资源简介

正态分布
一、 课堂目标
1．理解正态曲线的概念，掌握正态曲线的性质．
2．理解正态分布和标准正态分布的概念．
3．熟练掌握利用正态曲线的对称性和 原则求随机变量在某一范围内的概率．
4．掌握正态分布的实际应用问题．
【备注】【教师指导】
1.本节课的重点是理解正态分布的概念和性质，理解标准正态分布的概念，熟练掌握利用
正态曲线的对称性和 原则求随机变量在某一范围内的概率；难点是正态分布的实际应
用，尤其是和二项分布的综合；重点题型是求随机变量在某一范围的概率，求正态分布的
期望和方差，正态分布的实际应用问题（解答题）.
2.本讲的前置知识是二项分布与超几何分布.
二、 知识讲解
现实中，除了离散型随机变量外，还有大量问题中的随机变量不是离散型的，它们的取值往往充满某个
区间甚至整个实轴，但取一点的概率为0，我们称这类随机变量为连续型随机变量.
1. 正态曲线
知识精讲
（1）正态曲线的概念
如下图，对应的函数解析式为： ， （其中实数 和
为参数）．
显然，对于任意的称 ， ，它的图象在 轴的上方．我们称 为正态密度函数，称它的
图像为正态密度曲线，简称正态曲线．
1
（2）正态曲线的性质
①曲线位于 轴上方，与 轴不相交；
②曲线是单峰的，它关于直线 对称；
③曲线在 处达到峰值（最大值） ；
④曲线与 轴之间的面积为 ；
⑤当 一定时，曲线的位置由 确定，曲线随着 的变化而沿 轴平移，如图所示；
⑥当 一定时，曲线的形状由 确定， 越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中； 越大，曲线越
“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图所示．
2
【备注】【教师指导】
性质①说明函数的值域为正实数集的子集，即函数的图像以 轴为渐近线；
性质②说明随机变量 落在关于直线 对称的区间上的概率相等；
性质④说明随机变量 落在 内的概率为 ；
性质⑤可结合性质②理解；
性质⑥说明当 一定， 变化时，总体分布的集中、分散程度．
经典例题
1. 关于正态曲线的性质：
①曲线关于直线 对称，并且曲线在 轴上方；
②曲线关于 轴对称，且曲线的最高点的坐标是 ；
③曲线最高点的纵坐标是 ，且曲线无最低点；
④ 越大，曲线越“高瘦”； 越小，曲线越“矮胖”．
其中正确的是（ ）．
A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①③
【备注】【教师指导】
本题要求学生熟练掌握正态曲线的性质.
注意：②是关于 对称，最高点坐标是 ；④前提是当 一定.
【答案】D
【解析】由正态曲线的特点可知①③正确．
故选 ．
【标注】【知识点】正态分布
3
巩固练习
2. 如图是当 取三个不同值 ， ， 时的三种正态曲线，那么 ， ， 的大小关系是（ ）．
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】由图可知，三种正态曲线的 都等于 ，
由 一定时， 越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中， 越大，曲线越“矮胖”，
表示总体的分布越分散，则 ．
故选 ．
【标注】【知识点】正态分布
2. 正态分布
知识精讲
（1）正态分布的概念
若随机变量 的概率分布密度函数为： ， （其中实数 和
为参数），则称随机变量 服从正态分布，记为 ．
正态分布完全由参数 和 确定，其中参数 是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均
值去估计； 是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计．
注意：
若 ，则 ．
若 ，如下图所示， 取值不超过 的概率 为图中区域 的面积，而
4
为区域 的面积．
（2） 原则
若 ，则对于任何实数 ， 为下图阴影部分的面积，对于固定的
和 而言，该面积随着 的减小而变大．这说明 越小， 落在区间 的概率越大，即 集
中在 周围概率越大．
特别有，
① ，
② ，
③ ．
由 知，正态总体几乎总取值于区间 之内．而在此区
间以外取值的概率只有 ． ，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．
在实际应用中，通常认为服从于正态分布 的随机变量 只取 之间的值，并简称
之为 原则．
【备注】【较市指导】
对小概率事件（一般情况下，指发生的概率小于 的事件）要有一个正确的理解：
①这里的“几乎不可能发生”是针对“一次试验”来说的，如果试验次数多了，该事件当然是很
有可能发生的；
②当我们运用“小概率事件几乎不可能发生”的原理进行推断时，也有 的犯错的可能．
经典例题
3. 已知随机变量 服从正态分布 ，若 ，则 ．
5
【备注】【教师指导】
考查正态分布概率计算问题，结合正态曲线的对称性求解.
【答案】
【解析】因为随机变量 服从正态分布 ，
所以相应的正态曲线关于直线 对称，
于是有 ，
，
．
【标注】【知识点】正态分布
4. 设随机变量 ，则 服从的总体分布可记为 ．
【备注】【教师指导】
考查正态分布的期望与方差，要求学生熟记：若 ，则
．
【答案】
【解析】∵ ，
∴ ， ，
又 ， ，
，
∴ ，
故 ．
【标注】【知识点】正态分布
巩固练习
5. 随机变量 服从正态分布 ，且 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】 ，
∴
6
．
故选 ．
【标注】【知识点】正态分布
6. 设随机变量 服从正态分布 ，若 ，则 与 的值分别为（ ）．
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
【答案】C
【解析】∵随机变量 服从正态分布 ，
∴正态曲线关于 对称．
∵ ，
∴ ， ．
【标注】【知识点】正态分布
经典例题
7. 已知随机变量 ，且正态分布密度函数在 上是增函数，在 上为减函
数， ．
（ 1 ）求参数 ， 的值．
（ 2 ）求 ．
【备注】【教师指导】
本题主要考查正态曲线的性质和 综合问题，注意正态曲线关于直线 对称，由此可
以求出 的值.
① ，
② ，
③ ，一般属于题目已知条件.
所以注意解析中，
7
【答案】（ 1 ） ， ．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）由于正态分布密度函数在 上是增函数，在 上是减函数，
所以正态曲线关于直线 对称，即参数 ，
又 ，
，
所以 ．
（ 2 ）∵ ，
，
∴
．
【标注】【知识点】正态分布
8. 某校高三年级的 名学生在一次模拟考试中，数学考试成绩 服从正态分布 ，则该年级
学生数学成绩在 分以上的学生人数大约为（ ）．
8
（附数据： ， ）
A. 人 B. 人 C. 人 D. 人
【备注】【教师指导】
利用正态分布 原则求概率问题，属于常考题型，进一步加深学生对 原则的理解．
【答案】A
【解析】由题意可知， ， ，
∵ ，
∴ ，
故该年级学生数学成绩在 分以上的学生人数大约为 人．
故选 ．
【标注】【知识点】正态分布
巩固复习
9. 山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外，据统计，烟台苹果（把苹
果近似看成球体）的直径（单位： ）服从正态分布 ，则果实直径在 内的概率
为（ ）．
附：若 ，则 ，
．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意， ， ，
则 ，
，
所以 ，
，
故果实直径在 内的概率为 ．
【标注】【知识点】正态分布
10.
9
某市高二 名学生参加市体能测试，成绩采用百分制，平均分为 ，标准差为 ，成绩服从正态
分布，则成绩在 的人数为 ．
参考数据： ， ，
．
【答案】
【解析】由题知 ， ，
，
（人）．
【标注】【知识点】正态分布
【素养】数学运算
经典例题
11. 新型冠状病毒肺炎是一种急性感染性肺炎，其病原体是一种先前未在人类中发现的新型冠状病毒，
即 新型冠状病毒． 年 月 日，国家卫健委决定将“新型冠状病毒感染的肺炎”暂命名为“新型
冠状病毒肺炎”，简称“新冠肺炎”．患者初始症状多为发热、乏力和干咳，并逐渐出现呼吸困难等严
重表现．基于目前的流行病学调查，潜伏期为 天，潜伏期具有传染性，无症状感染者也可能
成为传染源．某市为了增强民众防控病毒的意识，举行了“预防新冠病毒知识竞赛”网上答题，随机抽
取 人，答题成绩统计如图所示．
频率
组距
成绩 分
（ 1 ）由直方图可认为答题者的成绩 服从正态分布 ，其中 ， 分别为答题者的平均成绩
和成绩的方差 ，那么这 名答题者成绩超过 分的人数估计有多少人？（同一组中
的数据用该组的区间中点值作代表）
（ 2 ）如果成绩超过 分的民众我们认为是“防御知识合格者”，用这 名答题者的成绩来估计
全市的民众，现从全市中随机抽取 人，“防御知识合格者”的人数为 ，求 ．（精确到
10
）
附：① ， ；
② ，则 ，
；
③ ， ．
【备注】【教师指导】
本题主要考查正态分布的实际应用，以及与二项分布的综合.
注意：正态分布完全由参数 和 确定，其中参数 是反映随机变量取值的平均水平的特征
数，可以用样本的均值去估计； 是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标
准差去估计，而 可以用样本的方差去估计．
【答案】（ 1 ） 人．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）由题意知：
，
依题意 服从正态分布 ，其中 ， ，
，
∴ 服从正态分布 ，
而 ，
∴ ．
∴竞赛成绩超过 分的人数估计为 人．
（ 2 ）由（ ）知，成绩超过 分的概率 ，
而 ，
∴
．
【标注】【知识点】正态分布；频率分布直方图
12. 年春节期间，武汉市爆发了新型冠状病毒肺炎疫情，在党中央的坚强领导下，全国人民团结一
心，众志成城，共同抗击疫情．某中学寒假开学后，为了普及传染病知识，增强学生的防范意识，
提高自身保护能力，校委会在全校学生范围内，组织了一次传染病及个人卫生相关知识有奖竞赛(满
11
分 分)，竞赛奖励规则如下，得分在 内的学生获三等奖，得分在 内的学生获二等
奖，得分在 内的学生获一等奖，其他学生不得奖．教务处为了解学生对相关知识的掌握情
况，随机抽取了 名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如下样本频率分布直方图．
频率
组距
竞赛成绩（分）
（ 1 ）现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，求这两名学生中恰有一名学生获奖的概率．
（ 2 ）若该校所有参赛学生的成绩 近似服从正态分布 ，其中 ， 为样本平均数的估
计值，利用所得正态分布模型解决以下问题：
1 若该校共有 名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过 分的学生数（结果
四舍五入到整数）．
2 若从所有参赛学生中(参赛学生数大于 )随机抽取 名学生进行座谈，设其中竞赛成
绩在 分以上的学生数为 ，求随机变量 的分布列和均值．
附：若随机变量 服从正态分布 ，则 ，
， ．
【备注】【教师指导】
本题主要考查正态分布与二项分布的综合，属于考试中的重点题型，要求学生要重点掌握.
第（1）问考查古典概型；
第（2）问①利用正态曲线的对称性求概率问题；
第（2）问②利用正态分布的性质先求概率，再结合二项分布求分布列和期望.
注意：
12
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ）1 ．
2 分布列为
均值为 ．
【解析】（ 1 ）由样本频率分布直方图得，样本中获一等奖的 人，获二等奖的 人，获三等奖的
人，共有 人获奖， 人没有获奖．从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成
绩，基本事件总数为 ，设”抽取的两名学生中恰有一名学生获奖”为事件 ，则
事件 包含的基本事件的个数为 ，因为每个基本事件出现的可能性都相
等， ，即抽取的两名学生中恰有一名学生获奖的概率为
．
（ 2 ）1 由样本频率分布直方图得样本平均数的估计值
所有参赛学生的成绩 近似服从正态分布 ．
因为 ，所以 ，参赛学生中成
绩超过 分的学生数约为 ．
2
13
由 ，得 ，即从所有参赛学生中随机抽取 名学生，该生
竞赛成绩在 分以上的概率为 ，所以随机变量 服从二项分布 ，随
机变量 的所有可能取得的值为 ， ， ， ．
随机变量 的分布列为
所以 ．
【标注】【知识点】正态分布；离散型随机变量的数学期望；n次独立重复试验与二项分布
巩固练习
13. 从某公司生产线生产的某种产品中抽取 件，测量这些产品的一项质量指标，由检测结果得如图
所示的频率分布直方图：
频率 组距
质量指标值
（ 1 ）求这 件产品质量指标的样本平均数 和样本方差 （同一组中的数据用该组区间的中点
值作代表）．
（ 2 ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值 服从正态分布 ，其中 近似为样本平均
数 ， 近似为样本方差 ．
1 利用该正态分布，求 ．
14
2 已知每件该产品的生产成本为 元，每件合格品（质量指标值 的定
价为 元；若为次品（质量指标值 ，除了全额退款外且每件次品还
须赔付客户 元．若该公司卖出 件这种产品，记 表示这件产品的利润，求 ．
附： ．若 ，则 ，
．
【答案】（ 1 ）样本平均数为 ，样本方差为 ．
（ 2 ）1 ．
2 ．
【解析】（ 1 ）由题意得：
．
，
∴即样本平均数为 ，样本方差为 ．
（ 2 ）1 由（ ）可知， ， ，
∴ ，
∴ ．
2 设 表示 件产品的正品数，由题意得：
，
∴ ，
∴ ．
【标注】【知识点】用样本的数字特征估计总体的数字特征问题；极差、方差与标准差；n次独立
重复试验与二项分布；正态分布
14. 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取 个零件，并测量
其尺寸（单位： ）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从
正态分布 ．
（ 1 ）假设生产状态正常，记 表示一天内抽取的 个零件中其尺寸在 之外的零件
数，求 及 的数学期望．
（ 2 ）
15
一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 之外的零件，就认为这条生产线在这
一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
1 试说明上述监控生产过程方法的合理性．
2 下面是检验员在一天内抽取的 个零件的尺寸：
附：若随机变量 服从正态分布 ，则 ，
， ．用样本平均数 作为 的估计值 ，用样本标准差
作为 的估计值 ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除
之外的数据，用剩下的数据估计 和 （精确到 ）．经计算得
， ，其
中 为抽取的第 个零件的尺寸， ．
【答案】（ 1 ） ， ．
（ 2 ）1 由（1）知出现尺寸在 中的零件的概率为 ，
如此小的概率在一次实验中发生了，有理由相信出现了异常情况．
2 ， ．
【解析】（ 1 ）依题意知，抽取零件尺寸在 之外的概率为
，且 ，则
，
．
（ 2 ）1 由（1）知出现尺寸在 中的零件的概率为 ，
如此小的概率在一次实验中发生了，有理由相信出现了异常情况．
2 ，
，
所以剔除 ，
剔除后 ，
，
．
【标注】【素养】逻辑推理
【素养】数学运算
16
【知识点】离散型随机变量的数学期望
【知识点】n次独立重复试验与二项分布
【知识点】正态分布
3. 标准正态分布
知识精讲
若随机变量 ，则当 ， 时，称随机变量 服从标准正态分布，简称标准正态分
布．
标准正态分布的密度函数为 ， ，其相应的密度曲线称为标准正态曲
线．如图所示：
由于标准正态总体 在正态总体的研究中占有非常重要的地位，专门制作了“标准正态分布表”．在
这个表中，相应于 的值 是指总体取值小于 的概率，即 ，如图 左边的部
分所示．
由于标准正态曲线关于 轴对称，标准正态分布表中仅给出了对应于非负值 的值 ，因此，如果
，那么由下图根据面积相等知 ．
17
知识点睛
一般的正态分布 均可以化成标准正态分布 来进行研究．事实上，可以证明，对任一正
态分布 来说，取值小于 的概率 ．
所以，可以利用公式 可将非标准正态分布问题转化为标准正态分布问题．
经典例题
15. 随机变量 服从标准正态分布，如果 ，则 ．
【备注】【教师指导】
本题考查标准正态分布概率计算问题，注意在标准正态分布中： .
【答案】
【解析】根据正态分布的概率分布特点可知
．
【标注】【知识点】正态分布
巩固练习
16. 设随机变量 服从标准正态分布 ，在某项测量中，已知 ，则 在
内取值的概率为 ．
【答案】
【解析】由 ，得出 ．
且 ，所以 ．
【标注】【知识点】正态分布
17. 已知随机变量 ，记 ，则下列结论不正确的是（ ）．
A.
B.
C.
D.
18
【答案】D
【解析】 随机变量 ， 正态曲线关于 对称． ，
， ， ．故选 ．
【标注】【知识点】正态分布
三、 思维导图
你学会了吗？画出思维导图总结本课所学吧！
【备注】
四、 出门测
18. 已知随机变量 服从正态分布 ，且 ，则 ．
【答案】
【解析】∵随机变量 服从正态分布 ，
，
∴ ．
19
【标注】【知识点】正态分布
19. 设两个正态分布 和 的密度曲线如图所示，则有（ ）．
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
【答案】C
【解析】由正态分布的参数和图象可知，
代表正态分布曲线的对称轴，
∴ ，
代表曲线的高度和宽度，
越大，则曲线越“矮胖”， 越小，曲线越“高瘦”，
∴ ，
故选 ．
【标注】【知识点】极差、方差与标准差
【知识点】离散型随机变量的数学期望
【知识点】正态分布
【素养】逻辑推理
【素养】数学运算
【方法】图象法
【思想】数形结合思想
20. 某小区有 户居民，各户每月的用电量（单位：度）近似服从正态分布 ，则用电量
在 度以上的居民户数约为（ ）．
（参考数据：若随机变量 服从正态分布 ，则 ，
， ）
A. B. C. D.
20
【答案】D
【解析】由题意， ， ，
则 ，
∴ ，
∴用电量在 度以上的居民户数约为 ．
故选 ．
【标注】【知识点】正态分布
21. 从某企业的某种产品中抽取 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布
直方图
频率
组距
质量指标值
（ 1 ）求这 件产品质量指标值的样本平均数 和样本方差 （同一组数据用该区间的中点值作代
表）；
（ 2 ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值 服从正态分布 ，其中 近似为样本平均
数 ， 近似为样本方差 ．
①利用该正态分布，求 ；
②某用户从该企业购买了 件这种产品，记 表示这 件产品中质量指标值位于区间
的产品件数，利用（Ⅰ）的结果，求 ．
附： ．若 ～ ，则 ，
．
【答案】（ 1 ） ，
（ 2 ）① ；② ．
【解析】（ 1 ）抽取产品的质量指标值的样本平均数
21
（ 2 ）①由（Ⅰ）知， ，从而
．
②由①知，一件产品的质量指标值位于区间（ ， ）的概率为 ．
依题意知 （ ， ），所以 ．
【标注】【知识点】正态分布
22正态分布
一、 课堂目标
1．理解正态曲线的概念，掌握正态曲线的性质．
2．理解正态分布和标准正态分布的概念．
3．熟练掌握利用正态曲线的对称性和 原则求随机变量在某一范围内的概率．
4．掌握正态分布的实际应用问题．
二、 知识讲解
现实中，除了离散型随机变量外，还有大量问题中的随机变量不是离散型的，它们的取值往往充满某个
区间甚至整个实轴，但取一点的概率为0，我们称这类随机变量为连续型随机变量.
1. 正态曲线
知识精讲
（1）正态曲线的概念
如下图，对应的函数解析式为： ， （其中实数 和
为参数）．
显然，对于任意的称 ， ，它的图象在 轴的上方．我们称 为正态密度函数，称它的
图像为正态密度曲线，简称正态曲线．
（2）正态曲线的性质
①曲线位于 轴上方，与 轴不相交；
1
②曲线是单峰的，它关于直线 对称；
③曲线在 处达到峰值（最大值） ；
④曲线与 轴之间的面积为 ；
⑤当 一定时，曲线的位置由 确定，曲线随着 的变化而沿 轴平移，如图所示；
⑥当 一定时，曲线的形状由 确定， 越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中； 越大，曲线越
“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图所示．
经典例题
1. 关于正态曲线的性质：
①曲线关于直线 对称，并且曲线在 轴上方；
②曲线关于 轴对称，且曲线的最高点的坐标是 ；
③曲线最高点的纵坐标是 ，且曲线无最低点；
④ 越大，曲线越“高瘦”； 越小，曲线越“矮胖”．
2
其中正确的是（ ）．
A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①③
巩固练习
2. 如图是当 取三个不同值 ， ， 时的三种正态曲线，那么 ， ， 的大小关系是（ ）．
A.
B.
C.
D.
2. 正态分布
知识精讲
（1）正态分布的概念
若随机变量 的概率分布密度函数为： ， （其中实数 和
为参数），则称随机变量 服从正态分布，记为 ．
正态分布完全由参数 和 确定，其中参数 是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均
值去估计； 是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计．
注意：
若 ，则 ．
若 ，如下图所示， 取值不超过 的概率 为图中区域 的面积，而
为区域 的面积．
3
（2） 原则
若 ，则对于任何实数 ， 为下图阴影部分的面积，对于固定的
和 而言，该面积随着 的减小而变大．这说明 越小， 落在区间 的概率越大，即 集
中在 周围概率越大．
特别有，
① ，
② ，
③ ．
由 知，正态总体几乎总取值于区间 之内．而在此区
间以外取值的概率只有 ． ，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．
在实际应用中，通常认为服从于正态分布 的随机变量 只取 之间的值，并简称
之为 原则．
经典例题
3. 已知随机变量 服从正态分布 ，若 ，则 ．
4. 设随机变量 ，则 服从的总体分布可记为 ．
巩固练习
5. 随机变量 服从正态分布 ，且 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
4
6. 设随机变量 服从正态分布 ，若 ，则 与 的值分别为（ ）．
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
经典例题
7. 已知随机变量 ，且正态分布密度函数在 上是增函数，在 上为减函
数， ．
（ 1 ）求参数 ， 的值．
（ 2 ）求 ．
8. 某校高三年级的 名学生在一次模拟考试中，数学考试成绩 服从正态分布 ，则该年级
学生数学成绩在 分以上的学生人数大约为（ ）．
（附数据： ， ）
A. 人 B. 人 C. 人 D. 人
巩固复习
9. 山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外，据统计，烟台苹果（把苹
果近似看成球体）的直径（单位： ）服从正态分布 ，则果实直径在 内的概率
为（ ）．
附：若 ，则 ，
．
A. B. C. D.
10. 某市高二 名学生参加市体能测试，成绩采用百分制，平均分为 ，标准差为 ，成绩服从正态
分布，则成绩在 的人数为 ．
参考数据： ， ，
．
经典例题
11. 新型冠状病毒肺炎是一种急性感染性肺炎，其病原体是一种先前未在人类中发现的新型冠状病毒，
即 新型冠状病毒． 年 月 日，国家卫健委决定将“新型冠状病毒感染的肺炎”暂命名为“新型
冠状病毒肺炎”，简称“新冠肺炎”．患者初始症状多为发热、乏力和干咳，并逐渐出现呼吸困难等严
重表现．基于目前的流行病学调查，潜伏期为 天，潜伏期具有传染性，无症状感染者也可能
5
成为传染源．某市为了增强民众防控病毒的意识，举行了“预防新冠病毒知识竞赛”网上答题，随机抽
取 人，答题成绩统计如图所示．
频率
组距
成绩 分
（ 1 ）由直方图可认为答题者的成绩 服从正态分布 ，其中 ， 分别为答题者的平均成绩
和成绩的方差 ，那么这 名答题者成绩超过 分的人数估计有多少人？（同一组中
的数据用该组的区间中点值作代表）
（ 2 ）如果成绩超过 分的民众我们认为是“防御知识合格者”，用这 名答题者的成绩来估计
全市的民众，现从全市中随机抽取 人，“防御知识合格者”的人数为 ，求 ．（精确到
）
附：① ， ；
② ，则 ，
；
③ ， ．
12. 年春节期间，武汉市爆发了新型冠状病毒肺炎疫情，在党中央的坚强领导下，全国人民团结一
心，众志成城，共同抗击疫情．某中学寒假开学后，为了普及传染病知识，增强学生的防范意识，
提高自身保护能力，校委会在全校学生范围内，组织了一次传染病及个人卫生相关知识有奖竞赛(满
分 分)，竞赛奖励规则如下，得分在 内的学生获三等奖，得分在 内的学生获二等
奖，得分在 内的学生获一等奖，其他学生不得奖．教务处为了解学生对相关知识的掌握情
况，随机抽取了 名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如下样本频率分布直方图．
6
频率
组距
竞赛成绩（分）
（ 1 ）现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，求这两名学生中恰有一名学生获奖的概率．
（ 2 ）若该校所有参赛学生的成绩 近似服从正态分布 ，其中 ， 为样本平均数的估
计值，利用所得正态分布模型解决以下问题：
1 若该校共有 名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过 分的学生数（结果
四舍五入到整数）．
2 若从所有参赛学生中(参赛学生数大于 )随机抽取 名学生进行座谈，设其中竞赛成
绩在 分以上的学生数为 ，求随机变量 的分布列和均值．
附：若随机变量 服从正态分布 ，则 ，
， ．
巩固练习
13. 从某公司生产线生产的某种产品中抽取 件，测量这些产品的一项质量指标，由检测结果得如图
所示的频率分布直方图：
频率 组距
质量指标值
（ 1 ）求这 件产品质量指标的样本平均数 和样本方差 （同一组中的数据用该组区间的中点
值作代表）．
（ 2 ）
7
由直方图可以认为，这种产品的质量指标值 服从正态分布 ，其中 近似为样本平均
数 ， 近似为样本方差 ．
1 利用该正态分布，求 ．
2 已知每件该产品的生产成本为 元，每件合格品（质量指标值 的定
价为 元；若为次品（质量指标值 ，除了全额退款外且每件次品还
须赔付客户 元．若该公司卖出 件这种产品，记 表示这件产品的利润，求 ．
附： ．若 ，则 ，
．
14. 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取 个零件，并测量
其尺寸（单位： ）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从
正态分布 ．
（ 1 ）假设生产状态正常，记 表示一天内抽取的 个零件中其尺寸在 之外的零件
数，求 及 的数学期望．
（ 2 ）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 之外的零件，就认为这条生产线在这
一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
1 试说明上述监控生产过程方法的合理性．
2 下面是检验员在一天内抽取的 个零件的尺寸：
附：若随机变量 服从正态分布 ，则 ，
， ．用样本平均数 作为 的估计值 ，用样本标准差
作为 的估计值 ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除
之外的数据，用剩下的数据估计 和 （精确到 ）．经计算得
， ，其
中 为抽取的第 个零件的尺寸， ．
3. 标准正态分布
知识精讲
若随机变量 ，则当 ， 时，称随机变量 服从标准正态分布，简称标准正态分
布．
8
标准正态分布的密度函数为 ， ，其相应的密度曲线称为标准正态曲
线．如图所示：
由于标准正态总体 在正态总体的研究中占有非常重要的地位，专门制作了“标准正态分布表”．在
这个表中，相应于 的值 是指总体取值小于 的概率，即 ，如图 左边的部
分所示．
由于标准正态曲线关于 轴对称，标准正态分布表中仅给出了对应于非负值 的值 ，因此，如果
，那么由下图根据面积相等知 ．
知识点睛
一般的正态分布 均可以化成标准正态分布 来进行研究．事实上，可以证明，对任一正
态分布 来说，取值小于 的概率 ．
所以，可以利用公式 可将非标准正态分布问题转化为标准正态分布问题．
经典例题
15. 随机变量 服从标准正态分布，如果 ，则 ．
9
巩固练习
16. 设随机变量 服从标准正态分布 ，在某项测量中，已知 ，则 在
内取值的概率为 ．
17. 已知随机变量 ，记 ，则下列结论不正确的是（ ）．
A.
B.
C.
D.
三、 思维导图
你学会了吗？画出思维导图总结本课所学吧！
四、 出门测
18. 已知随机变量 服从正态分布 ，且 ，则 ．
19. 设两个正态分布 和 的密度曲线如图所示，则有（ ）．
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
20. 某小区有 户居民，各户每月的用电量（单位：度）近似服从正态分布 ，则用电量
在 度以上的居民户数约为（ ）．
（参考数据：若随机变量 服从正态分布 ，则 ，
， ）
A. B. C. D.
21.
10
从某企业的某种产品中抽取 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直
方图
频率
组距
质量指标值
（ 1 ）求这 件产品质量指标值的样本平均数 和样本方差 （同一组数据用该区间的中点值作代
表）；
（ 2 ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值 服从正态分布 ，其中 近似为样本平均
数 ， 近似为样本方差 ．
①利用该正态分布，求 ；
②某用户从该企业购买了 件这种产品，记 表示这 件产品中质量指标值位于区间
的产品件数，利用（Ⅰ）的结果，求 ．
附： ．若 ～ ，则 ，
．
11

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