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必考点20 竖直面内的圆周运动
题型一 拱形桥和凹形桥
如图，一辆质量的小汽车驶上一座半径的圆弧形拱桥。（取）
（1）汽车以的速度经过拱桥的顶部时，圆弧形拱桥对汽车的支持力是多大？
（2）汽车以多大速度通过拱桥的顶部时，汽车对圆弧形拱桥的压力恰好为零？
【解题技巧提炼】
拱形桥 凹形桥
图例
支持力/压力 根据受力分析和向心力的公式可得：解得： 根据受力分析和向心力的公式可得：解得：
讨论 汽车的速度越大，对地面的压力越小，当汽车的速度增大到时，汽车和桥面恰好脱离 汽车的速度越大，对地面的压力就越大
题型二 轻绳模型
一质量为的小球，用长为细绳拴住，在竖直平面内做圆周运动（取），求：
（1）若过最高点时的速度为，此时小球角速度多大？
（2）若过最高点时绳的拉力刚好为零，此时小球速度大小？
（3）若过最低点时的速度为，此时绳的拉力大小？
【解题技巧提炼】
轻绳模型
常 见 类 型 均是没有支撑的小球
过最高 点的临界条件 由得
讨论分析 1．过最高点时，v≥，FN+，绳、轨道对球产生弹力FN 2．当v＜时，不能过最高点，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道
题型三 轻杆模型
长的轻杆，其一端连接着一个零件A，零件的质量。现让零件在竖直平面内绕O点做匀速圆周运动，如图所示。在零件通过最高点时，g取，求下列两种情况下零件对杆的作用力：
（1）零件的线速度为1m/s；
（2）零件的线速度为4m/s。
【解题技巧提炼】
轻杆模型
常 见 均是有支撑的小球
类 型
过最高 点的临界条件 v临=0
讨论分析 1．当v=0时，FN=mg，FN为支持力，沿半径背离圆心 2．当0＜v＜时，，FN背离圆心，随v的增大而减小 3．当v=时，FN=0 4．当v>时，，FN指向圆心并随v的增大而增大
题型一 拱形桥和凹形桥
飞机进行特技表演时常做俯冲拉起运动，如图所示。此运动在最低点附近可看作是半径为的圆周运动。若飞行员的质量为，飞机经过最低点时的速度为，则这时候飞行员对坐椅的压力为多大？g取。
题型二 轻绳模型
如图所示，半径的光滑半圆环轨道处于竖直平面内，半圆环与水平地面相切于圆环的端点A。一小球从A点冲上竖直半圆环，沿轨道运动到B点飞出，最后落在水平地面上的C点（图上未画），g取10。
（1）能实现上述运动时，小球在B点的最小速度是多少？
（2）能实现上述运动时，A、C间的最小距离是多少？
题型三 轻杆模型
如图所示，半径为R，内径很小的光滑半圆管竖直放置，两个质量均为m的小球A、B以不同速率进入管内，A通过最高点C时，对管壁上部的压力为3mg，B通过最高点C时，对管壁下部的压力为0.75mg。求A、B两球落地点间的距离。
一、单选题
1．如图所示，将完全相同的两小球AB，用长L=0.8m的细绳悬于以v=4m/s向右匀速运动的小车顶部，两球与小车前后壁接触，由于某种原因，小车突然停止瞬间，两悬线中的张力之比TB：TA为（　　）
A．1：1 B．1：2 C．l：3 D．1：4
2．如图，当汽车通过拱桥顶点的速度为时，车对桥顶的压力为车重的，如果要使汽车在桥面行驶至桥顶时，对桥面的压力为零，则汽车通过桥顶的速度应为（　　）
A．15m/s B．20m/s C．25m/s D．30m/s
3．一质量为m的物体，沿半径为R的向下凹的半圆形轨道滑行，如图所示，经过最低点时的速度为v，物体与轨道之间的动摩擦因数为μ，则它在最低点时受到的摩擦力为（　　）
A．μmg B． C． D．
4．如图所示，质量为m的小汽车驶上半径为R的拱桥的过程，说法正确的是（　　）
A．若汽车到桥顶的压力为，汽车的速度大小为
B．若拱桥的半径一定，汽车行驶到桥顶的速度越大越安全
C．在汽车到桥顶的速度相同的情况下，拱桥的半径越大，汽车越安全
D．若拱桥的半径增大到与地球半径相同，汽车速度多大都不可能腾空飞起来
5．一竖直放置的光滑圆形轨道连同底座总质量为M，放在水平地面上，如图所示，一质量为m的小球沿此轨道做圆周运动，A、C两点分别是轨道的最高点和最低点，轨道的B、D两点与圆心等高，在小球运动过程中，轨道始终静止，重力加速度为g，则关于轨道底座对地面的压力FN的大小及地面对轨道底座的摩擦力方向，下列说法正确的是（　　）
A．小球运动到A点时，FN>Mg，摩擦力方向向左
B．小球运动到B点时FN＝Mg＋mg，摩擦力方向向右
C．小球运动到C点时，FN>Mg＋mg，地面对轨道底座无摩擦力
D．小球运动到D点，FN＝Mg，摩擦力方向向右
6．如图甲所示轻杆一端固定在O点另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F，小球在最高点的速度大小为，其图像如图乙所示不计空气阻力，则（　　）
A．当地的重力加速度大小为
B．小球的质量为
C．时，杆对小球的弹力方向向上
D．时，小球受到的弹力与重力大小相等
二、多选题
7．如图所示，一个内壁光滑的弯管处于竖直平面内，其中管道半径为R。现有一个半径略小于弯管横截面半径的光滑小球在弯管里运动，小球通过最高点时的速率为v0，重力加速度为g，则下列说法中正确的是（　　）
A．若v0=，则小球对管内壁无压力
B．若v0>，则小球对管内上壁有压力
C．若0 D．不论v0多大，小球对管内下壁都有压力
8．如图所示，长为l的轻杆，一端固定一个小球，另一端固定在光滑的水平轴上，使小球在竖直平面内做圆周运动，小球过最高点的速度为v，下列叙述中正确的是（　　）
A．v的值可以小于
B．当v由零逐渐增大时，小球在最高点所需向心力也逐渐增大
C．当v由值逐渐增大时，杆对小球的弹力逐渐增大
D．当v由值逐渐减小时，杆对小球的弹力逐渐减小
9．当汽车通过圆弧形凸桥时，下列说法中正确的是（　　）
A．汽车在桥顶通过时，对桥的压力一定小于汽车的重力
B．汽车通过桥顶时，速度越小，对桥的压力就越小
C．汽车所需的向心力由桥对汽车的支持力来提供
D．汽车通过桥顶时，若汽车的速度 （R为圆弧形桥面的半径），则汽车对桥顶的压力为零
10．轻绳一端固定在光滑水平轴O上，另一端系一质量为m的小球，在最低点给小球一初速度，使其在竖直平面内做圆周运动，且刚好能通过最高点P。下列说法正确的是（　　）
A．小球在最高点时对绳的拉力为零
B．小球在最高点时对绳的拉力大小为mg
C．若增大小球的初速度，则过最高点时球对绳的力一定增大
D．若增大小球的初速度，则在最低点时球对绳的力一定增大
三、解答题
11．图是某游乐场里的过山车。试分析过山车运动到A点和B点时它（包括车中乘客）的受力情况，并说明是什么力提供了它做圆周运动的向心力，设过山车与其中乘客的总质量为，通过A、B点的线速度分别是和，g取，求过山车对轨道A点和B点的压力。
12．如图是小型电动打夯机的结构示意图，电动机带动质量为m＝50 kg的重锤（重锤可视为质点）绕转轴O匀速运动，重锤转动半径为R＝0.5 m。电动机连同打夯机底座的质量为M＝25 kg，重锤和转轴O之间连接杆的质量可以忽略不计，重力加速度g取10 m/s2.。求：
（1）重锤转动的角速度为多大时，才能使重锤通过最高点时打夯机底座刚好离开地面？
（2）若重锤以上述的角速度转动，当打夯机的重锤通过最低位置时，打夯机对地面的压力为多大？必考点20 竖直面内的圆周运动
题型一 拱形桥和凹形桥
如图，一辆质量的小汽车驶上一座半径的圆弧形拱桥。（取）
（1）汽车以的速度经过拱桥的顶部时，圆弧形拱桥对汽车的支持力是多大？
（2）汽车以多大速度通过拱桥的顶部时，汽车对圆弧形拱桥的压力恰好为零？
【答案】 （1）；（2）
【解析】
（1）汽车过拱桥的顶部时在竖直方向受重力和支持力，根据牛顿第二定律有
解得
（2）汽车经过拱桥顶部时，对圆弧形拱桥的压力恰好为零，在竖直方向只受重力，由牛顿第二定律得
解得
【解题技巧提炼】
拱形桥 凹形桥
图例
支持力/压力 根据受力分析和向心力的公式可得：解得： 根据受力分析和向心力的公式可得：解得：
讨论 汽车的速度越大，对地面的压力越小，当汽车的速度增大到时，汽车和桥面恰好脱离 汽车的速度越大，对地面的压力就越大
题型二 轻绳模型
一质量为的小球，用长为细绳拴住，在竖直平面内做圆周运动（取），求：
（1）若过最高点时的速度为，此时小球角速度多大？
（2）若过最高点时绳的拉力刚好为零，此时小球速度大小？
（3）若过最低点时的速度为，此时绳的拉力大小？
【答案】 （1）；（2）；（3）50N
【解析】
（1） 当小球在最高点速度为4m/s时，可得角速度为
（2）通过最高点时绳子拉力为零，此时重力提供向心力
可得速度为
（3）通过最低点时，根据牛顿第二定律
代入数据解得
【解题技巧提炼】
轻绳模型
常 见 均是没有支撑的小球
类 型
过最高 点的临界条件 由得
讨论分析 1．过最高点时，v≥，FN+，绳、轨道对球产生弹力FN 2．当v＜时，不能过最高点，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道
题型三 轻杆模型
长的轻杆，其一端连接着一个零件A，零件的质量。现让零件在竖直平面内绕O点做匀速圆周运动，如图所示。在零件通过最高点时，g取，求下列两种情况下零件对杆的作用力：
（1）零件的线速度为1m/s；
（2）零件的线速度为4m/s。
【答案】 （1）16N，方向竖直向下；（2）44N，方向竖直向上
【解析】
（1）当v=1m/s时，设杆对A作用力为F，以向下为正方向
F=-16N
即方向竖直向上；由牛顿第三定律得，A对杆的作用力大小为16N，方向竖直向下。
（2）当v=m/s时，设杆对A作用力为F ，以向下为正方向
F =44N
方向竖直向下；由牛顿第三定律得，A对杆的作用力大小为44N，方向竖直向上。
【解题技巧提炼】
轻杆模型
常 见 类 型 均是有支撑的小球
过最高 点的临界条件 v临=0
讨论分析 1．当v=0时，FN=mg，FN为支持力，沿半径背离圆心 2．当0＜v＜时，，FN背离圆心，随v的增大而减小 3．当v=时，FN=0 4．当v>时，，FN指向圆心并随v的增大而增大
题型一 拱形桥和凹形桥
飞机进行特技表演时常做俯冲拉起运动，如图所示。此运动在最低点附近可看作是半径为的圆周运动。若飞行员的质量为，飞机经过最低点时的速度为，则这时候飞行员对坐椅的压力为多大？g取。
【答案】 1950N
【解析】
以飞行员为研究对象，设其受坐椅支持力为F，则有
其中m=65kg，v=360km/h=100m/s，R=500m
解得
由牛顿第三定律知飞行员对坐椅的压力为
F′=F=1950N
题型二 轻绳模型
如图所示，半径的光滑半圆环轨道处于竖直平面内，半圆环与水平地面相切于圆环的端点A。一小球从A点冲上竖直半圆环，沿轨道运动到B点飞出，最后落在水平地面上的C点（图上未画），g取10。
（1）能实现上述运动时，小球在B点的最小速度是多少？
（2）能实现上述运动时，A、C间的最小距离是多少？
【答案】 （1）2m/s；（2）0.8m。
【解析】
（1）设小球在B点的最小速度是 ，在B点由牛顿第二定律可得
解得
（2）能实现上述运动时，小球从B点开始做平抛运动，设A、C间的最小距离是x，由平抛运动规律可得
，
由上式解得
题型三 轻杆模型
如图所示，半径为R，内径很小的光滑半圆管竖直放置，两个质量均为m的小球A、B以不同速率进入管内，A通过最高点C时，对管壁上部的压力为3mg，B通过最高点C时，对管壁下部的压力为0.75mg。求A、B两球落地点间的距离。
【答案】 3R
【解析】
由题意可知，A通过最高点C时，管壁对小球向下的压力为3mg，由牛顿第二定律可得
B通过最高点C时，管壁对小球向上的支持力为0.75mg，由牛顿第二定律可得
两球从C点水平抛出后均做平抛运动，竖直方向上满足
A、B两球落地点间的水平距离为
联立可解得
一、单选题
1．如图所示，将完全相同的两小球AB，用长L=0.8m的细绳悬于以v=4m/s向右匀速运动的小车顶部，两球与小车前后壁接触，由于某种原因，小车突然停止瞬间，两悬线中的张力之比TB：TA为（　　）
A．1：1 B．1：2 C．l：3 D．1：4
【答案】 C
【解析】
设小球的质量都是m小车突然停止，则B球受到小车前壁的作用停止运动，对B球有：
FB=mg=10m
小车突然停止，则A球由于惯性，会向前摆动，做圆周运动，对A球有：
所以
两悬线中的张力之比TB：TA为1：3。
故选C
2．如图，当汽车通过拱桥顶点的速度为时，车对桥顶的压力为车重的，如果要使汽车在桥面行驶至桥顶时，对桥面的压力为零，则汽车通过桥顶的速度应为（　　）
A．15m/s B．20m/s C．25m/s D．30m/s
【答案】 B
【解析】
当汽车通过拱桥顶点的速度为10m/s时，车对桥顶的压力为车重的，根据牛顿第二定律可得
当汽车通过拱桥顶点对桥面的压力为零时，根据牛顿第二定律可得
联立两式可得
v2=2v1=20m/s
故选B。
3．一质量为m的物体，沿半径为R的向下凹的半圆形轨道滑行，如图所示，经过最低点时的速度为v，物体与轨道之间的动摩擦因数为μ，则它在最低点时受到的摩擦力为（　　）
A．μmg B． C． D．
【答案】 C
【解析】
在最低点由向心力公式得
FN－mg＝m
得
FN＝mg＋m
又由摩擦力公式有
Ff＝μFN＝μ（mg＋m）
故选C。
4．如图所示，质量为m的小汽车驶上半径为R的拱桥的过程，说法正确的是（　　）
A．若汽车到桥顶的压力为，汽车的速度大小为
B．若拱桥的半径一定，汽车行驶到桥顶的速度越大越安全
C．在汽车到桥顶的速度相同的情况下，拱桥的半径越大，汽车越安全
D．若拱桥的半径增大到与地球半径相同，汽车速度多大都不可能腾空飞起来
【答案】 C
【解析】
A．汽车到桥顶的压力为时，汽车所受合力为，根据合力提供向心力有
=m
汽车的速度
v=
故A错误；
B．当汽车在桥顶的速度大于，汽车将做离心运动而离开桥面发生危险，故汽车在桥顶的速度不是越大越安全，故B错误；
C．汽车离开桥顶做离心运动的临界条件是速度大于，可知半径越大时，临界速度越大，故汽车在行驶速度相同的情况下，半径越大汽车离临界速度越远，汽车行驶越安全，故C正确；
D．汽车做离心运动离开桥顶时的临界速度为，当R为地球半径R地时，汽车速度达到就能腾空飞起来，故D错误。
故选C。
5．一竖直放置的光滑圆形轨道连同底座总质量为M，放在水平地面上，如图所示，一质量为m的小球沿此轨道做圆周运动，A、C两点分别是轨道的最高点和最低点，轨道的B、D两点与圆心等高，在小球运动过程中，轨道始终静止，重力加速度为g，则关于轨道底座对地面的压力FN的大小及地面对轨道底座的摩擦力方向，下列说法正确的是（　　）
A．小球运动到A点时，FN>Mg，摩擦力方向向左
B．小球运动到B点时FN＝Mg＋mg，摩擦力方向向右
C．小球运动到C点时，FN>Mg＋mg，地面对轨道底座无摩擦力
D．小球运动到D点，FN＝Mg，摩擦力方向向右
【答案】 C
【解析】
A．小球在A点时，若v＝，则轨道对小球的作用力为零，有
FN＝Mg
若v>，则轨道对小球有向下的弹力，所以小球对轨道有向上的弹力，有
FN若v<，则轨道对小球有向上的弹力，所以小球对轨道有向下的弹力，有
FN>Mg
在这三种情况下，轨道底座在水平方向上均没有运动趋势，不受摩擦力，故A错误；
B．小球在B点时，根据
FN球＝m
可知，轨道对小球有向右的弹力，则小球对轨道有向左的弹力，底座受到向右的摩擦力，压力
FN＝Mg
故B错误；
C．小球运动到C点时，根据
FN球′－mg＝m
可知，轨道对小球有向上的支持力，则小球对轨道有向下的压力，压力大小大于mg，则底座对地面的压力
FN>mg＋Mg
底座在水平方向上没有运动趋势，不受摩擦力，故C正确；
D．小球运动到D点时，根据
FN球″＝m
可知，轨道对小球有向左的弹力，则小球对轨道有向右的弹力，轨道底座所受的摩擦力方向向左，压力
FN＝Mg
故D错误。
故选C。
6．如图甲所示轻杆一端固定在O点另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F，小球在最高点的速度大小为，其图像如图乙所示不计空气阻力，则（　　）
A．当地的重力加速度大小为
B．小球的质量为
C．时，杆对小球的弹力方向向上
D．时，小球受到的弹力与重力大小相等
【答案】 D
【解析】
A．由题图乙可知，当时，杆与小球间弹力为0，有
则重力加速度
选项A错误；
B．当小球速度时弹力为支持力方向向上，由牛顿第二定律得
因此有
此时图线的斜率为
则
选项B错误；
C．当时，杆对小球的弹力为拉力，方向向下，选项C错误；
D．当时，弹力方向向下，因此有
与时相比较，得杆对小球弹力的大小为mg，选项D正确。
故选D。
二、多选题
7．如图所示，一个内壁光滑的弯管处于竖直平面内，其中管道半径为R。现有一个半径略小于弯管横截面半径的光滑小球在弯管里运动，小球通过最高点时的速率为v0，重力加速度为g，则下列说法中正确的是（　　）
A．若v0=，则小球对管内壁无压力
B．若v0>，则小球对管内上壁有压力
C．若0 D．不论v0多大，小球对管内下壁都有压力
【答案】 ABC
【解析】
A．在最高点，只有重力提供向心力时，由
解得
此时小球对管内壁无压力，选项A正确；
B．若v0>，则有
表明小球对管内上壁有压力，选项B正确；
C．若0＜v0＜，则有
表明小球对管内下壁有压力，选项C正确；
D．综上分析，选项D错误。
故选ABC。
8．如图所示，长为l的轻杆，一端固定一个小球，另一端固定在光滑的水平轴上，使小球在竖直平面内做圆周运动，小球过最高点的速度为v，下列叙述中正确的是（　　）
A．v的值可以小于
B．当v由零逐渐增大时，小球在最高点所需向心力也逐渐增大
C．当v由值逐渐增大时，杆对小球的弹力逐渐增大
D．当v由值逐渐减小时，杆对小球的弹力逐渐减小
【答案】 ABC
【解析】
A．细杆拉着小球在竖直平面内做圆周运动，在最高点的最小速度为零，故A正确；
B．根据知，速度增大，向心力增大，故B正确；
C．当v＝时，杆的作用力为零，当v>时，杆的作用力表现为拉力，速度增大，拉力增大，故C正确；
D．当v<时，杆的作用力表现为支持力，速度减小，支持力增大，故D错误；
故选ABC。
9．当汽车通过圆弧形凸桥时，下列说法中正确的是（　　）
A．汽车在桥顶通过时，对桥的压力一定小于汽车的重力
B．汽车通过桥顶时，速度越小，对桥的压力就越小
C．汽车所需的向心力由桥对汽车的支持力来提供
D．汽车通过桥顶时，若汽车的速度 （R为圆弧形桥面的半径），则汽车对桥顶的压力为零
【答案】 AD
【解析】
AC.当汽车过桥顶时，汽车做圆周运动的向心力由汽车的重力和桥顶对汽车支持力的合力提供，有
mg－FN＝m，
得：
所以汽车过桥顶时，汽车对桥的压力一定小于汽车的重力，故A项与题意相符，C项与题意不相符；
C.由，当v增大时，FN减小，故B项与题意不相符；
D.当FN＝0时有mg＝，可得v＝，故D项与题意相符．
10．轻绳一端固定在光滑水平轴O上，另一端系一质量为m的小球，在最低点给小球一初速度，使其在竖直平面内做圆周运动，且刚好能通过最高点P。下列说法正确的是（　　）
A．小球在最高点时对绳的拉力为零
B．小球在最高点时对绳的拉力大小为mg
C．若增大小球的初速度，则过最高点时球对绳的力一定增大
D．若增大小球的初速度，则在最低点时球对绳的力一定增大
【答案】 ACD
【解析】
AB．在最高点小球可能受重力和绳的拉力作用，合力提供圆周运动的向心力，由
T＋mg＝
知，速度越大绳的拉力越大，速度越小绳的拉力越小，绳的拉力有最小值0，故速度有最小值，因为小球恰好能通过最高点，故在最高点时的速度为，此时绳的拉力为0，所以A正确，B错误；
C．根据牛顿第二定律，在最高点时有
T＋mg＝
小球初速度增大，则在最高点速度增大，则绳的拉力增大，所以C正确；
D．小球在最低点时，合力提供圆周运动的向心力，有
T－mg＝
增大小球的初速度时，小球所受绳的拉力增大，所以D正确；
故选ACD。
三、解答题
11．图是某游乐场里的过山车。试分析过山车运动到A点和B点时它（包括车中乘客）的受力情况，并说明是什么力提供了它做圆周运动的向心力，设过山车与其中乘客的总质量为，通过A、B点的线速度分别是和，g取，求过山车对轨道A点和B点的压力。
【答案】 见解析，，方向竖直向下，，方向竖直向下
【解析】
过山车运动到A点时受到重力和轨道对它的支持力，由支持力和重力的合力提供它做圆周运动的向心力；过山车运动到B点时受到重力和轨道对它的支持力，由重力和支持力的合力提供它做圆周运动的向心力。
运动到A点时，由牛顿第二定律，可得
代入数据，解得
根据牛顿第三定理可知，过山车对轨道A点的压力大小为，方向竖直向下；
运动到B点时，由牛顿第二定律，可得
代入数据，解得
根据牛顿第三定理可知，过山车对轨道B点的压力大小为，方向竖直向下。
12．如图是小型电动打夯机的结构示意图，电动机带动质量为m＝50 kg的重锤（重锤可视为质点）绕转轴O匀速运动，重锤转动半径为R＝0.5 m。电动机连同打夯机底座的质量为M＝25 kg，重锤和转轴O之间连接杆的质量可以忽略不计，重力加速度g取10 m/s2.。求：
（1）重锤转动的角速度为多大时，才能使重锤通过最高点时打夯机底座刚好离开地面？
（2）若重锤以上述的角速度转动，当打夯机的重锤通过最低位置时，打夯机对地面的压力为多大？
【答案】 （1）rad/s；（2）1 500 N
【解析】
（1）当拉力大小等于电动机连同打夯机底座的重力时，才能使打夯机底座刚好离开地面
有
FT＝Mg
对重锤有
mg＋FT＝mω2R
解得
ω＝ ＝ rad/s
（2）在最低点，对重锤有
FT′－mg＝mω2R
则
FT′＝Mg＋2mg
对打夯机有
FN＝FT′＋Mg＝2（M＋m）g＝1500 N
由牛顿第三定律得
FN′＝FN＝1 500 N。

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