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圆锥曲线常用二级结论（椭圆篇）
一、第一定义
椭圆的第一定义
＋＝2a>＝2c
椭圆焦点三角形
如图，是椭圆上异于长轴端点的点，已知，，则：
; ;
【对点训练】
是椭圆上一点，、分别是椭圆的左、右焦点，若，则的大小为（　　）
B． C． D．
【答案】B
【详解】 是椭圆上一点， 、 分别是椭圆的左、右焦点，
， ，
， ，
在中，，
已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为（　　）
B． C． D．
【答案】D
【详解】在中，，设，则，
又由椭圆定义可知，则离心率
设是椭圆上的一点，且，则的面积为
【答案】9
【详解】直接代公式
第二定义
平面内到定点F与定直线l的距离比是常数e的点的轨迹。
焦半径公式
，其中为离心率，为P点横坐标。
已知直线过左焦点与椭圆交于两点，设，则焦半径为
，，，，
椭圆焦点弦长公式：，最长焦点弦为长轴，最短焦点弦为通径——过焦点且与长轴垂直的弦，通径长为。
其他：。
焦点弦定理
已知焦点在轴上的椭圆，经过其左焦点的直线交曲线于两点，直线的倾斜角为，，则曲线的离心率满足等式：
【对点训练】
已知椭圆C的离心率，左右焦点分别为，P为椭圆C上一动点，则的取值范围为___________.
【答案】
【详解】设，，且得：.
已知椭圆，直线，与椭圆分别交于和，则的值为
【答案】
在平面直角坐标系xOy中，已知F1，F2分别是椭圆的左，右焦点，点A，B是椭圆C上异于长轴端点的两点，且满足，则（ ）
A．△ABF2的周长为定值 B．AB的长度最小值为1
C．若AB⊥AF2，则λ=3 D．λ的取值范围是[1，5]
【答案】AC
【详解】因为，则三点共线，周长是定值，A对．
，B错．
∵，则，A在上、下顶点处，不妨设，则
解得或，，，，C对．
令
消x可得，时，
时，∴，D错．
第三定义
平面内一动点分别与两个定点连线的斜率之积为定值。
逆向性质一：为椭圆上关于原点对称的两点，椭圆上任意一点（不同于两点）与椭圆上两点连线的斜率之积为定值：。
逆向性质二：如图，直线与椭圆交于两点，点为的中点，为原点，则；
【对点训练】
已知椭圆的离心率，是椭圆上两点，是线段的中点，则直线的方程为
【答案】
已知点为椭圆（）的左焦点，过原点的直线交椭圆于，两点，点是椭圆上异于，的一点，直线，分别为，，椭圆的离心率为，若，，则（ ）
B． C． D．
【答案】AC
【详解】设椭圆的右焦点，
连接，，根据椭圆对称性可知四边形为平行四边形，
则，且由，可得，
所以，则，．
由余弦定理可得，
所以，所以椭圆的离心率．
设，，则，，，
所以，又，，相减可得．
因为，所以，所以．圆锥曲线常用二级结论（椭圆篇）
一、第一定义
椭圆的第一定义
＋＝2a>＝2c
椭圆焦点三角形
如图，是椭圆上异于长轴端点的点，已知，，则：
; ;
【对点训练】
是椭圆上一点，、分别是椭圆的左、右焦点，若，则的大小为（　　）
B． C． D．
已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为（　　）
B． C． D．
设是椭圆上的一点，且，则的面积为
第二定义
平面内到定点F与定直线l的距离比是常数e的点的轨迹。
焦半径公式
，其中为离心率，为P点横坐标。
已知直线过左焦点与椭圆交于两点，设，则焦半径为
，，，，
椭圆焦点弦长公式：，最长焦点弦为长轴，最短焦点弦为通径——过焦点且与长轴垂直的弦，通径长为。
其他：。
焦点弦定理
已知焦点在轴上的椭圆，经过其左焦点的直线交曲线于两点，直线的倾斜角为，，则曲线的离心率满足等式：
【对点训练】
已知椭圆C的离心率，左右焦点分别为，P为椭圆C上一动点，则的取值范围为___________.
已知椭圆，直线，与椭圆分别交于和，则的值为
在平面直角坐标系xOy中，已知F1，F2分别是椭圆的左，右焦点，点A，B是椭圆C上异于长轴端点的两点，且满足，则（ ）
A．△ABF2的周长为定值 B．AB的长度最小值为1
C．若AB⊥AF2，则λ=3 D．λ的取值范围是[1，5]
第三定义
平面内一动点分别与两个定点连线的斜率之积为定值。
逆向性质一：为椭圆上关于原点对称的两点，椭圆上任意一点（不同于两点）与椭圆上两点连线的斜率之积为定值：。
逆向性质二：如图，直线与椭圆交于两点，点为的中点，为原点，则；
【对点训练】
已知椭圆的离心率，是椭圆上两点，是线段的中点，则直线的方程为
已知点为椭圆（）的左焦点，过原点的直线交椭圆于，两点，点是椭圆上异于，的一点，直线，分别为，，椭圆的离心率为，若，，则（ ）
A． B． C． D．

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