物块粘在一起组成的.物块在光滑水平面上左右振动，振幅为,周期为. 当物块向右通过平衡位置时，、之间的粘胶脱开；以后小物块振动的振幅和周期分别为和,则（ ）
A.； B.； C.； D.；
20.如图所示，、叠放在光滑水平地面上，与自由长度为的轻弹簧相连，当系统振动时，、始终无相对滑动，已知，,当振子距平衡位置的位移时，系统加速度为,求、间摩擦力与位移的函数关系.
21.如图所示，质量为、倾角为的斜面体（斜面光滑且足够长)放在粗糙的水平地面上，底部与地面的动摩擦因数为,斜面顶端与劲度系数为、自然长度为的轻质弹簧相连，弹簧的另一端连接着质量为的物块.压缩弹簧使其长度为时将物块由静止开始释放，且物块在以后的运动中，斜面体始终处于静止状态.重力加速度为.
(1)求物块处于平衡位置时弹簧的长度；
(2)选物块的平衡位置为坐标原点，沿斜面向下为正方向建立坐标轴，用表示物块相对于平衡位置的位移，证明物块做简谐运动；
(3)求弹簧的最大伸长量；
(4)为使斜面体始终处于静止状态，动摩擦因数应满足什么条件（假设滑动摩擦力等于最大静摩擦力）？
答案
例题
例1.C 例2.CD 例3.ABC 例4.（1）略；（2）x；（3），方向竖直向下
例5.，令，因为力与位移反向，所以可以写成，得证
例6.（1）最大加速度，由，得
（2）由机械能守恒，，
最大弹性势能不变，所以振幅仍为
针对练习
1.AD 2.B 3.BCD 4.A 5.A 6.CDE 7.C 8.AD 9.C 10.C 11.C 12.C
13.A 14.AB 15.BC 16.BCE 17.BCD 18.B 19.A
20.解析：在距离平衡位置的位移时，，得 ①
当系统位移为时，对整体 ②
对有 ③ 联立①②③解得
21.（1）设物块在斜面上平衡时，弹簧伸长量为,有
解得，此时弹簧长度为
（2）当位移为时，弹簧伸长量为,
联立以上各式可得， 可知物块做简谐运动
（3）振幅，由对称性，最大伸长量为
（4）设物块位移为正，则斜面体受力如图，由于斜面体平衡，所以
水平方向
竖直方向
，
联立可得，
为使斜面体静止，结合牛三，应有
所以，当时达到最大值
有

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