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空间向量的应用
一、 直线与平面的位置关系
1. 、 分别是正方体 中线段 、 上的点，且 ．
（ 1 ）求证： ；
（ 2 ）求证： ．
【答案】（ 1 ）答案见解析
（ 2 ）答案见解析
【解析】（ 1 ）建立如图所示的空间直角坐标系，
设 ，则 ， ， ， ， ， ，
， ．
， ．
∴ ，又∵ ，∴ ．
（ 2 ） ， ，∴ ，即
．
【标注】【知识点】向量法解决异面直线所成角问题
1
2. 如图，在底面是矩形的四棱锥 中， 底面 ，点 ， 分别是 ， 的中点，
， ．
（ 1 ）求证： 平面 ．
（ 2 ）求证：平面 平面 ．
【答案】（ 1 ）证明见解析．
（ 2 ）证明见解析．
【解析】（ 1 ）以 为坐标原点，
所在直线为 轴， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系 ，
则 ， ， ， ， ，
∵点 ， 分别是 ， 的中点，
∴ ， ，
， ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
2
又 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ．
（ 2 ）由（ ）可知，
，
，
∴ ， ，
即 ， ，
又 ， ， 平面 ，
∴ 平面 ，
∵ 平面 ，
∴平面 平面 ．
【标注】【知识点】向量法解决空间中的垂直问题；向量法解决空间中的平行问题；线面平行的
证明问题；面面垂直的证明问题；平面和平面垂直的判定
3. 如图，在直四棱柱 中，底面 为等腰梯形， ， ，
， ， ， ， ，分别为棱 ， ， 的中点．
（ 1 ）求证： 平面 ．
（ 2 ）求证：平面 平面 ．
【答案】（ 1 ）证明见解析．
（ 2 ）证明见解析．
【解析】（ 1 ）方法一：由题意知， ，
所以 为正三角形，
3
因为底面 为等腰梯形，
所以 ，
取 的中点 ，连接 ，
则 ，
所以 ，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ， ，
，
所以 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，
所以 ，
令 ，则 ，
所以 ，
所以 ，
又 平面 ，
所以 平面 ．
方法二：取 的中点 ，连接 ， ， ， ，
因为 ， ， ，
所以 ，
所以四边形 为平行四边形，
所以 ，
又 ， 分别为 ， 的中点，
所以 ，
所以 ，
4
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
（ 2 ）因为 ，
平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
由（ ）知 平面 ，
又 ，
所以平面 平面 ．
【标注】【知识点】向量法解决空间中的平行问题；面面平行的证明问题；平面和平面平行的判
定
二、 用空间向量研究距离问题
1. 在棱长为 的正方体 中， 、 、 分别为 、 、 中点．
（ 1 ）求 到平面 的距离．
（ 2 ）求二面角 的余弦值．
【答案】（ 1 ）
（ 2 ）
【解析】（ 1 ）以 为原点， 、 、 分别为 、 、 轴建立如图所示的坐标系．
5
则 ， ， ， ；
于是向量 ， ；
设面 的法向量为 ，则 ，
即 ，于是可取 ；
，设 到面 的距离为 ；
则 ．
（ 2 ）平面 的法向量可取成 ；
于是 ，
由图象知二面角 为锐二面角，故它的余弦值为 ．
【标注】【知识点】向量法解决二面角问题；向量法求空间距离
2. 如图，正方体 的边长为 ， 是 的中点，经过点 ， ， 的平面交 于点
．
（ 1 ）证明： 是 的中点．
（ 2 ）求直线 到平面 的距离 ．
6
【答案】（ 1 ）证明见解析．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）
因为平面 平面 ，
平面 平面 ，
而平面 平面 ，
所以 ，
又 ，
所以 ，
而 是 的中点，
所以 是 的中点．
（ 2 ）由（ ）知 平面 ，
故 等于 到平面 的距离 ，
以 ， ， 所在的直线分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
所以 ， ，
设平面 的法向量 ，
所以 ，
令 ，则 ， ，故 ，
7
又 ，
所以点 与平面 所成角的距离为 ，
故直线 到平面 的距离 ．
【标注】【知识点】线线平行的证明问题；向量法求空间距离
三、 用空间向量研究线面角问题
1. 在空间直角坐标系中， ， ， ， ， ，若直线 平面 ，
则实数 ， 的值分别是（ ）．
A. ， B. ， C. ， D. ，
【答案】B
【解析】由题可知 ， ， ，
∵ 平面 ，
∴ 即 ，
解得 ， ，
故选 ．
【标注】【知识点】向量法解决空间中的垂直问题
2. 如图，梯形 中， ， ，四边形 为矩形，平面 平
面 ， ．
（ 1 ）若 ，求证： ．
（ 2 ）在棱 上是否存在点 ，使得直线 平面 ？并说明理由．
8
【答案】（ 1 ）证明见解析．
（ 2 ）在棱 上存在点 ，使得直线 平面 ，且 ；证明见解析．
【解析】（ 1 ）∵梯形 中， ， ，
四边形 为矩形，平面 平面 ， ， ，
∴ 、 、 两两垂直，
∴以 为原点， 、 ‘ 为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系，
设 ， ，
则 ， ， ， ， ， ，
， ，
∵ ，
∴ ，解得 ，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
（ 2 ）假设在棱 上存在点 ，使得 平面
设
∴ ， ，
∴ ， ，
9
∴ ,0，
由(1)知： ， ， ，
∴ ， ， ，
设平面 的一个法向量
则 ∴
令 ，∴
∴ 平面
∴
∴
∴在棱 上存在点 ，使得 平面 ．
【标注】【知识点】向量法解决空间中的垂直问题；向量法解决异面直线所成角问题；向量法解
决空间中的平行问题
四、 空间向量的应用综合
1. 如图，在四棱锥 中，侧棱 底面 ，底面 是直角梯形， ， ，
且 ， ， 是棱 的中点．
（ 1 ）求证： 平面 ．
（ 2 ）求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值．
（ 3 ）设点 是线段 上的动点， 与平面 所成的角为 ，求 的最大值．
10
【答案】（ 1 ）证明见解析
（ 2 ） ．
（ 3 ） ．
【解析】（ 1 ）以点 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ， ，
∴ ， ， ，
设平面 的一个法向量 ，
则 ，
令 ，得 ，
∴ ，即 ，
∵ 平面 ，
∴ 平面 ．
（ 2 ）取平面 的一个法向量 ，
则 ，
∴平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值为 ．
（ 3 ）∵直线 ： ，
设 ， ，
则 ，
平面 的一个法向量 ，
∴ ，
当 ，即 时， 取得最大值，且 ．
11
【标注】【知识点】向量法解决二面角问题；向量法解决线面角问题；向量法解决空间中的平行
问题
2. 如图，四棱锥 的底面是直角梯形， ， ． 平面 ，
是 的中点， ．
（ 1 ）证明： 平面 ．
（ 2 ）求二面角 的大小．
（ 3 ）线段 上是否存在一点 ，使得直线 平面 . 若存在，确定 点的位置；若不存在，说
明理由．
【答案】（ 1 ）证明见解析．
（ 2 ）二面角 大小为 ．
（ 3 ）存在点 为线段 靠近 点的三等分点，使得直线 平面 ．
【解析】（ 1 ）因为 平面 , ， 平面 ，
所以 ， ，
又 ，
如图，以 为原点建立空间直角坐标系，
12
由题意得 ， ， ， ， ， ，
所以 , , ，
所以 , ,
所以 , ,
所以 平面 ．
（ 2 ）设平面 的法向量为 ，
因为 ， ，
所以 ，即 ，
令 ，则 ， ，
于是 ,
因为 平面 ，所以 为平面 的法向量，
又 ，
所以 ，
因为所求二面角为钝角，
所以二面角 大小为 ．
（ 3 ）如图：
13
设 ， ，
，
， ，
设平面 的法向量 ，
则 ，即 ，
令 ， ， . 于是 ，
如果直线 平面 ，
那么 ，解得 ,
所以，存在点 为线段 靠近 点的三等分点，使得直线 平面 ．
【标注】【知识点】向量法解决二面角问题；向量法解决空间中的平行问题；向量法解决空间中
的垂直问题
3. 如图，在多面体 中，平面 平面 ．四边形 为正方形，四边形 为梯
形，且 ， ， ， ．
（ 1 ）求证： ．
（ 2 ）求直线 与平面 所成角的正弦值．
（ 3 ）线段 上是否存在点 ，使得直线 平面 ？若存在，求 的值；若不存在，请说
明理由．
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【答案】（ 1 ）证明见解析．
（ 2 ）直线 与平面 所成角的正弦值 ．
（ 3 ）存在， ．
【解析】（ 1 ）因为 为正方形，
所以 ．
又因为平面 平面 ，
且平面 平面 ，
所以 平面 ．
所以 ．
（ 2 ）由( )可知， 平面 ，
所以 ， ．
因为 ，
所以 ， ， 两两垂直 分别以 ， ， 为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系．
（如图）
因为 ， ，
所以 ， ， ， ， ， ，
所以 ， ， ．
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即 ．
15
令 ，则 所以 ，
设直线 与平面 所成角为 ．
则 ．
（ 3 ）设 ，
设 ，
则 ，
所以 ， ， 所以 ，
所以 ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，
因为 ，
所以 ，
令 ，则 ，
所以 ．
在线段 上存在点 ，使得 平面 等价于存在 ，
使得 ． 因为 ，由 ，
所以 ，
解得 所以线段 上存在点 ，
使得 平面 ，且 ．
【标注】【知识点】向量法解决空间中的平行问题；向量法解决线面角问题
4. 如图，四棱柱 中，侧棱 底面 ， ， ， ，
， 为棱 的中点．
B B1
C C1 A
A E 1
D D1
（ 1 ）证明 ．
（ 2 ）求二面角 的正弦值．
16
（ 3 ）设点 在线段 上，且直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求线段 的长．
【答案】（ 1 ）证明见解析．
（ 2 ） ．
（ 3 ） ．
【解析】（ 1 ）以点 为原点建立空间直角坐标系，如图，
B B1
C C1
A E A1
D D1
依题意得 ， ， ， ， ， ．
则 ， ，
而 ．
所以 ．
（ 2 ） ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，取 ，得 ， ．
所以 ．
由 知 ，又 ，所以 平面 ，
故 ，为平面 ，的一个法向量，
于是 ， ．
从而 ， ．
17
所以二面角 的正弦值为 ．
（ 3 ） ， ，
设 ， ，
有 ．
取 为平面 的一个法向量，
设 为直线 与平面 所成的角，
则 ，
．
于是 ．
解得 ．所以
所以线段 的长为 ．
【标注】【知识点】向量法求空间距离；向量法解决异面直线所成角问题；向量法解决二面角问
题；向量法解决空间中的垂直问题
5. 如图所示，四棱锥 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的 倍， 为侧棱 上的
点．
（ 1 ）求证： ．
（ 2 ）若 平面 ，求二面角 的大小．
（ 3 ）在(2)的条件下，侧棱 上是否存在一点 ，使得 平面 ？若存在，求 的值；
若不存在，试说明理由．
18
【答案】（ 1 ）证明见解析．
（ 2 ）所求二面角的大小为 ．
（ 3 ）当 时， 平面 ．
【解析】（ 1 ）方法一：连接 ，设 交 于 ，由题意知 平面 ，
以 为坐标原点， ， ， 分别为 轴、 轴、 轴的正方向，建立空间直角坐标系．
设底面边长为 ，则高 ．
于是 ， ， ， ，
， ，故 ，从而 ．
方法二：连 ，设 交 于 ，
由题意 ．
在正方形 中， ，
所以 平面 ，得 ．
故答案为： ．
方法三：连 ， 设 交 于 ，
由题意知 平面 ．
19
以 为坐标原点， ， ， 分别为 轴、 轴、 轴正方向，建立坐标系 如
图．
设底面边长为 ，则高 ．
于是 ， ， ，
，
．故 ．
从而 ．
故答案为： ．
（ 2 ）方法一：由题设知，平面 的一个法向量为 ，
平面 的一个法向量为 ，则 ，故所求
二面角的大小为 ．
方法二：设正方形边长为 ，则 ．
又 ，所以 ．
连 ，由 知 平面 ，所以 ，
且 ，
所以 是二面角 的平面角．
由 平面 ，知 ，所以 ．
即二面角 的大小为 ．
故答案为： ．
方法三：由题设知，平面 的一个法向量 ，
平面 的一个法向量 ．
设所求二面角为 ，则 ，
20
所求二面角的大小为 ．
故答案为： ．
（ 3 ）方法一：在棱 上存在一点 使 平面 ，
由(2)知 是平面 的一个法向量，且 ， ，
设 ，
，而 ，即
当 时， 平面 ．
方法二：在棱 上存在一点 ，使 平 面 ．
由 可得 ，
故可在 上取一点 ，使 ．
过 作 的平行线与 的交点即为 ．连 ．
在 中知 ．又由于 ，
故平面 平面 ，得 平 面 ．
由于 ，故 ．
故答案为： ．
方法三：在棱 上存在一点 使 平面 ．
由 知 是平面 的一个法向量，
且 ， ．
设 ，
则
．
而 ．
即当 时， .
而 不在平面 内，故 平面 ．
21
故答案为： ．
【标注】【知识点】向量法解决空间中的平行问题；向量法解决异面直线所成角问题；向量法解
决二面角问题；向量法解决空间中的垂直问题
五、 用空间向量研究二面角问题
1. 已知三棱柱 中， ， ， ， ．
A1 C1
B1
A P C
B
（ 1 ）求证：面 面 ．
（ 2 ）若 ，在线段 上是否存在一点 ，使二面角 的平面角的余弦值为
？若存在，确定点 的位置；若不存在，说明理由．
【答案】（ 1 ）证明见解析．
（ 2 ）存在一点 ，满足 ，使二面角 的平面角的余弦值为 ．
【解析】（ 1 ）如图，∵ ，∴四边形 为菱形，
连接 ，
A1 C1
B1
A P C
B
22
则 ，又 ，且 ，
∴ 平面 ，则 ，
又 ，即 ，∴ 平面 ，
而 平面 ，∴面 面 ．
（ 2 ）连接 ，以 为坐标原点，分别以 ， 所在直线为 ， 轴建立空间直角坐标系，
A1 C1
B1
P C
A
B
∵ ， ， ，
∴ ， ， ， ．
设在线段 上存在一点 ，满足 ，使得二面角 的平面角的余弦值为
．
则 ．
，
， ．
设平面 的一个法向量为 ，
由 ，取 ，得 ；
平面 的一个法向量为 ．
由
，
解得： （舍），或 ．
故在线段 上存在一点 ，满足 ，使二面角 的平面角的余弦值为
．
【标注】【知识点】向量法解决二面角问题；面面垂直的证明问题；平面和平面垂直的判定
2. 如图，在三棱锥 中， 底面 ， ， ， ， 分别是 ， 的
中点， 在 上，且 ．
23
（ 1 ）求证： 平面 ．
（ 2 ）求直线 与平面 所成角的正弦值．
（ 3 ）在线段 上是否存在点 ，使二面角 的大小为 ？若存在，求出 的长；若不
存在，请说明理由．
【答案】（ 1 ）证明见解析．
（ 2 ） ．
（ 3 ）存在， ．
【解析】（ 1 ）以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴建立空间直角坐标系如图所示：
则 ， ， ， ， ，
24
∴ ， ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，又 ，
∴ 平面 ．
（ 2 ） ，故， ， ，
设平面 的法向量为 则
即 ，
令 ，可得 ，
∴ ，
∴直线 与平面 所成角正弦值为 ．
（ 3 ）∵ 平面 ，
∴ ，
∵ ， 是 的中点，
∴ ，又 ，
∴ 平面 ，故 为平面 的一个法向量，
设 ， ，则 ，
设平面 的法向量 则
，
即 ，令 可得 ，
∴ ，
若二面角 的大小为 ，
则 ，
即 ，
解得： ， ，
∴线段 上存在 ，使二面角 的大小为 ，且 ．
【标注】
25
【知识点】向量法解决空间中的垂直问题；向量法解决空间中的平行问题；向量法解决异面直线所
成角问题；向量法解决二面角问题；向量法解决线面角问题
3. 中， ， ， ，将点 绕 旋转至 ，使得平面 面 ，如图所
示．
（ 1 ）求直线 与平面 所成的角的正弦值．
（ 2 ）在线段 上是否存在一点 ，使得二面角 的大小为 ，若存在，确定 的位置，
若不存在，说明理由．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ）不存在 ， ，二面角 的大小为 ；证明见解析．
【解析】（ 1 ）如图，延长 ，并过点 作 交 延长线于点 ，
连接 ，
∵ 与 全等，
所以 ，
∵平面 平面 ，且平面 平面 于 ，
26
∴ 平面 ，
∴ ，
∴以点 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，
在 中，由余弦定理知：
，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ， ， ，
∴ ， ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，
令 ，则 ，
∴
，
∴直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
（ 2 ）设 上存在点 使得二面角 的大小为 ，
其中 ，
则 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，
则 ，
∵
，
∵二面角 的大小为 ，
27
∴ ，
即 ，整理得： ，
由伟达定理知 ，
，
∴ ， ，
故不存在 ， ，二面角 的大小为 ．
【标注】【知识点】向量法解决线面角问题；向量法解决二面角问题；向量法解决空间中的平行
问题
4. 如图，在直角梯形 中， ， ， ， 是 的中点， ， 分别
为 ， 的中点， 是线段 上一点，将三角形 沿 折起，使得 垂直平面 ．
（ 1 ）若 是 的中点，求证： 平面 ．
（ 2 ）当二面角 的大小为 时，求异面直线 与 所成角．
【答案】（ 1 ）证明见解析．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）在直角梯形 中， ，
，
∵ ，
为 中点，
∴ ，
∴四边形 为平行四边形，
28
∵ ，
∴四边形 为矩形，
∴ ，
∴以 为原点建立如图坐标系，
， ， ，
， ，
设面 的法向量的 ，
， ，
， ，
令 ，则 ， ，
，
，
，
∴ 面 ．
（ 2 ）
以 为原点， 、 、 为 、 、 轴建立坐标系，
， ， ， ，
设 ，
设面 法向量为 ，
， ，
， ，
令 ，则 ， ，
29
，
易知面 法向量 ，
∵二面角 的大小为 ，
∴ ，
∴ ， ，
， ，
设异面直线 与 所成角为 ，
，
∴异面直线 与 所成角为 ．
【标注】【知识点】向量法解决二面角问题；向量法解决空间中的平行问题；向量法解决异面直
线所成角问题
5. 如图，在三棱柱 中， 平面 ，四边形 为平行四边形， ，
．
（ 1 ）若 ，求证 平面 ．
（ 2 ）若 ， ，二面角 的余弦值为 ，求 的值．
【答案】（ 1 ）证明见解析．
（ 2 ） ．
30
【解析】（ 1 ）若 ，则四边形 为正方形，则 ，
∵ ， ，
∴ 为直角三角形，则 ，
∵ 平面 ，∴ 平面 ，则 ，
∵ ，∴ 平面 ．
（ 2 ）若 ，∵ ，
∴ ，
则 ，建立以 为坐标原点， ， ， 分别为 ， ， 轴的空间直角
坐标系如图：
则 ， ， ， ， ，
则 ， ， ，
设面 的一个法向量为 ．
则 ， ，
则 ， ，令 ，则 ，则 ，
设面 的一个法向量为 ，
则 ， ，
令 ，则 ，
∴ ，
∵二面角 的余弦值为 ，
∴ ，
即 ，
解得 ．
【标注】【知识点】向量法解决二面角问题；平面和平面垂直的判定；面面垂直的证明问题
6. 如图，四棱锥 中，侧面 为等边三角形且垂直于底面 ， ，
， 是 的中点．
31
（ 1 ）证明：直线 平面 ．
（ 2 ）点 在棱 上，且直线 与底面 所成角为 ，求二面角 的余弦值．
【答案】（ 1 ）证明见解析．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）取 中点 ，连结 ， ，
∵ ， 分别为 ， 中点，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ，
又∵ 面 ， 面 ，
∴ 面 ．
（ 2 ）方法一：以 为原点， 为 轴正方向，建立如图坐标系，设 ，
32
则 ， ， ， ，
∴ ， ，
设 ，且 ，
则 ， ，
∵ 与底面 所成角为 ，
而 为底面法向量，
∴ ，
即 ①，
又∵ 在 上，设 ，
则 ， ， ②，
由①②可得 （舍）或 ，
∴ ，
∴ ，
设 为平面 的法向量，则
，
∴取 ，
∴ ．
∴余弦值为 ．
方法二：四棱锥 中，
侧面 为等边三角形且垂直于底面 ， ，
， 是 的中点．
取 的中点 ， 在底面 上的射影 在 上，设 ，
则 ， ，
33
∴ ，直线 与底面 所成角为 ，
可得： ， ， ，
可得： ， ， ，
作 于 ，连接 ， ，
所以 就是二面角 的平面角， ，
二面角 的余弦值为： ．
【标注】【知识点】向量法解决二面角问题；线面平行的证明问题；直线和平面平行的判定
34空间向量的应用
一、 直线与平面的位置关系
1. 、 分别是正方体 中线段 、 上的点，且 ．
（ 1 ）求证： ；
（ 2 ）求证： ．
2. 如图，在底面是矩形的四棱锥 中， 底面 ，点 ， 分别是 ， 的中
点， ， ．
（ 1 ）求证： 平面 ．
（ 2 ）求证：平面 平面 ．
3. 如图，在直四棱柱 中，底面 为等腰梯形， ， ，
， ， ， ， ，分别为棱 ， ， 的中点．
1
（ 1 ）求证： 平面 ．
（ 2 ）求证：平面 平面 ．
二、 用空间向量研究距离问题
1. 在棱长为 的正方体 中， 、 、 分别为 、 、 中点．
（ 1 ）求 到平面 的距离．
（ 2 ）求二面角 的余弦值．
2. 如图，正方体 的边长为 ， 是 的中点，经过点 ， ， 的平面交
于点 ．
2
（ 1 ）证明： 是 的中点．
（ 2 ）求直线 到平面 的距离 ．
三、 用空间向量研究线面角问题
1. 在空间直角坐标系中， ， ， ， ， ，若直线
平面 ，则实数 ， 的值分别是（ ）．
A. ， B. ， C. ， D. ，
2. 如图，梯形 中， ， ，四边形 为矩形，平面
平面 ， ．
（ 1 ）若 ，求证： ．
（ 2 ）在棱 上是否存在点 ，使得直线 平面 ？并说明理由．
3
四、 空间向量的应用综合
1. 如图，在四棱锥 中，侧棱 底面 ，底面 是直角梯形， ，
，且 ， ， 是棱 的中点．
（ 1 ）求证： 平面 ．
（ 2 ）求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值．
（ 3 ）设点 是线段 上的动点， 与平面 所成的角为 ，求 的最大值．
2. 如图，四棱锥 的底面是直角梯形， ， ． 平面
， 是 的中点， ．
（ 1 ）证明： 平面 ．
（ 2 ）求二面角 的大小．
（ 3 ）线段 上是否存在一点 ，使得直线 平面 . 若存在，确定 点的位置；若不存
在，说明理由．
4
3. 如图，在多面体 中，平面 平面 ．四边形 为正方形，四边形
为梯形，且 ， ， ， ．
（ 1 ）求证： ．
（ 2 ）求直线 与平面 所成角的正弦值．
（ 3 ）线段 上是否存在点 ，使得直线 平面 ？若存在，求 的值；若不存在，
请说明理由．
4. 如图，四棱柱 中，侧棱 底面 ， ， ，
， ， 为棱 的中点．
B B1
C C1 A
A E 1
D D1
（ 1 ）证明 ．
（ 2 ）求二面角 的正弦值．
5
（ 3 ）设点 在线段 上，且直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求线段 的
长．
5. 如图所示，四棱锥 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的 倍， 为侧棱
上的点．
（ 1 ）求证： ．
（ 2 ）若 平面 ，求二面角 的大小．
（ 3 ）在(2)的条件下，侧棱 上是否存在一点 ，使得 平面 ？若存在，求 的
值；若不存在，试说明理由．
五、 用空间向量研究二面角问题
1. 已知三棱柱 中， ， ， ， ．
6
A1 C1
B1
A P C
B
（ 1 ）求证：面 面 ．
（ 2 ）若 ，在线段 上是否存在一点 ，使二面角 的平面角的余弦值为
？若存在，确定点 的位置；若不存在，说明理由．
2. 如图，在三棱锥 中， 底面 ， ， ， ， 分别是
， 的中点， 在 上，且 ．
（ 1 ）求证： 平面 ．
（ 2 ）求直线 与平面 所成角的正弦值．
（ 3 ）在线段 上是否存在点 ，使二面角 的大小为 ？若存在，求出 的长；
若不存在，请说明理由．
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3. 中， ， ， ，将点 绕 旋转至 ，使得平面 面
，如图所示．
（ 1 ）求直线 与平面 所成的角的正弦值．
（ 2 ）在线段 上是否存在一点 ，使得二面角 的大小为 ，若存在，确定 的位
置，若不存在，说明理由．
4. 如图，在直角梯形 中， ， ， ， 是 的中点，
， 分别为 ， 的中点， 是线段 上一点，将三角形 沿 折起，使得 垂直平面
．
（ 1 ）若 是 的中点，求证： 平面 ．
（ 2 ）当二面角 的大小为 时，求异面直线 与 所成角．
5. 如图，在三棱柱 中， 平面 ，四边形 为平行四边形，
， ．
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（ 1 ）若 ，求证 平面 ．
（ 2 ）若 ， ，二面角 的余弦值为 ，求 的值．
6. 如图，四棱锥 中，侧面 为等边三角形且垂直于底面 ，
， ， 是 的中点．
（ 1 ）证明：直线 平面 ．
（ 2 ）点 在棱 上，且直线 与底面 所成角为 ，求二面角 的余弦
值．
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