资源简介

导数与函数的单调性、极值与最值
一、 课堂目标
1．掌握利用导数求解函数单调区间的方法步骤 ．
2．掌握极值与极值点的概念，能够结合函数与导数图象找出极值点与极值 ．
3．掌握利用导数求解函数极值的方法步骤．
4．掌握利用导数求解给定区间上可导函数最值的方法步骤．
【备注】【教师指导】
1．本堂课重点是正好给您我利用导数求解函数单调区间的方法步骤，掌握极值、极值点的
概念，掌握找极值点和求极值的方法，掌握求最值的步骤；难点是对于极值与最值的区
分，以及对求解步骤的运用.
2．本堂课与导数后续知识联系密切，包括后面会学习到的利用导数研究函数的恒成立问
题、零点问题等等，会转化成极值与最值的问题，因此非常重要，要求学生务必掌握.本堂
课不涉及含参函数的相关内容，含参函数会在后续讲解.
二、 知识讲解
1. 导数与函数单调性
知识精讲
（1）导数与函数单调性
①如果在区间 ， 内， （ ） ，则曲线 （ ）在区间 ， 对应的那一段上每一点处切
线的斜率都大于 ，曲线呈上升状态，因此 （ ）在 ， 上是增函数，如下图所示；
②如果在区间 ， 内， （ ） ，则曲线 （ ）在区间 ， 对应的那一段上每一点处切
线的斜率都小于 ，曲线呈下降状态，因此 （ ）在 ， 上是减函数，如下图所示.
1
（2）导数绝对值的大小与函数图象的关系
一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时
函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图象就比较“平
缓.
知识点睛
函数 在区间 可导.
（1）若 ，则函数在此区间内单调递增；
（2）若 ，则函数在此区间内单调递减；
（3）若 ，则函数在此区间内为常数函数.
【备注】【教师指导】
是函数 在此区间上为增函数的充分不必要条件.例如，在 上的增函数
在 处的导数为 .
经典例题
1. 已知函数 的导函数 的图象如图所示，那么函数 的图象最有可能的是（ ）．
2
A. ① B. ② C. ③ D. ④
【备注】【教师指导】
本题考查已知导函数的图象求解原函数的图象.
【答案】A
【解析】 时， ，则 单减，
时， ，则 单增，
时， ，则 单减．
故选 ．
【标注】【知识点】已知导函数确认原函数图象
巩固练习
2. 是函数 的导函数， 的图像如图所示，则 的图像最有可能是下列选项中的
（ ）．
A. B.
C. D.
3
【答案】C
【解析】 时导函数图像在 轴的上方，表示在此区间上，原函数的图像呈上升趋势，
可排除 、 两选项．
时导函数图像在 轴的下方，表示在此区间上，原函数的图像呈下降趋势，可排
除 选项．
故选 ．
【标注】【知识点】已知导函数确认原函数图象
经典例题
3. 函数 的图象如图所示，则 的图像可能是（ ）．
A. B.
C. D.
【备注】【教师指导】
本题考查已知原函数图象，求解导函数图象.目的是让学生掌握导函数的正负与原函数图象
的关系.
【答案】D
【解析】由图像可知：
在 上单调递增，在 上单调递减，
故 在 上 ，在 上 ．
4
故选 ．
【标注】【知识点】已知原函数确认导数图函象
4. 已知函数 的图像如图所示，则等式 的解集为（ ）．
A.
B.
C.
D.
【备注】【教师指导】
本题是上题的进阶考查，首先通过原函数图象判断导函数的正负，再判断 的取值范围.
【答案】C
【解析】 或 ，
由图可得： ．
故选 ．
【标注】【知识点】已知原函数确认导数图函象
巩固练习
5. 如果函数 的图像如右图，那么导函数 的图像可能是（ ）．
A. B.
5
C. D.
【答案】A
【解析】由 的图象得函数的单调性，从而得导函数的正负．
解：由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依次是正 负 正 负．
故选 ．
【标注】【知识点】已知原函数确认导数图函象
2. 利用导数求函数的单调区间的步骤
知识精讲
（1）确定 的定义域；
（2）求导数 ；
（3）由 （或 ）解出相应的 的取值范围.当 时， 在相应区间上是增函
数；当 时， 在相应区间上是减函数.
知识点睛
需要注意的是：
1.在利用导数求函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题是必须在定义域内进行；
2.在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于零的点（即导函数的零点）外，还要注意定义域
内的不连续点和不可导点.
经典例题
6
6. 函数 的单调递增区间是（ ）．
A. B.
C. D.
【备注】【教师指导】
本题属于常考求单调区间类型，较简单.
【答案】C
【解析】∵函数 ，
．
由 ，得 ，
∴函数 的单调递增区间为 ．
故 正确．
【标注】【知识点】直接求函数的单调性（不含参）
巩固练习
7. 函数 的单调递增区间为（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】 ，解得 ，
所以 的单调递增区间为 ，故选 ．
【标注】【知识点】直接求函数的单调性（不含参）
8. 函数 ， 的单调递减区间是（ ）．
A. 和
B. 和
C. 和
7
D. 和
【答案】A
【解析】∵ ，
∴ ，
令 ，且 ，得 或 ，
则函数 ， 的单调递减区间是 和
．
故选 ．
【标注】【知识点】直接求函数的单调性（不含参）
经典例题
9. 函数 在 上是减函数，则 的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
【备注】【教师指导】
本题考查的是已知函数单调区间求参数.类型属于区间上恒单调问题.
【答案】A
【解析】对函数 求导，得 ，
∵函数 在 上是减函数，
∴ 在 上恒成立，
即 恒成立，
∴ ， 解得 ，
又∵当 时， 不是三次函数，不满足题意，
∴ ．
故选 ．
【标注】【知识点】区间上恒单调
巩固练习
10. 若 为函数 的递增区间，则 的取值范围为（ ）．
A. B.
8
C. D.
【答案】A
【解析】∵ 为函数 的递增区间，∴等价为 对 恒成立，∴
，∵当 时， ，∴ ．
故选 ．
【标注】【知识点】区间上恒单调
11. 若函数 为增函数，则实数 的取值范围为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵ 为增函数，
∴ 恒成立，
又∵ ，
∴ ，
的取值范围为 ．
故选 ．
【标注】【知识点】区间上恒单调
经典例题
12. 已知 在区间 上不单调，实数 的取值范围是（ ）．
A. B.
C. D.
【备注】【教师指导】
本题考查的是已知函数的单调区间求参数问题.类型是在某区间上不单调问题.
【答案】B
【解析】 在区间 上不单调，
∴ 在定义域 内有解，
令 ，则 在 内有零点，
9
根据题意 ，解得 ．
故选 ．
【标注】【知识点】区间上不单调
巩固练习
13. 已知函数 在 上不单调，则 的取值范围是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】 ，
因为 在 上不单调，
所以 在 上有解，
又 在 上单调递减，
所以 ， ，
故 ．
【标注】【知识点】区间上不单调
经典例题
14. 函数 在 上存在单调增区间，则实数 的范围是 ．
【备注】【教师指导】
本题考查已知单调性求参数问题，类型是存在单调区间求参数问题.
【答案】
【解析】函数 在 上存在单调增区间等价于存在 使得
成立，
即存在 ，
使得 成立，
令 ，
故 ，
又 ，
10
令 ，
即 ，
所以 在区间 上单调递增；
令 ，
解得 ，
所以 在区间 上单调递增；
所以 ，
故 ，
故答案为： ．
【标注】【知识点】存在单调增（减）区间
巩固练习
15. 若函数 存在单调递增区间，则 的取值范围是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】∵ 存在单调递增区间，
在 上有解，
即 在 上有解，
令 ， ，
则 ，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
又 ， ， ， ，
∵ ，
∴ ．
故选： ．
【标注】【知识点】存在单调增（减）区间
11
3. 导数与函数的极值
知识精讲
函数极值与极值点的定义
一般地，设函数 （ ）的定义域为 ，设 ，如果对于 附近的任意不同于 的 ,都有：
① （ ） （ ），则称 为函数 （ ）的一个极大值点，且 （ ）在 处取极大值;
② （ ） （ ），则称 为函数 （ ）的一个极小值点，且 （ ）在 处取极小值.
极大值点与极小值点都称为极值点，极大值与极小值都称为极值.显然，极大值点在其附近函数值最大，
极小值点在其附近函数值最小.
知识点睛
极值点的判断
一般地，设函数 （ ）在 处可导，且 （ ） .
①如果对于 左侧附近的任意 ，都有 （ ） ，对于 右侧附近的任意 ，都有 （ ） ，那
么此时 是 （ ）的极大值点；
②如果对于 左侧附近的任意 ，都有 （ ） ，对于 右侧附近的任意 ，都有 （ ） ，那
么此时 是 （ ）的极小值点；
③如果 （ ）在 的左侧附近与右侧附近均为正号（或均为负号），则 一定不是 （ ）的极
值点.
经典例题
16. 函数 在 上的极小值点为（ ）．
A. B.
C. D.
【备注】【教师指导】
本题考查极值点的概念，求解极值点.
【答案】D
【解析】 ，得 或 ，
故 在区间 上是增函数，
在区间 上是减函数，在 是增函数．
∴ 是函数的极小值点．
故答案为 ．
12
【标注】【知识点】直接求函数的极值（不含参）
17. 已知 ，在 处有极值 ，则 ， 的值为（ ）．
A. ， 或 ，
B. ， 或 ，
C. ，
D. 以上都不正确
【备注】【教师指导】
本题考查已知函数极值点求参数问题.
【答案】C
【解析】 ，
∵在 时， 有极值 ，
∴ ，
∴ 或 ．
验证可知，当 ， 时，在 无极值．
故选 ．
【标注】【素养】数学运算
【知识点】已知极值情况求参数值
巩固练习
18. 函数 的极大值为 ，那么 等于（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】令 得 或 ，易得 为 的极大值点，由 得
．
【标注】【知识点】已知极值情况求参数值
4. 求函数 的极值的方法
13
知识精讲
求极值的步骤：
（1）求导数 ；
（2）求方程 的所有实数根；
（3）检验 在方程 的根的左右两侧的值的符号：
①如果是左正右负，则 在这个根处去的极大值；
②如果是左负右正，则 在这个根处去的极小值；
③如果是左右同号，则 在这个根处无极值.
知识点睛
导数与极值的关系：
如果函数 在区间 上是单调递增的，在区间 上是单调递减的，则 是极大值点，
是极大值.
【备注】【教师指导】
此部分内容重点强调表格.
如果函数 在区间 上是单调递减的，在区间 上是单调递增的，则 是极小值点，
是极小值.
经典例题
19. 求下列函数的极值．
14
（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
【备注】【教师指导】
本题考查求解函数极值问题，在一开始学习时，可以用表格辅助解题.熟悉后可不用表格.
【答案】（ 1 ）极小值为 ，极大值为 ．
（ 2 ）极小值为 ，极大值为 ．
【解析】（ 1 ）函数的定义域为 ，
，
令 ，解得 ， ，
当 变化时， ， 的变化情况如下表：
极小值 极大值
所以当 时， 取极小值，并且 极小值 ，
当 时， 取极大值，并且 极大值 ．
（ 2 ）函数的定义域为 ，
，
令 ，解得 或 ，
当 变化时， ， 的变化情况如下表：
极小值 极大值
由上表可以看出，当 时，
函数取得极小值，且 极小值 ，
当 时，函数取得极大值，且 极大值 ．
【标注】【知识点】求解函数极值
巩固练习
15
20. 求下列函数的极值．
（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
【答案】（ 1 ）极大值为 ；极小值为 ．
（ 2 ）极大值为 ；极小值为 ．
【解析】（ 1 ）∵ ，
令 ，即 ，解得 ， ．
当 变化时， ， 的变化情况如下表：
极大值 极小值
∴当 时，函数 有极大值，且 ；
当 时，函数 有极小值，且 ．
（ 2 ） ，
，
令 ，
即 ，解得 ， ， ．
当 变化时， 与 的变化情况如下表：
无极值 极大值 极小值
∴ 不是 的极值点；
是 的极大值点， 极大值 ；
是 的极小值点， 极小值 ．
【标注】【知识点】求解函数极值
21. 设函数 ，则函数 的极小值为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】 ，
16
∴当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
∴当 时， 极小值，且极小值为 ．
故选： ．
【标注】【知识点】直接求函数的极值（不含参）
经典例题
22. 判断下列函数是否有极值，如果有极值，请求出其极值；若无极值，请说明理由．
．
【备注】【教师指导】
本题考查求函数极值.
【答案】此函数无极值．证明见解析．
【解析】∵ ，令 ．
即 ，解得 ，
当 时， ，
当 时， ．
∴此函数无极值．
【标注】【知识点】求解函数极值
巩固练习
23. 判断下列函数是否有极值，如果有极值，请求出其极值；若无极值，请说明理由．
．
【答案】 ．
【解析】先求出导数为零的点，再判断函数在该点的左右邻域是单调的，并且单调性相反．
当 时，有 ，
当 时， 不存在，因此， 在 处不可导，
但在点 处的左右附近邻域 均存在，
当 时， ，
17
当 时， ，
故 在点 处取极大值，且极大值为 ．
【标注】【知识点】求解函数极值
经典例题
24. 设函数 在 和 处有极值，且 ，求 ， ， 的值及函数
的极值．
【备注】【教师指导】
本题考查的是已知函数极值点和极值，通过联立方程求解相关内容的考题.
【答案】 ， ， ，极大值 ，有极小值 ．
【解析】∵ ，且函数 在 和 处有极值，
∴ ， 为方程 的两个实数根，
∴ ①，
②
又 ，即 ③，
由①②③解得 ， ， ，
此时 ，
∴ ，
令 ，解得 或 ，
当 变化时， ， 的变化情况如下表：
极大值 极小值
由表可知， 有极大值 ，有极小值 ．
【标注】【知识点】求解函数极值；已知极值情况求函数解析式
25. 若 有极大值和极小值，则 的取值范围是 .
【备注】【教师指导】
本题考查的是已知函数极值，求参数范围问题.
【答案】
18
【解析】由函数 ，
则 ，
要使原函数有极大值和极小值，
则 有两根，
即 ，
解得 或 ，
∴ ．
【标注】【知识点】求解函数极值
巩固练习
26. 已知函数 在 处取得极值 ，求 的值．
【答案】
【解析】 ．
由题意，得 ，即 ，
解得 或 ，
当 ， 时， ，
令 ，得 ， ．
当 变化时， ， 的变化情况如下表：
极大值 极小值
显然函数 在 处取极小值，符合题意，此时 ．当 ， 时，
，∴ 没有极值，不符合题意．综上可知，
．
【标注】【知识点】已知极值情况求函数解析式
5. 求函数 在 上的最值的步骤
知识精讲
19
（1）函数的最大（小）值
一般地，如果在 上函数 的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值，且函
数的最值必在极值点或区间端点处取得.
（2）求函数 在 上的最值的步骤
①求函数 在区间 上的极值；
②将函数 的各极值点与端点处的函数值 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个
是最小值.
知识点睛
最值与极值的区别与联系
（1）函数的最值是一个整体性的概念，反映的是函数在整个定义域上的情况，是对整个区间上的函数
值的比较；函数的极值是在局部上对函数值的比较，具有相对性；
（2）函数在一个闭区间上若存在最大值或最小值，则最大值或最小值只能各有一个，具有唯一性；而
极大值和极小值可能多于一个，也可能没有；
（3）极值只能在区间内取得，最值则可以在区间端点处取得；函数有极值时不一定有最值，有最值时
也未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在区间端点处取得必定是极值.
经典例题
27. 已知函数 ，求函数 在 上的最大值和最小值．
【备注】【教师指导】
本题考查利用导数求解最值.
【答案】见解析．
【解析】 的定义域为 ，
令 ，在 上得极值点 ， ， 随 的变化情况如下表：
， ，
∴ ， ．
【标注】【知识点】直接求函数的最值（不含参）
【素养】数学运算
20
巩固练习
28. 函数 的最大值为 ．
【答案】
【解析】由题知 ，
解得： ，
，
，
令 ， ，
当 时， ，
当 时， ，
∴ 在 上单调递增，
在 上单调递减，
∴当 时， 取最大值，
，
故 的最大值为 ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】直接求函数的最值（不含参）
29. 函数 在区间 上的最大值，最小值分别为（ ）．
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】C
【解析】 ．令 得 ．
函数 在 上单调递减，在 上单调递增．
， ， ．故 ， ．
【标注】【知识点】直接求函数的最值（不含参）
21
30. 函数 ， 的最小值等于 ．
【答案】
【解析】
．
令 ，解得 ，故可作出下表：
极小值
由表可知：当 时，函数值最小，为 ．
【标注】【知识点】直接求函数的最值（不含参）
经典例题
31. 函数 在 上最大值为 ，最小值为 ，则实数 取值范围为（ ）．
A. B. C. D.
【备注】【教师指导】
本题考查已知函数最值求参数范围.
【答案】A
【解析】 ，
或 ．
故 在 上单调递增，在 上单调递减，
∴ ，
为最小值．
故令 ，
，
或 ，
故 ．
故选 ．
22
【标注】【知识点】已知最值情况求参数范围
巩固练习
32. 若函数 在 内有最小值，则 的取值范围是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】令 ，若 ，则 ，所以 ， ．
【标注】【知识点】已知最值情况求参数范围
经典例题
33. 已知函数 ．
（ 1 ）求曲线 在点 处的切线方程．
（ 2 ）求函数 在区间 上的最大值和最小值．
【备注】【教师指导】
本题考查导数综合.
【答案】（ 1 ）
（ 2 ）最大值为 ，最小值为
【解析】（ 1 ）∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴曲线 在点 的切线方程为 ．
（ 2 ）由（1）可知 ，
令 ，
则 ，
∵ ，∴ ， ，
∴ ，
∴ 在区间 单调递减，即 在区间 单调递减，
又∵ ，∴ ， ，
23
∴ 在区间 单调递减，
∴ ， ．
【标注】【知识点】直接求函数的最值（不含参）；二阶导问题
巩固练习
34. 已知函数 ，曲线 在 处的切线经过点 ．
（ 1 ）求实数 的值．
（ 2 ）设 ，求 在区间 上的最大值和最小值．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） ， ．
【解析】（ 1 ） 的导函数为 ，
所以 ．
依题意，有 ，
即 ，
解得 ．
（ 2 ）由（ ）得 ．
当 时， ， ，所以 ，故 单调递增．
当 时， ， ，所以 ，故 单调递减．
所以 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减．
因为 ， 所以 最大值为 ．
设 ，其中 ．
则 ，
故 在区间 上单调递增．
所以 ， 即 ，
故 最小值为 ．
【标注】【知识点】求函数最值（含参指对型导函数）
三、 思维导图
24
你学会了吗？画出思维导图总结本节课所学吧！
【备注】
四、 出门测
35. 已知函数 ．
（ 1 ）写出函数的单调递减区间．
（ 2 ）求函数的极值．
【答案】（ 1 ） 的单调递减区间为 ．
（ 2 ） 极大值 ， 极小值 ．
【解析】（ 1 ） ，
令 ，解得 或 ；
， 随着 的变化如下表所示：
极大值 极小值
所以 的单调递减区间为 ．
（ 2 ）由（I）可知， 极大值 ， 极小值 ．
【标注】【知识点】直接求函数的极值（不含参）
36. 已知函数 ．
（ 1 ）求曲线 在点 处的切线方程；
（ 2 ）求 在区间 上的最小值和最大值．
25
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） ， ．
【解析】（ 1 ）
．
（ 2 ）令 ，
极小
， ，
， ．
【标注】【知识点】直接求函数的最值（不含参）
26导数与函数的单调性、极值与最值
一、 课堂目标
1．掌握利用导数求解函数单调区间的方法步骤 ．
2．掌握极值与极值点的概念，能够结合函数与导数图象找出极值点与极值 ．
3．掌握利用导数求解函数极值的方法步骤．
4．掌握利用导数求解给定区间上可导函数最值的方法步骤．
二、 知识讲解
1. 导数与函数单调性
知识精讲
（1）导数与函数单调性
①如果在区间 ， 内， （ ） ，则曲线 （ ）在区间 ， 对应的那一段上每一点处切
线的斜率都大于 ，曲线呈上升状态，因此 （ ）在 ， 上是增函数，如下图所示；
②如果在区间 ， 内， （ ） ，则曲线 （ ）在区间 ， 对应的那一段上每一点处切
线的斜率都小于 ，曲线呈下降状态，因此 （ ）在 ， 上是减函数，如下图所示.
1
（2）导数绝对值的大小与函数图象的关系
一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时
函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图象就比较“平
缓.
知识点睛
函数 在区间 可导.
（1）若 ，则函数在此区间内单调递增；
（2）若 ，则函数在此区间内单调递减；
（3）若 ，则函数在此区间内为常数函数.
经典例题
1. 已知函数 的导函数 的图象如图所示，那么函数 的图象最有可能的是（ ）．
A. ① B. ② C. ③ D. ④
巩固练习
2. 是函数 的导函数， 的图像如图所示，则 的图像最有可能是下列选项中的
（ ）．
2
A. B.
C. D.
经典例题
3. 函数 的图象如图所示，则 的图像可能是（ ）．
A. B.
C. D.
4. 已知函数 的图像如图所示，则等式 的解集为（ ）．
A.
3
B.
C.
D.
巩固练习
5. 如果函数 的图像如右图，那么导函数 的图像可能是（ ）．
A. B.
C. D.
2. 利用导数求函数的单调区间的步骤
知识精讲
（1）确定 的定义域；
（2）求导数 ；
（3）由 （或 ）解出相应的 的取值范围.当 时， 在相应区间上是增函
数；当 时， 在相应区间上是减函数.
知识点睛
需要注意的是：
4
1.在利用导数求函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题是必须在定义域内进行；
2.在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于零的点（即导函数的零点）外，还要注意定义域
内的不连续点和不可导点.
经典例题
6. 函数 的单调递增区间是（ ）．
A. B.
C. D.
巩固练习
7. 函数 的单调递增区间为（ ）．
A. B.
C. D.
8. 函数 ， 的单调递减区间是（ ）．
A. 和
B. 和
C. 和
D. 和
经典例题
9. 函数 在 上是减函数，则 的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
巩固练习
10. 若 为函数 的递增区间，则 的取值范围为（ ）．
A. B.
C. D.
11. 若函数 为增函数，则实数 的取值范围为（ ）．
A. B. C. D.
经典例题
12. 已知 在区间 上不单调，实数 的取值范围是（ ）．
5
A. B.
C. D.
巩固练习
13. 已知函数 在 上不单调，则 的取值范围是（ ）．
A. B.
C. D.
经典例题
14. 函数 在 上存在单调增区间，则实数 的范围是 ．
巩固练习
15. 若函数 存在单调递增区间，则 的取值范围是（ ）．
A. B.
C. D.
3. 导数与函数的极值
知识精讲
函数极值与极值点的定义
一般地，设函数 （ ）的定义域为 ，设 ，如果对于 附近的任意不同于 的 ,都有：
① （ ） （ ），则称 为函数 （ ）的一个极大值点，且 （ ）在 处取极大值;
② （ ） （ ），则称 为函数 （ ）的一个极小值点，且 （ ）在 处取极小值.
极大值点与极小值点都称为极值点，极大值与极小值都称为极值.显然，极大值点在其附近函数值最大，
极小值点在其附近函数值最小.
知识点睛
极值点的判断
一般地，设函数 （ ）在 处可导，且 （ ） .
①如果对于 左侧附近的任意 ，都有 （ ） ，对于 右侧附近的任意 ，都有 （ ） ，那
么此时 是 （ ）的极大值点；
②如果对于 左侧附近的任意 ，都有 （ ） ，对于 右侧附近的任意 ，都有 （ ） ，那
么此时 是 （ ）的极小值点；
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③如果 （ ）在 的左侧附近与右侧附近均为正号（或均为负号），则 一定不是 （ ）的极
值点.
经典例题
16. 函数 在 上的极小值点为（ ）．
A. B.
C. D.
17. 已知 ，在 处有极值 ，则 ， 的值为（ ）．
A. ， 或 ，
B. ， 或 ，
C. ，
D. 以上都不正确
巩固练习
18. 函数 的极大值为 ，那么 等于（ ）．
A. B. C. D.
4. 求函数 的极值的方法
知识精讲
求极值的步骤：
（1）求导数 ；
（2）求方程 的所有实数根；
（3）检验 在方程 的根的左右两侧的值的符号：
①如果是左正右负，则 在这个根处去的极大值；
②如果是左负右正，则 在这个根处去的极小值；
③如果是左右同号，则 在这个根处无极值.
知识点睛
导数与极值的关系：
7
如果函数 在区间 上是单调递增的，在区间 上是单调递减的，则 是极大值点，
是极大值.
如果函数 在区间 上是单调递减的，在区间 上是单调递增的，则 是极小值点，
是极小值.
经典例题
19. 求下列函数的极值．
（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
巩固练习
20. 求下列函数的极值．
（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
21. 设函数 ，则函数 的极小值为（ ）．
A. B. C. D.
经典例题
22. 判断下列函数是否有极值，如果有极值，请求出其极值；若无极值，请说明理由．
．
巩固练习
23. 判断下列函数是否有极值，如果有极值，请求出其极值；若无极值，请说明理由．
．
8
经典例题
24. 设函数 在 和 处有极值，且 ，求 ， ， 的值及函数
的极值．
25. 若 有极大值和极小值，则 的取值范围是 .
巩固练习
26. 已知函数 在 处取得极值 ，求 的值．
5. 求函数 在 上的最值的步骤
知识精讲
（1）函数的最大（小）值
一般地，如果在 上函数 的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值，且函
数的最值必在极值点或区间端点处取得.
（2）求函数 在 上的最值的步骤
①求函数 在区间 上的极值；
②将函数 的各极值点与端点处的函数值 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个
是最小值.
知识点睛
最值与极值的区别与联系
（1）函数的最值是一个整体性的概念，反映的是函数在整个定义域上的情况，是对整个区间上的函数
值的比较；函数的极值是在局部上对函数值的比较，具有相对性；
（2）函数在一个闭区间上若存在最大值或最小值，则最大值或最小值只能各有一个，具有唯一性；而
极大值和极小值可能多于一个，也可能没有；
（3）极值只能在区间内取得，最值则可以在区间端点处取得；函数有极值时不一定有最值，有最值时
也未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在区间端点处取得必定是极值.
经典例题
27. 已知函数 ，求函数 在 上的最大值和最小值．
巩固练习
28. 函数 的最大值为 ．
9
29. 函数 在区间 上的最大值，最小值分别为（ ）．
A. ， B. ，
C. ， D. ，
30. 函数 ， 的最小值等于 ．
经典例题
31. 函数 在 上最大值为 ，最小值为 ，则实数 取值范围为（ ）．
A. B. C. D.
巩固练习
32. 若函数 在 内有最小值，则 的取值范围是（ ）．
A. B.
C. D.
经典例题
33. 已知函数 ．
（ 1 ）求曲线 在点 处的切线方程．
（ 2 ）求函数 在区间 上的最大值和最小值．
巩固练习
34. 已知函数 ，曲线 在 处的切线经过点 ．
（ 1 ）求实数 的值．
（ 2 ）设 ，求 在区间 上的最大值和最小值．
三、 思维导图
你学会了吗？画出思维导图总结本节课所学吧！
四、 出门测
35. 已知函数 ．
（ 1 ）写出函数的单调递减区间．
（ 2 ）求函数的极值．
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36. 已知函数 ．
（ 1 ）求曲线 在点 处的切线方程；
（ 2 ）求 在区间 上的最小值和最大值．
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