资源简介 双曲线一、 双曲线的定义1. 已知点 ， ，动点 满足 ，则点 的轨迹是（ ）．A. 椭圆 B. 双曲线 C. 双曲线的一支 D. 线段【答案】C【解析】根据题意，点 ， ，则 ，若动点 满足 ，且 ， ，则 的轨迹是以 、 为焦点双曲线的右支，故选： ．【标注】【知识点】求点的轨迹；双曲线的定义2. 已知 是双曲线 的左焦点， ， 是双曲线右支上的动点，则 的最小值为 ．【答案】【解析】如图所示，设双曲线的右焦点为 ，yxO则点 的坐标为 且 ，所以 ，所以当 ， ， 三点共线时， 有最小值，为 ，1所以 的最小值为 ．故填 ．【标注】【知识点】利用双曲线定义求线段最值3. 已知 是双曲线 的右焦点， 是 的左支上一点， ．当 周长最小时，则 点纵坐标为 ．【答案】【解析】设双曲线的右焦点为 ，由双曲线 可得 ， ， ，即有 ， ，的周长为 ，由双曲线的定义可得 ，即有 ，当 在左支上运动到 ， ， 共线时， 取得最小值 ，则有 周长取得最小值，直线 的方程为 ，联立 ，得点 的纵坐标为 ．【标注】【知识点】双曲线的定义二、 标准方程1. 方程 表示双曲线的充要条件是 ．【答案】【解析】方程 表示双曲线的充要条件： ，解得 ，故答案为 ．2【标注】【知识点】双曲线的定义2. 已知方程 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为 ，则 的取值范围是（ ）．A. B. C. D.【答案】A【解析】∵双曲线两焦点间的距离为 ，∴ ．当焦点在 轴上时，可得： ，解得： ，∵方程 表示双曲线，∴ ，可得： ，解得： ．即 的取值范围是： ．当焦点在 轴上时，可得： ，解得： ，无解．故选： ．【标注】【知识点】双曲线的基本量求解3. 设 为坐标原点，直线 与双曲线 ： 的两条渐近线分别交于 ，两点，若 的面积为 ，则 的焦距的最小值为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】解：由题意可得双曲线的渐近线方程为 ，将 ，代入可得 ，即 ， ，则 ，，当且仅当 时取等号，3的焦距的最小值为 ，故选： ．【标注】【知识点】双曲线中其他最值问题4. 在正方形 中， ， 点在正方形区域内（含边界），且满足 ，则的最大值为 ．【答案】【解析】以 所在直线为 轴， 的中垂线为 轴，建立坐标系，的 点的轨迹方程为 ，，设 ，则 ，因为 ，所以 ，所以 的最大值为 ．【标注】【知识点】数量积的最值问题三、 一般方程分别求出如下双曲线方程所对应的 和 ：（ 2 ） ．（ 3 ） ．4【答案】（ 1 ） ，（ 2 ） ，（ 3 ） ，【解析】（ 1 ） ， ．故答案为： ， ．（ 2 ）原方程可化为 ，则 ， ．故答案为： ， ．（ 3 ）原方程可化为 ，则 ， ．故答案为： ， ．【标注】【知识点】双曲线的顶点与轴；双曲线的标准方程四、 双曲线的性质1. 当双曲线 的焦距取得最小值时，双曲线 的渐近线方程为（ ）．A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可得 ，可得当 时，焦距 取得最小值，双曲线的方程为 ，即有渐近线方程为 ．故选 ．5【标注】【知识点】求双曲线的渐近线2. 已知 为双曲线 右支上的一个动点，若点 到直线 的距离大于 恒成立，则实数 的取值范围是 ．【答案】【解析】∵双曲线为 ，∴渐近线方程为 或 ，易知直线 与直线 平行，设两平行线之间的距离为 ，则 ，若点 到直线 的距离大于 恒成立，∴ 的最大值为 ，∴ ．【标注】【素养】数学运算；逻辑推理【思想】数形结合思想【知识点】双曲线的标准方程；两平行直线之间的距离3. 双曲线 两渐近线互相垂直，则它的离心率为（ ）．A. B. C. D.【答案】A【解析】∵渐近线方程为 ，且两条渐近线互相垂直，∴ ，∴ ，∴ ， ．故选 ．【标注】【知识点】求双曲线的离心率4. 已知 ， 为双曲线 的左，右顶点，点 在 上， 为等腰三角形，且顶角为 ，则 的离心率为（ ）．6A. B. C. D.【答案】D【解析】设双曲线方程为 ，不妨设点 在双曲线的右支上，如图所示，， ，过 作 轴于 ，则 ， ， ，所以 ．将点 的坐标代入双曲线方程 ，得 ，所以 ．故选 ．【标注】【知识点】求双曲线的离心率5. 设 ，则曲线 的离心率的取值范围是（ ）．A. B. C. D.【答案】B【解析】，∵ ，∴ ， ∴ ，即得 ．故选 ．【标注】【素养】数学运算【知识点】求双曲线的离心率7【知识点】双曲线的标准方程6. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，其一条渐近线方程为 ，点在该双曲线上，则 （ ）．A. B. C. D.【答案】C【解析】双曲线 的渐近线方程为 ，由题可得： ，即 ，从而双曲线方程为 ，令 得 ，∴ 或 ， ，双曲线的焦点 ， ，， ，∴ ．故选 ．【标注】【知识点】双曲线中向量相关问题（小题）7. 过双曲线 的右焦点且直于 轴的直线与双曲线交于 ， 两点，与双曲线的渐近线交于 ， 两点，若 ，则双曲离心率的取值范围为（ ）．A. B. C. D.【答案】B【解析】当 时代入 得 ，则 ， ，则 ，将 代入 得 ，则 ， ，则 ，∴ ，∴ ，即 ，8则 ，即 ，则 ，则 ．故选 ．【标注】【知识点】直线和双曲线的位置关系8. 已知 为双曲线 ： 的右焦点，过 作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为 ，线段 的中点 在双曲线上，则双曲线 的离心率为（ ）．A. B. C. D.【答案】A【解析】 ， ，由 ，解得 ，∴ 的中点为 代入双曲线方程得： ，∴ ．故选 ．【标注】【知识点】求双曲线的离心率；求双曲线的渐近线9. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，若双曲线上存在点 使，则其离心率的取值范围是（ ）．A. B. C. D.9【答案】B【解析】双曲线的渐近线方程为 ，由双曲线的性质可知，双曲线上存在点 使 ，则 ，∴ ，∴ ，∴ ．故选： ．【标注】【素养】逻辑推理；数学运算【知识点】求双曲线的离心率范围【特色题型】选择压轴10. 设 ， 是双曲线 的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点 ，使 ( 为坐标原点)，且 ，则双曲线的离心率为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】解：取 的中点 ，则 ，， ，，是 的中点 ，，10，，，，，，故选：D．【标注】【知识点】求双曲线的离心率11. 已知双曲线 的一条渐近线方程为 ， ， 分别是双曲线的左、右焦点，点 在双曲线上，且 ，则 （ ）．A. B. C. D. 或【答案】B【解析】∵双曲线 的渐近线方程为 ，∴ ， ， ，根据双曲线的定义知 ，且 ，∴ 或 ，又右顶点到右焦点 的距离为 ，∴ ，∴ ．故选 ．【标注】【知识点】双曲线坐标的取值范围；双曲线的渐近线；双曲线的定义11双曲线一、 双曲线的定义1. 已知点 ， ，动点 满足 ，则点 的轨迹是（ ）．A. 椭圆 B. 双曲线 C. 双曲线的一支 D. 线段2. 已知 是双曲线 的左焦点， ， 是双曲线右支上的动点，则 的最小值为 ．3. 已知 是双曲线 的右焦点， 是 的左支上一点， ．当 周长最小时，则 点纵坐标为 ．二、 标准方程1. 方程 表示双曲线的充要条件是 ．2. 已知方程 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为 ，则 的取值范围是（ ）．A. B. C. D.3. 设 为坐标原点，直线 与双曲线 ： 的两条渐近线分别交于 ，两点，若 的面积为 ，则 的焦距的最小值为( )A. B. C. D.4. 在正方形 中， ， 点在正方形区域内（含边界），且满足 ，则的最大值为 ．三、 一般方程分别求出如下双曲线方程所对应的 和 ：（ 2 ） ．（ 3 ） ．1四、 双曲线的性质1. 当双曲线 的焦距取得最小值时，双曲线 的渐近线方程为（ ）．A. B. C. D.2. 已知 为双曲线 右支上的一个动点，若点 到直线 的距离大于 恒成立，则实数 的取值范围是 ．3. 双曲线 两渐近线互相垂直，则它的离心率为（ ）．A. B. C. D.4. 已知 ， 为双曲线 的左，右顶点，点 在 上， 为等腰三角形，且顶角为 ，则 的离心率为（ ）．A. B. C. D.5. 设 ，则曲线 的离心率的取值范围是（ ）．A. B. C. D.6. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，其一条渐近线方程为 ，点在该双曲线上，则 （ ）．A. B. C. D.7. 过双曲线 的右焦点且直于 轴的直线与双曲线交于 ， 两点，与双曲线的渐近线交于 ， 两点，若 ，则双曲离心率的取值范围为（ ）．A. B. C. D.8. 已知 为双曲线 ： 的右焦点，过 作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为 ，线段 的中点 在双曲线上，则双曲线 的离心率为（ ）．A. B. C. D.29. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，若双曲线上存在点 使，则其离心率的取值范围是（ ）．A. B. C. D.10. 设 ， 是双曲线 的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点 ，使 ( 为坐标原点)，且 ，则双曲线的离心率为( )A. B. C. D.11. 已知双曲线 的一条渐近线方程为 ， ， 分别是双曲线的左、右焦点，点 在双曲线上，且 ，则 （ ）．A. B. C. D. 或3 展开更多...... 收起↑ 资源列表 双曲线题集(学生版).pdf 双曲线题集(教师版).pdf
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