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第二章一元二次方程
第9课时 认识一元二次方程
知识归纳
1.只含有 未知数的 方程，并且都可以化成 （a，b，c是常数，a≠0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程.
2.把ax2+bx+c=0（a，b，c是常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式，其中ax2，bx，c分别称为二次项、一次项和常数项， ， 分别称为二次项系数和一次项系数.
典例精讲
考点1：一元二次方程的定义
例1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　　）
A．x（x﹣2）＝0 B．x2﹣1﹣y＝0 C．x2+1＝x2﹣2x D．ax2+c＝0
【解答】解：A．x（x﹣2）＝0是一元二次方程，符合题意；B．x2﹣1﹣y＝0不是一元二次方程，不符合题意；C．x2+1＝x2﹣2x不是一元二次方程，不符合题意；D．ax2+c＝0，当a＝0时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；故选A．
1．下列方程中，是一元二次方程的是（　　）
A．+x﹣1＝0 B．3x+1＝5x+42 C．ax2+bx+c＝0 D．m2﹣2m+1＝0
2．下列方程中，是一元二次方程的是（　　）
A．x（x﹣1）+1＝x2 B．x2++4＝0
C．x2+2y+1＝0 D．x2﹣4＝0
考点2：一元二次方程各项的判断
例2．一元二次方程2x2+x﹣5＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　）
A．2，1，5 B．2，1，﹣5 C．2，0，﹣5 D．2，0，5
【解答】解：一元二次方程2x2+x﹣5＝0的二次项系数，一次项系数，常数项分别是2，1，﹣5，
故选：B．
3．若（1﹣m）+3mx﹣2＝0是关于x的一元二次方程，则该方程的一次项系数是（　　）
A．﹣1 B．±1 C．﹣3 D．±3
4．已知关于x的方程（m﹣2）x|m|﹣3x﹣4＝0是一元二次方程，则（　　）
A．m≠±2 B．m＝﹣2 C．m＝2 D．m＝±2
考点3：列一元二次方程的一般形式
例3．一元二次方程2x2+3x＝7的一般形式为（　　）
A．2x2﹣7＝﹣3x B．2x2+3x+7＝0 C．2x2+3x﹣7＝0 D．2x2＝7﹣3x
【解答】解：方程2x2+3x＝7，移项得：2x2+3x﹣7＝0．故选C．
5．把下列方程化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数以及常数项．
（1）（2x﹣1）（3x+2）＝x2+2；
（2）．
基础巩固
1．下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．3x2﹣＝0 B．2x+3y＝0
C．2x2+3＝2（x2+3x） D．y2﹣3y＝4
2．一元二次方程x2﹣2x＝4的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　）
A．1、2、﹣4 B．1、2、4 C．1、﹣2、4 D．1、﹣2、﹣4
3．若关于x的方程（m﹣4）x2+4x+5＝0是一元二次方程，则m的取值范围是（　　）
A．m＜4 B．m≠4 C．m＝4 D．m＞4
4．若方程ax2+2x﹣1＝2x2是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是 　 　．
能力提升
5．下列关于x的方程中一定是一元二次方程的是（　　）
A．x（x﹣1）＝（x+1）2+3 B．ax2+bx+c＝0
C．x2﹣mx﹣1＝0 D．+4＝0
6．下列方程中，一元二次方程有（　　）
①3x2+x＝20；②2x2﹣3xy+4＝0；③；④x2＝1；⑤
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
7．关于x的方程（a2+1）x2+2ax﹣6＝0是一元二次方程，则a的取值范围是（　　）
A．a≠±1 B．a≠0
C．a 为任何实数 D．不存在
8．方程（x+1）（x+2）＝0化为一般形式后，常数项为（　　）
A．6 B．﹣8 C．2 D．﹣4
9．关于x的方程是一元二次方程，则m＝　 　．
10．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣6x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0，求m的值．
11．把方程（3x+2）（x﹣3）＝2x﹣6，化成一般形式，并写出它的二次项系数，一次项系数和常数项．
素养拓展
12．设a，b，c分别是一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项，根据下列条件，写出该一元二次方程．
（1）a：b：c＝3：4：5，且a+b+c＝36；
（2）（a﹣2）2+|b﹣4|+＝0．
13．将4个数a，b，c，d排成2行2列，两边各加一条竖线，记成，定义＝ad﹣bc．上述记法就叫做二阶行列式．那么＝22表示的方程是一元二次方程吗？请写出它的一般形式．
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第二章一元二次方程
第9课时 认识一元二次方程
知识归纳
1.只含有 一个 未知数的 整式 方程，并且都可以化成 ax2+bx+c=0 （a，b，c是常数，a≠0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程.
2.把ax2+bx+c=0（a，b，c是常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式，其中ax2，bx，c分别称为二次项、一次项和常数项， a ， b 分别称为二次项系数和一次项系数.
典例精讲
考点1：一元二次方程的定义
例1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　　）
A．x（x﹣2）＝0 B．x2﹣1﹣y＝0 C．x2+1＝x2﹣2x D．ax2+c＝0
【解答】解：A．x（x﹣2）＝0是一元二次方程，符合题意；B．x2﹣1﹣y＝0不是一元二次方程，不符合题意；C．x2+1＝x2﹣2x不是一元二次方程，不符合题意；D．ax2+c＝0，当a＝0时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；故选A．
1．下列方程中，是一元二次方程的是（　　）
A．+x﹣1＝0 B．3x+1＝5x+42 C．ax2+bx+c＝0 D．m2﹣2m+1＝0
【解答】解：A．是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；B．是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；C．当a＝0时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；D．是一元二次方程，故本选项符合题意；故选：D．
2．下列方程中，是一元二次方程的是（　　）
A．x（x﹣1）+1＝x2 B．x2++4＝0
C．x2+2y+1＝0 D．x2﹣4＝0
【解答】解：A．化简后不含二次项，是一元一次方程，故不合题意；B．是分式方程，故不合题意；C．是二元二次方程，故不合题意；D．是一元二次方程，故项符合题意；故选D．
考点2：一元二次方程各项的判断
例2．一元二次方程2x2+x﹣5＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　）
A．2，1，5 B．2，1，﹣5 C．2，0，﹣5 D．2，0，5
【解答】解：一元二次方程2x2+x﹣5＝0的二次项系数，一次项系数，常数项分别是2，1，﹣5，
故选：B．
3．若（1﹣m）+3mx﹣2＝0是关于x的一元二次方程，则该方程的一次项系数是（　　）
A．﹣1 B．±1 C．﹣3 D．±3
【解答】解：由题意得：解得：m＝﹣1．
∴该方程的一次项系数为：3m＝﹣3．故选：C．
4．已知关于x的方程（m﹣2）x|m|﹣3x﹣4＝0是一元二次方程，则（　　）
A．m≠±2 B．m＝﹣2 C．m＝2 D．m＝±2
【解答】解：∵关于x的方程（m﹣2）x|m|﹣3x﹣4＝0是一元二次方程，
∴，解得m＝﹣2，故选：B．
考点3：列一元二次方程的一般形式
例3．一元二次方程2x2+3x＝7的一般形式为（　　）
A．2x2﹣7＝﹣3x B．2x2+3x+7＝0 C．2x2+3x﹣7＝0 D．2x2＝7﹣3x
【解答】解：方程2x2+3x＝7，移项得：2x2+3x﹣7＝0．故选C．
5．把下列方程化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数以及常数项．
（1）（2x﹣1）（3x+2）＝x2+2；
（2）．
【解答】解：（1）化简后为5x2+x﹣4＝0，因此二次项系数为5；一次项系数为1；常数项为﹣4；
（2）化简后为2x2+6x+1＝0，二次项系数为2；一次项系数为6；常数项为1．
基础巩固
1．下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．3x2﹣＝0 B．2x+3y＝0
C．2x2+3＝2（x2+3x） D．y2﹣3y＝4
【解答】解：A．是方式方程，故本选项不符合题意；B．是二元一次方程，故本选项不符合题意；C．化简可得6x﹣3＝0，是一元一次方程，故本选项不符合题意；D．是一元二次方程，故本选项符合题意；
故选：D．
2．一元二次方程x2﹣2x＝4的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　）
A．1、2、﹣4 B．1、2、4 C．1、﹣2、4 D．1、﹣2、﹣4
【解答】解：∵x2﹣2x＝4，∴x2﹣2x﹣4＝0，
∴一元二次方程x2﹣2x＝4的二次项系数、一次项系数、常数项分别是1，﹣2，﹣4，
故选：D．
3．若关于x的方程（m﹣4）x2+4x+5＝0是一元二次方程，则m的取值范围是（　　）
A．m＜4 B．m≠4 C．m＝4 D．m＞4
【解答】解：由题意，得m﹣4≠0，解得m≠4，故选：B．
4．若方程ax2+2x﹣1＝2x2是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是 　a≠2　．
【解答】解：ax2+2x﹣1＝2x2，
（a﹣2）x2+2x﹣1＝0，
∵关于x的方程ax2+2x﹣1＝2x2是一元二次方程，
∴a﹣2≠0，
即a≠2，
故答案为：a≠2．
能力提升
5．下列关于x的方程中一定是一元二次方程的是（　　）
A．x（x﹣1）＝（x+1）2+3 B．ax2+bx+c＝0
C．x2﹣mx﹣1＝0 D．+4＝0
【解答】解：A．x（x﹣1）＝（x+1）2+3整理得：﹣3x﹣4＝0，是一元一次方程，不是一元二次方程，故不符合题意；B．当a＝0时，不是一元二次方程，故不符合题意；C．是一元二次方程，故符合题意；D．是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故不符合题意；故选C．
6．下列方程中，一元二次方程有（　　）
①3x2+x＝20；②2x2﹣3xy+4＝0；③；④x2＝1；⑤
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【解答】解：①符合一元二次方程定义，正确；②方程含有两个未知数，错误；③不是整式方程，错误；
④符合一元二次方程定义，正确；⑤符合一元二次方程定义，正确．故选B．
7．关于x的方程（a2+1）x2+2ax﹣6＝0是一元二次方程，则a的取值范围是（　　）
A．a≠±1 B．a≠0
C．a 为任何实数 D．不存在
【解答】解：∵关于x的方程（a2+1）x2+2ax﹣6＝0是一元二次方程，可得a2+1不可能为0，
∴a 为任何实数．故选：C．
8．方程（x+1）（x+2）＝0化为一般形式后，常数项为（　　）
A．6 B．﹣8 C．2 D．﹣4
【解答】解：（x+1）（x+2）＝0，x2+3x+2＝0，常数项为2，故选：C．
9．关于x的方程是一元二次方程，则m＝　﹣2　．
【解答】解：∵关于x的方程是一元二次方程，
∴m﹣2≠0且m2﹣2＝2，
解得：m＝﹣2，故答案为：﹣2．
10．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣6x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0，求m的值．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣6x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0，
∴m2﹣3m+2＝0且m﹣2≠0，解得：m＝1．
11．把方程（3x+2）（x﹣3）＝2x﹣6，化成一般形式，并写出它的二次项系数，一次项系数和常数项．
【解答】解：（3x+2）（x﹣3）＝2x﹣6，
3x2﹣9x＝0，
所以它的二次项系数是3，一次项系数是﹣9，常数项是0．
素养拓展
12．设a，b，c分别是一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项，根据下列条件，写出该一元二次方程．
（1）a：b：c＝3：4：5，且a+b+c＝36；
（2）（a﹣2）2+|b﹣4|+＝0．
【解答】解：（1）设一份为k，则a＝3k，b＝4k，c＝5k，
∴3k+4k+5k＝12k＝36，解得：k＝3，∴a＝9，b＝12，c＝15，
则方程为9x2+12x+15＝0；
（2）∵（a﹣2）2+|b﹣4|+＝0，
∴a﹣2＝0，b﹣4＝0，c﹣6＝0，解得：a＝2，b＝4，c＝6，
则方程为2x2+4x+6＝0．
13．将4个数a，b，c，d排成2行2列，两边各加一条竖线，记成，定义＝ad﹣bc．上述记法就叫做二阶行列式．那么＝22表示的方程是一元二次方程吗？请写出它的一般形式．
【解答】解：根据题意，得：（x+1） 2x﹣（x+2）（x﹣2）＝22，
整理，得2x2+2x﹣x2+4＝22，
即：x2+2x﹣18＝0，它符合一元二次方程的定义．
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