资源简介

直线与圆锥曲线的位置关系（2）
一、 中垂线问题
1、中垂线基本模型
中垂线基本问题的特点：
形式：已知直线 与曲线交于 、 两点，若线段 的中垂线交于……等形式
求解方法：这种题型主要利用直线 与其中垂线既垂直又平分两个特点
第一步：设直线 解析式；联立曲线与直线 方程
第二步：由于交于两点，这种问题都是判别式 的不等式
第三步：利用韦达，表示出线段 的中点
第四步：利用直线 与中垂线垂直，斜率相乘等于 建立等式
注：在中垂线问题中，直线的斜率与中垂线的斜率都存在；但是需要讨论斜率是否为 的情况.
2、等腰三角形模型
等腰三角形模型特点
形式：已知直线 与曲线交于 、 两点，且 或者 为等腰三角形……等等形式
求解方法：这种题型还是主要利用中垂线性质：利用直线 与其中垂线既垂直又平分两个特点
第一步：设直线联立：设直线 方程（在设直线方程时，根据题意，考虑斜率是否存在问题）；联立曲
线与直线
第二步：判别式 的：由于交于两点，这种问题都是判别式 的不等式
第三步：求中点：设 中点坐标，利用韦达，表示出线段 的中点
第四步：求斜率：利用直线 与中垂线垂直，斜率相乘等于 建立等式即：
．这样求出中垂线方程进行解题
注：①弦 的中点 的坐标为 ，其中 ．
1
②题设中除了会说三角形 为等腰三角形，也可以说 在以点 为圆心的圆上，转化成垂径定理，
依然沿用了等腰三角形的解题思路．
3、等边三角形模型
形式：①已知直线 与曲线交于 、 两点， 为等边三角形，求直线 的方程或求参数值与范围
②已知直线 与曲线交于 、 两点........判断 能否为等边三角形？
求解方法：这种题型是建立在等腰三角形的基础上的，即还是主要利用中垂线性质：利用直线 与其中
垂线既垂直又平分两个特点；进一步加入等边三角形的性质 即可；当求解过程
中， 的长度可用到弦长公式， 的长度可用到两点间的距离公式．
4、菱形模型
形式：①已知直线 与曲线交于 、 两点，四边形 为菱形.......,求直线 的方程或求参数值与范围
②已知直线 与曲线交于 、 两点........判断 能否为菱形？
求解方法：这种题型是主要根据菱形对角线相互垂直与平分的性质，即还是主要利用中垂线性质：利用
直线 与其中垂线既垂直又平分两个特点；进一步加入菱形的对称性特点；对顶点关于对角线连线的交
点对称。如：若求出 的中点坐标，和已知 点坐标，可利用中点坐标公式求解
经典例题
已知 是椭圆 上两点，点 的坐标为 ．
（ 1 ）当 两点关于 轴对称，且 为等边三角形时，求 的长．
（ 2 ）当 两点不关于 轴对称时，证明： 不可能为等边三角形．
2
巩固练面直角坐标系 中，点 到两点 ， 的距离之和为 ，设点 的轨迹为曲线
．
（ 1 ）写出 的方程；
（ 2 ）设过点 的斜率为 （ ）的直线 与曲线 交于不同的两点 ， ，点 在 轴上，
且 ，求点 纵坐标的取值范围．
二、 向量点乘问题
1、向量点乘问题模型（1）
向量点乘（数量积）特点：
形式：在圆锥曲线的题干条件中出现向量的点乘，可能是关于向量点乘的一个等式，或者是一个不等
式．
特点：将向量点乘转化成点的坐标表示之后，可以联立方程，利用韦达定理代入求解．
在处理向量点乘问题时我们经常会用到下面的计算：
例：联立 的交点为 ， 求
我们可以用常规的方法展开整理成韦达定理的方法计算，我们还可以用下面赋值法的方法：
联立得
即
令 得
所以
2、向量点乘问题模型（2）
3
向量点乘（数量积）：
形式：在圆锥曲线的题干条件中出现“两条直线垂直”、“锐角（钝角）”、“以某两点为直径的圆过
第三点”、“某一点在以另外两点为直径的圆内”等类似的描述．
特点：将以上这些条件转化成向量点乘的形式，进一步转化成点的坐标表示，联立方程，利用韦达定理
代入求解．
经典例题
1. 已知椭圆 的离心率 ，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为
．
（ 1 ）求椭圆的方程；
（ 2 ）设直线 与椭圆相交于不同的两点 ， ．已知点 的坐标为 ．
1 若 ，求直线 的倾斜角：
2 若点 在线段 的垂直平分线上，且 ．求 的值．
2. 已知 ， 是椭圆 的两个顶点，过其右焦点 的直线 与椭圆交于 ， 两
点，与 轴交于 点（异于 ， 两点），直线 与直线 交于 点．
（ 1 ）当 时，求直线 的方程．
（ 2 ）求证： 为定值．
3. 过椭圆 上一点 向 轴作垂线，垂足为右焦点 ， 、 分别为椭圆
的左顶点和上顶点，且 ， ．
（ 1 ）求椭圆 的方程．
4
（ 2 ）若动直线 与椭圆 交于 、 两点，且以 为直径的圆恒过坐标原点 ．问是否存在一个
定圆与动直线 总相切．若存在，求出该定圆的方程；若不存在，请说明理由．
4. 已知椭圆 ： 的离心率为 ，右顶点为 ，下顶点为 ，点 满
足 ．
（ 1 ）求椭圆 的方程．
（ 2 ）不垂直于坐标轴的直线 与椭圆 交于 ， 两点，以 为直径的圆过原点，且线段 的
垂直平分线过点 ，求直线 的方程．
巩固练习
1. 已知点 在椭圆 ： 上，且点 到 的左、右焦点的距离
之和为 ．
（ 1 ）求 的方程．
（ 2 ）设 为坐标原点，若 的弦 的中点在线段 （不含端点 ， ）上，求 的取值
范围．
2. 已知椭圆 ： ，过点 的直线 交椭圆 于点 ， ．
5
（ 1 ）当直线 与 轴垂直时，求 ．
（ 2 ）在 轴上是否存在定点 ，使 为定值？若存在，求点 的坐标及 的值；若不
存在，说明理由．
3. 已知椭圆 的左焦点 为圆 的圆心，且椭圆上的点到点
的距离最小值为 ．
（ 1 ）求椭圆方程．
（ 2 ）已知经过点 的动直线 与椭圆交于不同的两点 、 ，点 ，证明： 为
定值．
4. 已知点 ， 分别为椭圆 的左，右顶点，点 ，直线 交 于
点 ， 且 是等腰直角三角形．
（ 1 ）求椭圆 的方程．
（ 2 ）设过点 的动直线 与 相交于 ， 两点，当坐标原点 位于以 为直径的圆外时，求直
线 斜率的取值范围．
6
三、 向量共线问题
1. 向量共线问题
1、向量共线问题的特点
特点：有的是直接给出两个向量之间的共线关系；有的是给出一些条件，然后利用这些条件转化成长度
或者向量的关系．
思路：不管是题目直接给出向量关系，还是由其他条件转化，最后一般都是代入点的坐标，转化成坐标
的关系，结合韦达定理来求解．
2、向量共线问题的计算
我们经常在处理向量共线问题的时候需要联立 ， 和 ，和我们常见
的韦达整体带入不同，让我们的计算带来很多困扰，这时候我们可以利用下面的式子：
从而整体带入，当然用 算也是同理，我们就看 与 哪个是这样的形式
所以这样的方法只适用于其中一点在 轴上或者在 轴上
经典例题
1. 已知椭圆 ，椭圆 以 的长轴为短轴，且与 有相同的离心率．
（ 1 ）求椭圆 的方程；
（ 2 ）设 为坐标原点，点 分别在椭圆 和 上， ，求直线 的方程．
2. 已知抛物线 ： ，过抛物线 的焦点 且垂直于 轴的直线交抛物线 于 ， 两
点， ．
（ 1 ）求抛物线 的方程，并求其焦点 的坐标和准线 的方程．
（ 2 ）过抛物线 的焦点 的直线与抛物线 交于不同的两点 ， ，直线 与准线 交于点 ．连
接 ，过点 作 的垂线与准线 交于点 ．求证： ， ， 三点共线．
7
3. 已知抛物线 经过点 ．过点 的直线 与抛物线 有两个不同的交点 ， ，
且直线 交 轴于 ，直线 交 轴于 ．
（ 1 ）求直线 的斜率的取值范围．
（ 2 ）设 为原点， ， ，求证： 为定值．
巩固练习
1. 过抛物线 的焦点 的直线交抛物线于 、 两点，抛物线在 、 两点处的切线交于点
．
（ 1 ）证明点 落在抛物线 的准线上．
（ 2 ）设 ，求 的面积．
2. 在平面直角坐标系 中，点 在椭圆 上，过点 的直线 的方程
为 ．
（ 1 ）求椭圆 的离心率．
（ 2 ）若直线 与 轴、 轴分别相交于 ， 两点，试求 面积的最小值．
（ 3 ）设椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，点 与点 关于直线 对称，求证：点 ， ， 三点
共线．
8
思维导图
你学会了吗？画出思维导图总结本节课所学吧！
出门测
1. 已知椭圆 的长轴长是短轴长的 倍，且过点 ．
（ 1 ）求椭圆 的方程．
（ 2 ）四边形 的顶点都在椭圆 上，且对角线 ， 过原点 ，若直线 与 的斜率
之积为 ，求证： ．
2. 已知椭圆 的焦距为 ，且与椭圆 有相同的离心率，斜率
为 的直线 经过 ，与椭圆 交于不同两点 ， ．
（ 1 ）求椭圆 的标准方程．
（ 2 ）当椭圆 的右焦点 在以 为直径的圆内时，求 的取值范围．
3. 已知：过点 斜率为 的直线 与： 相交与 、 两点．
（ 1 ）求实数 的取值范围．
（ 2 ）求证： 为定值．
9
（ 3 ）若 为坐标原点，且 ，求 的值．
10直线与圆锥曲线的位置关系（2）
学习目标
1．掌握中垂线问题模型求解问题并熟练运用．
2．掌握向量点乘问题模型求解问题并熟练运用．
3．掌握向量共线问题特点并熟练运用．
【备注】1.本讲的重点是掌握利用中垂线条件解题、会将一些已知条件转化为向量点乘来求解、掌
握会将圆锥曲线中的向量问题转化成坐标问题；难点是选择合适的直线和圆锥曲线联立，
得到韦达定理．．
2.关联知识：直线与方程、椭圆、双曲线、抛物线．
一、 中垂线问题
1、中垂线基本模型
中垂线基本问题的特点：
形式：已知直线 与曲线交于 、 两点，若线段 的中垂线交于……等形式
求解方法：这种题型主要利用直线 与其中垂线既垂直又平分两个特点
第一步：设直线 解析式；联立曲线与直线 方程
第二步：由于交于两点，这种问题都是判别式 的不等式
第三步：利用韦达，表示出线段 的中点
第四步：利用直线 与中垂线垂直，斜率相乘等于 建立等式
注：在中垂线问题中，直线的斜率与中垂线的斜率都存在；但是需要讨论斜率是否为 的情况.
2、等腰三角形模型
等腰三角形模型特点
1
形式：已知直线 与曲线交于 、 两点，且 或者 为等腰三角形……等等形式
求解方法：这种题型还是主要利用中垂线性质：利用直线 与其中垂线既垂直又平分两个特点
第一步：设直线联立：设直线 方程（在设直线方程时，根据题意，考虑斜率是否存在问题）；联立曲
线与直线
第二步：判别式 的：由于交于两点，这种问题都是判别式 的不等式
第三步：求中点：设 中点坐标，利用韦达，表示出线段 的中点
第四步：求斜率：利用直线 与中垂线垂直，斜率相乘等于 建立等式即：
．这样求出中垂线方程进行解题
注：①弦 的中点 的坐标为 ，其中 ．
②题设中除了会说三角形 为等腰三角形，也可以说 在以点 为圆心的圆上，转化成垂径定理，
依然沿用了等腰三角形的解题思路．
3、等边三角形模型
形式：①已知直线 与曲线交于 、 两点， 为等边三角形，求直线 的方程或求参数值与范围
②已知直线 与曲线交于 、 两点........判断 能否为等边三角形？
求解方法：这种题型是建立在等腰三角形的基础上的，即还是主要利用中垂线性质：利用直线 与其中
垂线既垂直又平分两个特点；进一步加入等边三角形的性质 即可；当求解过程
中， 的长度可用到弦长公式， 的长度可用到两点间的距离公式．
4、菱形模型
形式：①已知直线 与曲线交于 、 两点，四边形 为菱形.......,求直线 的方程或求参数值与范围
②已知直线 与曲线交于 、 两点........判断 能否为菱形？
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求解方法：这种题型是主要根据菱形对角线相互垂直与平分的性质，即还是主要利用中垂线性质：利用
直线 与其中垂线既垂直又平分两个特点；进一步加入菱形的对称性特点；对顶点关于对角线连线的交
点对称。如：若求出 的中点坐标，和已知 点坐标，可利用中点坐标公式求解
经典例题
已知 是椭圆 上两点，点 的坐标为 ．
（ 1 ）当 两点关于 轴对称，且 为等边三角形时，求 的长．
（ 2 ）当 两点不关于 轴对称时，证明： 不可能为等边三角形．
【备注】本题考查中垂线中等边三角形模型，利用其求解步骤求解即可
【答案】（ 1 ）当 时， ；当 时， ．
（ 2 ）证明见解析．
【解析】（ 1 ）设 ， ，
因为 为等边三角形，所以 ．
又点 在椭圆上，
所以 消去 ，
得到 ，解得 或 ，
当 时， ；
当 时， ．
{说明：若少一种情况扣 分}
（ 2 ）方法一：根据题意可知，直线 斜率存在．
设直线 ： ， ， ， 中点为 ，
联立 消去 得 ，
由 得到 ①
所以 ，
3
，
所以 ，又
如果 为等边三角形，则有 ，
所以 ， 即 ，
化简 ，②
由②得 ，代入①得 ，
化简得 ，不成立，
{此步化简成 或 或 都给
分}
故 不能为等边三角形．
方法二：设 ，则 ，且 ，
所以 ，
设 ，同理可得 ，且
因为 在 上单调
所以，有 ，
因为 不关于 轴对称，所以 ．
所以 ，
所以 不可能为等边三角形．
【标注】【知识点】中点弦问题；弦长求解问题
巩固练面直角坐标系 中，点 到两点 ， 的距离之和为 ，设点 的轨迹为曲线
．
（ 1 ）写出 的方程；
（ 2 ）设过点 的斜率为 （ ）的直线 与曲线 交于不同的两点 ， ，点 在 轴上，
且 ，求点 纵坐标的取值范围．
4
【答案】（ 1 ） 的方程为 ．
（ 2 ）点 纵坐标的取值范围是 ．
【解析】（ 1 ）由题设知 ，
根据椭圆的定义， 的轨迹是焦点为 ， ，长轴长为 的椭圆，
设其方程为
则 ， ， ，所以 的方程为 ．
（ 2 ）依题设直线 的方程为 ．将 代入 并整理得，
． ．
设 ， ，
则 ， ．．
设 的中点为 ，则 ， ，即
．
因为 ，
所以直线 的垂直平分线的方程为 ，
令 解得， ，
当 时，因为 ，所以 ；
当 时，因为 ，所以 ．
综上得点 纵坐标的取值范围是 ．
【标注】【知识点】直线和椭圆的位置关系；椭圆的标准方程；直线的垂直；倾斜角和斜率的概
念；基本不等式的实际应用；利用基本不等式求最值
二、 向量点乘问题
1、向量点乘问题模型（1）
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向量点乘（数量积）特点：
形式：在圆锥曲线的题干条件中出现向量的点乘，可能是关于向量点乘的一个等式，或者是一个不等
式．
特点：将向量点乘转化成点的坐标表示之后，可以联立方程，利用韦达定理代入求解．
在处理向量点乘问题时我们经常会用到下面的计算：
例：联立 的交点为 ， 求
我们可以用常规的方法展开整理成韦达定理的方法计算，我们还可以用下面赋值法的方法：
联立得
即
令 得
所以
2、向量点乘问题模型（2）
向量点乘（数量积）：
形式：在圆锥曲线的题干条件中出现“两条直线垂直”、“锐角（钝角）”、“以某两点为直径的圆过
第三点”、“某一点在以另外两点为直径的圆内”等类似的描述．
特点：将以上这些条件转化成向量点乘的形式，进一步转化成点的坐标表示，联立方程，利用韦达定理
代入求解．
经典例题
1. 已知椭圆 的离心率 ，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为
．
（ 1 ）求椭圆的方程；
（ 2 ）设直线 与椭圆相交于不同的两点 ， ．已知点 的坐标为 ．
1 若 ，求直线 的倾斜角：
2 若点 在线段 的垂直平分线上，且 ．求 的值．
6
【备注】本题考查向量点乘基本问题，根据所给式子建立等式求参即可
【答案】（ 1 ） ；
（ 2 ）1 或 ；
2 或 ．
【解析】（ 1 ）由 ，得 ．再由 ，解得 ． 由题意可知
，即 ． 解方程组 ，，得 ， ． 所以椭圆的方程
为 ．
（ 2 ）1 由（I）可知点 的坐标是（-2，0），设点 的坐标为 ，直线 的斜率为 ．则直
，
线 的方程为 ． 于是 、 两点的坐标满足方程组 消去
并整理，得 ． 由 ，得
．从而 ． 所以
． 由 ，得
． 整理得 ，即 ，
解得 ． 所以直线 的倾斜角为 或 ．
2 设线段 的中点为 ，由（i）得 的坐标为 ． 以下分两种
情况： ①当 时，点 的坐标是（2，0），线段 的垂直平分线为 轴，于是
， ．由 ，得 ． ②当
时，线段 的垂直平分线方程为 ． 令 ，
解得 ． 由 ， ．
， 整理得 ．故 ．所以 ．
综上， 或 ．
【标注】【知识点】弦长求解问题；中点弦问题
2. 已知 ， 是椭圆 的两个顶点，过其右焦点 的直线 与椭圆交于 ， 两
点，与 轴交于 点（异于 ， 两点），直线 与直线 交于 点．
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（ 1 ）当 时，求直线 的方程．
（ 2 ）求证： 为定值．
【备注】本题同样利用题中条件求出 、 点坐标进而求向量点乘的值
【答案】（ 1 ） 或 ．
（ 2 ）见解析．
【解析】（ 1 ）由题设条件可知，直线 的斜率一定存在， ，
设直线 的方程为 （ 且 ）．
由 ，消去 并整理，得 ．
设 ， ，则 ， ，
∴
．
由已知，得 ，解得 ．
故直线 的方程为 或 ，
即 或 ．
（ 2 ）由 ， ， ， ，得
直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
联立两条直线方程并消去 ，得 ，
∴ ．
由（ ），知 ， ， ，
，
∴
8
，
，
∴ ，则 ．
又 ，∴ ．
故 为定值．
【标注】【知识点】定值问题（证明、探究）；弦长求解问题；直线和椭圆的位置关系
3. 过椭圆 上一点 向 轴作垂线，垂足为右焦点 ， 、 分别为椭圆
的左顶点和上顶点，且 ， ．
（ 1 ）求椭圆 的方程．
（ 2 ）若动直线 与椭圆 交于 、 两点，且以 为直径的圆恒过坐标原点 ．问是否存在一个
定圆与动直线 总相切．若存在，求出该定圆的方程；若不存在，请说明理由．
【备注】本题（2），圆周角定理：直径所对的圆周角为直角，再利用当角度为直角时，向量点乘为
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ）原点 到直线 的距离为定值 ，存在定圆 总与直线 相切．
【解析】（ 1 ）由题意得 ，所以 ， ．
由 ，得 ，解得 ， ，
由 ，得 ， ，
椭圆 的方程为 ．
（ 2 ）假设存在这样的圆．
9
设 ， ．
由已知，以 为直径的圆恒过原点 ，即 ，
所以 ，
当直线 垂直于 轴时， ， ，所以 ，
又 ，解得 ，
不妨设 ， 或 ， ，
即直线 的方程为 或 ，
此时原点 到直线 的距离为 ．
当直线 的斜率存在时，可设直线 的方程为 ，
解 消去 得方程： ，
因为直线 与椭圆 交于 ， 两点，
所以方程的判别式 ，即 ，
且 ， ．
由 ，
得 ，
所以 ，
整理得 （满足 ）．
所以原点 到直线 的距离 ．
综上所述，原点 到直线 的距离为定值 ，
即存在定圆 总与直线 相切．
【标注】【知识点】直线和椭圆的位置关系；向量问题
4. 已知椭圆 ： 的离心率为 ，右顶点为 ，下顶点为 ，点 满
足 ．
（ 1 ）求椭圆 的方程．
（ 2 ）不垂直于坐标轴的直线 与椭圆 交于 ， 两点，以 为直径的圆过原点，且线段 的
垂直平分线过点 ，求直线 的方程．
10
【备注】本题是向量点乘与中垂线问题综合考查
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） ， ， ， ．
【解析】（ 1 ）
由椭圆的离心率 ，则 ，
由 ， ，
．即 ，
解得： ， ，
∴椭圆的标准方程为： ．
（ 2 ）设直线 的方程设为 ，设 ， ，
联立 ，消去 得 ，
则有 ， ，
由 ，可得 ，
，
，
因为以 为直径的圆过坐标原点，
所以 ，即为 ，
即为 ，可得 ，①
由 ，可得 或 ，
又设 的中点为 ，则 ， ，
因为直线 与直线 垂直，所以 ，可整理得：
②
解得： ， ，
11
当 时， ，当 ， ，
当 ， ，
当 ， ，
满足 ，
所以直线 的方程为 ， ， ，
．
【标注】【知识点】直线和椭圆的位置关系；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的位置关系判断
巩固练习
1. 已知点 在椭圆 ： 上，且点 到 的左、右焦点的距离
之和为 ．
（ 1 ）求 的方程．
（ 2 ）设 为坐标原点，若 的弦 的中点在线段 （不含端点 ， ）上，求 的取值
范围．
【答案】（ 1 ） 的方程为 ．
（ 2 ） 的取值范围是 ．
【解析】（ 1 ）由条件知 ，
，
所以 ， ，
∴椭圆 的方程为 ．
（ 2 ）设点 、 的坐标为 ， ，
则 中点 在线段 上，且 ，
12
∴ ，
又 ， ，
两式相减得 ，
易知 ， ，
所以 ，即 ，
设 方程为 ，代入 并整理得 ．
由 解得 ，
又由 ，
∴ ．
由韦达定理得 ， ，
故
．
而 ，
所以 的取值范围是 ．
【标注】【知识点】椭圆的标准方程；直线和椭圆的位置关系；向量问题
2. 已知椭圆 ： ，过点 的直线 交椭圆 于点 ， ．
（ 1 ）当直线 与 轴垂直时，求 ．
（ 2 ）在 轴上是否存在定点 ，使 为定值？若存在，求点 的坐标及 的值；若不
存在，说明理由．
【答案】（ 1 ） ．
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（ 2 ）存在， ，使 为定值 ．
【解析】（ 1 ）当直线 斜率不存在时，其方程为 ，
由 ，得 或 ，
所以 ．
（ 2 ）假设存在 ，使 为定值，
①当直线 斜率存在时，
设直线 的方程为： ， ， ，
由 ，得 ，
则 ， ，
所以
．
若 为常数，只需 ，
解得 ，
此时 ，
所以存在点 ，使 为定值 ．
②当直线 与 轴垂直时，
不妨设 ， ，
当点 坐标为 时，
，
综上，存在点 ，使 为定值 ．
【标注】【知识点】向量问题；定值问题（证明、探究）；弦长求解问题
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3. 已知椭圆 的左焦点 为圆 的圆心，且椭圆上的点到点
的距离最小值为 ．
（ 1 ）求椭圆方程．
（ 2 ）已知经过点 的动直线 与椭圆交于不同的两点 、 ，点 ，证明： 为
定值．
【答案】（ 1 ）
（ 2 ）
【解析】（ 1 ）因为圆 的圆心为 ，半径 ，所以椭圆的半焦距
．
又椭圆上的点到点 的距离最小值为 ，所以 ，即 ．
所以，所求椭圆的方程为 ．
（ 2 ）①当直线 与 轴垂直时， 的方程为 ，
可求得 ， ．
此时， ．
②当直线 与 轴不垂直时，设直线 的方程为 ，
由 得 ，
设 ， ，则 ， ，
因为 ，
15
．
所以， 为定值，且定值为 ．
【标注】【知识点】定值问题（证明、探究）；向量问题
4. 已知点 ， 分别为椭圆 的左，右顶点，点 ，直线 交 于
点 ， 且 是等腰直角三角形．
（ 1 ）求椭圆 的方程．
（ 2 ）设过点 的动直线 与 相交于 ， 两点，当坐标原点 位于以 为直径的圆外时，求直
线 斜率的取值范围．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）∵ 是等腰直角三角形，
∴ ， ， ，
设 ，
由 ，
16
解得 ，代入椭圆方程，
解得 ，
故椭圆 的方程为 ．
（ 2 ）由题意知直线斜率存在，设其方程为 ．
设 ， ，
由 ，得 ，
由直线 与 有两个不同的交点，得 ，
即 ，解得 ，
由韦达定理可知： ， ，
由坐标原点 位于以 为直径的圆外，
得 ，即 ，
即
，
将 ， 代入，
得 ，
解得 ，
综上可知， ， 或 ，
所以直线 斜率的取值范围是 ．
【标注】【知识点】向量问题；直线和椭圆的位置关系
三、 向量共线问题
1. 向量共线问题
1、向量共线问题的特点
特点：有的是直接给出两个向量之间的共线关系；有的是给出一些条件，然后利用这些条件转化成长度
或者向量的关系．
思路：不管是题目直接给出向量关系，还是由其他条件转化，最后一般都是代入点的坐标，转化成坐标
的关系，结合韦达定理来求解．
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2、向量共线问题的计算
我们经常在处理向量共线问题的时候需要联立 ， 和 ，和我们常见
的韦达整体带入不同，让我们的计算带来很多困扰，这时候我们可以利用下面的式子：
从而整体带入，当然用 算也是同理，我们就看 与 哪个是这样的形式
所以这样的方法只适用于其中一点在 轴上或者在 轴上
经典例题
1. 已知椭圆 ，椭圆 以 的长轴为短轴，且与 有相同的离心率．
（ 1 ）求椭圆 的方程；
（ 2 ）设 为坐标原点，点 分别在椭圆 和 上， ，求直线 的方程．
【备注】根据条件可知 、 、 三点共线，所以可设直线方程，求出点 、 横坐标平方，根据所
给关系建立等式即可求参
【答案】（ 1 ） ；
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）椭圆 的长轴长为 ，离心率为 ，
椭圆 以 的长轴为短轴，且与 有相同的离心率，
椭圆 的焦点在 轴上， ，为 ，
，
椭圆 的方程为 ；
（ 2 ）设 的坐标分别为 ，
， 三点共线，且点 不在 轴上，
设 的方程为 ，
将 代入 ，消元可得 ，
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，将 代入 ，
消元可得 ， ，
， ，
，解得 ，
的方程为 ．
【标注】【知识点】共线比例问题
2. 已知抛物线 ： ，过抛物线 的焦点 且垂直于 轴的直线交抛物线 于 ， 两
点， ．
（ 1 ）求抛物线 的方程，并求其焦点 的坐标和准线 的方程．
（ 2 ）过抛物线 的焦点 的直线与抛物线 交于不同的两点 ， ，直线 与准线 交于点 ．连
接 ，过点 作 的垂线与准线 交于点 ．求证： ， ， 三点共线．
【备注】本题表示出坐标,利用三点共线，所以任意两点表示的斜率相等建立等式
【答案】（ 1 ） ， ， ．
（ 2 ）证明见解析．
【解析】（ 1 ）∵ ，
∴ ，
，
，
．
（ 2 ）∵ ，
∴设直线为 ，
， ，
，
∴ ，
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，
，
，
，
∴ ，
，
∴ ，
又∵ ，
，
∴ ，
又∵ ．
∴ ，
即 ， ， 三点共线．
【标注】【知识点】直线和抛物线的位置关系；抛物线的标准方程；共线比例问题
3. 已知抛物线 经过点 ．过点 的直线 与抛物线 有两个不同的交点 ， ，
且直线 交 轴于 ，直线 交 轴于 ．
（ 1 ）求直线 的斜率的取值范围．
（ 2 ）设 为原点， ， ，求证： 为定值．
【备注】本题同样根据题中条件求出点 、 的坐标，根据题中给的关系式变形整理求解即可
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ）证明见解析．
【解析】（ 1 ）由已知可得 ，所以抛物线 的方程为 ．
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令 ， ，
直线 显然不能与 轴垂直，令其方程为 ，
带入 整理得 ，即 ．
所以由已知可得 ，解得 且 ．
又 、 与 轴均有交点，故 不经过点 ，
所以 ，即 ，
所以直线 的斜率 的取值范围为 ．
（ 2 ）方法一：
由（ ）知 ， ．
而点 ， 均在抛物线上，所以 ， ．
因为直线 与直线 与 轴相交，
则直线 与直线 的斜率均存在，即 ， ．
因为 ，
所以直线 的方程为 ，
令 ，可得 ，即 ．
同理可得 ．
而由 可得， ，所以 ．
同理由 可得， ，所以 ．
所以
．
方法二：
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因为抛物线 经过点 ，所以 ，解得 ，所以抛物线的方程为
，
由题意可知直线 的斜率存在且不为 ，设直线 的方程为 ，
由 得 ，依题意
，
解得 或 ，
又 、 与 轴相交，故直线 不经过点 ，从而 ，
所以直线 斜率的取值范围是 ．
设 ， ，由 知， ， ，
直线 的方程为 ，
令 ，得点 的纵坐标为 ，
同理得点 的纵坐标为 ，
由 ， ，得 ， ，
所以
．
所以 为定值．
【标注】【知识点】直线和抛物线的位置关系；定值问题（证明、探究）
巩固练习
1. 过抛物线 的焦点 的直线交抛物线于 、 两点，抛物线在 、 两点处的切线交于点
．
（ 1 ）证明点 落在抛物线 的准线上．
（ 2 ）设 ，求 的面积．
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【答案】（ 1 ）证明见解析．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）抛物线 的焦点坐标为 ，准线方程为 ，
设 的方程为 ，代入抛物线方程 ，
整理得 ，
设 ， ，
则 ， ，
对 求导，得 ，
所以 的方程为 ．①，
同理，所以 的方程为 ．
联立方程①②，消去 ，得 ，
所以点 落在抛物线 的准线上．
（ 2 ）∵ ， ，且 ，
所以 ，
求得 ， ，
不妨取 ， ，
由①②求得 ，
∵ ，点 到直线 的距离 ，
所以 的面积为 ．
【标注】【知识点】导数的几何意义；直线和抛物线的位置关系；共线比例问题；面积问题
2. 在平面直角坐标系 中，点 在椭圆 上，过点 的直线 的方程
为 ．
（ 1 ）求椭圆 的离心率．
（ 2 ）若直线 与 轴、 轴分别相交于 ， 两点，试求 面积的最小值．
（ 3 ）设椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，点 与点 关于直线 对称，求证：点 ， ， 三点
共线．
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【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
（ 3 ）证明见解析．
【解析】（ 1 ）依题意可知 ， ，
所以椭圆 离心率为 ．
（ 2 ）因为直线 与 轴， 轴分别相交于 ， 两点，所以 ， ．
令 ，由 得 ，则 ．
令 ，由 得 ，则 ．
所以 的面积 ．
因为点 在椭圆 上，所以 ．
所以 ．即 ，则 ．
所以 ．
当且仅当 ，即 ， 时， 面积的最小值为 ．
（ 3 ）①当 时， ．
当直线 时，易得 ，此时 ， ．
因为 ，所以三点 ， ， 共线．
同理，当直线 时，三点 ， ， 共线．
②当 时，设点 ，因为点 与点 关于直线 对称，
所以
整理得
解得
所以点 ．
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又因为 ， ，且
．
所以 ．所以点 ， ， 三点共线．
综上所述，点 ， ， 三点共线．
【标注】【知识点】共线比例问题；直线和椭圆的位置关系
思维导图
你学会了吗？画出思维导图总结本节课所学吧！
【备注】
出门测
1. 已知椭圆 的长轴长是短轴长的 倍，且过点 ．
（ 1 ）求椭圆 的方程．
（ 2 ）四边形 的顶点都在椭圆 上，且对角线 ， 过原点 ，若直线 与 的斜率
之积为 ，求证： ．
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【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ）证明见解析．
【解析】（ 1 ）∵ 椭圆的长轴长是短轴长的 倍，且过点
，
∴ ，解得 ， ，
∴椭圆 的方程为 ．
（ 2 ）设直线 的方程为 ，
设 ， ，
联立 ，得 ，
，①
，
∵对角线 ， 过原点 ，直线 与 的斜率之积为 ，
∴ ，
∴ ，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
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，
∴ ，
∴ ．
【标注】【知识点】向量问题；直线和椭圆的位置关系
2. 已知椭圆 的焦距为 ，且与椭圆 有相同的离心率，斜率
为 的直线 经过 ，与椭圆 交于不同两点 ， ．
（ 1 ）求椭圆 的标准方程．
（ 2 ）当椭圆 的右焦点 在以 为直径的圆内时，求 的取值范围．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）∵焦距为 ，
∴ ，
又∵椭圆 离心率为 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴椭圆 标准方程为： ．
（ 2 ）设直线 的方程为 ，
， ，
得 ，
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∴ ， ，
又∵ 在圆内部，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ ，直线 与椭圆相交，
∴直线 的斜率 的范围为 ．
【标注】【知识点】向量问题；椭圆的离心率；直线和椭圆的位置关系
3. 已知：过点 斜率为 的直线 与： 相交与 、 两点．
（ 1 ）求实数 的取值范围．
（ 2 ）求证： 为定值．
（ 3 ）若 为坐标原点，且 ，求 的值．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ）证明见解析．
（ 3 ） ．
【解析】（ 1 ）∵直线 过点 斜率为 ，
∴直线 的方程为： ，
将其代入 ，得： ①
由题意： 得： ，
也可通过圆心到直线的距离 ，解得 的范围．
（ 2 ）
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利用切割线定理知： ，其中 为切线， 为切
点．
根据向量的运算： 为定值．
（注意：本题也可以设出 、 的坐标，把 、 用坐标表示，由①
利用韦达定理来证明）
（ 3 ）
设 、 ，则由①得： ，
又 ， ，
∴
，有 ，故满足题意．
【标注】【知识点】圆的弦长的相关问题；向量问题；定值问题（证明、探究）；数量积的坐标
表达式
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