资源简介

恒成立与存在性问题
一、 课堂目标
1．熟练运用导数中恒成立问题和存在性问题的解法来解决原函数的最值问题．
2．理解含参导数中的分类讨论与数形结合思想．
二、 知识讲解
1. 单变量型
知识精讲
（1）恒成立问题
① ， 恒成立
② ， 恒成立
③ ， 恒成立
④ ， 恒成立
（2）存在性问题
① ， 成立
② ， 成立
③ ， 成立
④ ， 成立
知识点睛
常用解题方法
（1）构造法：转化为求含参函数的最值问题求解.
构造法属于常用及通用方法，解题思路：将所给不等式构造成左边为含参函数，右侧是常数，通常
是零，将左侧设计成函数，根据题意求解最值，恒 常数．
例 如 ， 证 明 不 等 式 的 问 题 转 化 为 ， 进 而 构 造 辅 助 函 数
，然后利用导数研究函数 的单调性，接着证明函数的最小值大于 ．
（2）参变分离法：通过分离参数，转化为不含参数函数的最值问题求解．
1
①解题思路：将所给不等式变形，将参数分离出来，使参数在不等式左侧，其他项移到右侧，右侧
形成新的函数，根据题意求解新函数的最值，判断参数的范围.
②参变分离只对部分函数适用，首先这个函数能将参数分离出来，其次分离出的函数是好求导，如
果变形后发现新的函数特别繁琐，建议还是应用构造法．
经典例题
1. 函数 的定义域为 ， ，对任意 ， ，则 的解集为（ ）．
A. B.
C. D.
2. 已知函数 ．
（ 1 ）求证： ；
（ 2 ）若 在区间 上恒成立，求 的最小值．
巩固练习
3. 已知函数 ．
若关于 的不等式 恒成立，求整数 的最小值．
经典例题
4. 已知函数 ， ．
若函数 在 处取得极值，对 ， 恒成立，求实数 的取值范
围．
巩固练习
5. 已知函数 ， ．
若 对 恒成立，求实数 的取值范围．
经典例题
6. 已知函数 ．
若对 ，使 成立，求实数 的取值范围（其中 是自然对数的底数）．
巩固练习
7. 已知 ， ，其中 是自然常数， ．
（ 1 ）当 时，求 的极值．
2
（ 2 ）若 有解，求 的取值范围．
2. 双变量型
知识精讲
（1）恒成立问题
① ， 恒成立
② ， 恒成立
（2）存在性问题
① ， 成立
② ， 成立
③ ， ， 成立
④ ， ， 成立
⑤ ， ， 成立
知识点睛
常用解题方法
（1）构造法
根据结构特点，把一个变量看成主元，另一个变量看成副元去构造关于主元的函数.
（2）参变分离法
根据式子结构特点，先进行参变分离，构造辅助函数，通过对辅助函数性质的研究，来求解参变量取值
范围.
经典例题
8. 已知函数 ， ．
（ 1 ）当 时，求函数 的极值．
（ 2 ）当 时，讨论函数 单调性．
（ 3 ）是否存在实数 ，对任意的 ， ，且 ，有 恒成立？若
存在，求出 的取值范围；若不存在，说明理由．
巩固练习
9. 设 ， ．
3
（ 1 ）令 ，求 的单调区间．
（ 2 ）若任意 ， 且 ，都有 恒成立，求
实数 的取值范围．
经典例题
10. 已知函数 ， ，若 ， ，使得 成立，
求 的取值范围．
巩固练习
11. 已知函数 ， ，若任意 ，存在 ，使
，则实数 的取值范围是 ．
12. 已知函数 ．
（ 1 ）若函数 在 上为减函数，求实数 的最小值．
（ 2 ）若 ， ，使 成立，求实数 的取值范围．
三、 思维导图
你学会了吗？画出思维导图总结本节课所学吧！
四、 出门测
13. 已知函数 ， ， ．
（ 1 ）讨论 的单调区间．
（ 2 ）若 恒成立，求 的取值范围．
4恒成立与存在性问题
一、 课堂目标
1．熟练运用导数中恒成立问题和存在性问题的解法来解决原函数的最值问题．
2．理解含参导数中的分类讨论与数形结合思想．
【备注】【教师指导】
1.本讲是导数部分的重难点内容，重点是让学生掌握单变量型函数的恒成立与存在性问
题；难点是双变量型函数的恒成立与存在性问题；重点数学思想是让学生掌握构造法和参
变分离法.
2.本讲关联知识包括导数的概念及运算、导数与函数的单调性、极值与最值问题.
二、 知识讲解
1. 单变量型
【备注】【教师指导】
什么是单变量型？
比如：只含有一个变量的不等式叫做单变量不等式.
知识精讲
（1）恒成立问题
① ， 恒成立
② ， 恒成立
③ ， 恒成立
④ ， 恒成立
（2）存在性问题
① ， 成立
② ， 成立
③ ， 成立
④ ， 成立
1
知识点睛
常用解题方法
（1）构造法：转化为求含参函数的最值问题求解.
构造法属于常用及通用方法，解题思路：将所给不等式构造成左边为含参函数，右侧是常数，通常
是零，将左侧设计成函数，根据题意求解最值，恒 常数．
例 如 ， 证 明 不 等 式 的 问 题 转 化 为 ， 进 而 构 造 辅 助 函 数
，然后利用导数研究函数 的单调性，接着证明函数的最小值大于 ．
（2）参变分离法：通过分离参数，转化为不含参数函数的最值问题求解．
①解题思路：将所给不等式变形，将参数分离出来，使参数在不等式左侧，其他项移到右侧，右侧
形成新的函数，根据题意求解新函数的最值，判断参数的范围.
②参变分离只对部分函数适用，首先这个函数能将参数分离出来，其次分离出的函数是好求导，如
果变形后发现新的函数特别繁琐，建议还是应用构造法．
经典例题
1. 函数 的定义域为 ， ，对任意 ， ，则 的解集为（ ）．
A. B.
C. D.
【备注】【教师指导】
本题考查简单的构造法证明不等式恒成立问题，
第一步：可构造函数 ，
第二步：再进一步求导，判断单调性，
第三步：已知 （ ） ，将 带入到 ， ，因此解集为
（ ， ）
【答案】B
【解析】方法一：因为函数 的定义域为 ，
，
对任意 ， ，
则 的导函数
，
所以 在定义域内递增，
那么 ，
故函数值小于零的解集为 ．
方法二：
2
令 ，则 ，
因为 ，所以 ，即 ，
所以 在 上单调递增．
又因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 的解集是 ．
故选 ．
【标注】【知识点】导数与单调性
2. 已知函数 ．
（ 1 ）求证： ；
（ 2 ）若 在区间 上恒成立，求 的最小值．
【备注】【教师指导】
第一问利用构造法求解恒成立问题，让学生更加深刻的理解构造法，要注意定义域.
第二问同样是利用构造法，但是会涉及到前面所学的分类讨论问题，因此教师在讲解时要
注意对于分类讨论的部分每一条都要写清楚，让学生掌握这类题目的解法.
【答案】（ 1 ）证明见解析；
（ 2 ） 的最小值为 .
【解析】（ 1 ）要证： 只需证明： 在 恒成立，
当 时 ， 在 上单调递减；
当 时 ， 在 上单调递增；
当 时
在 恒成立
所以 ．-
（ 2 ）要使： 在区间在 恒成立，
等价于： 在 恒成立，
等价于： 在 恒成立
因为 = =
①当 时， ， 不满足题意
②当 时，令 ，则 或 （舍）．
3
所以 时 ， 在 上单调递减；
时 ， 在 上单调递增；
当 时
当 时，满足题意
所以 ，得到 的最小值为 .
【标注】【知识点】利用导数解决不等式恒成立问题；利用导数求单调性证不等式
巩固练习
3. 已知函数 ．
若关于 的不等式 恒成立，求整数 的最小值．
【答案】（ 1 ） ．
【解析】（ 1 ）令 ．
所以 ．
（ ）当 时，因为 ，所以 ．
∴此时 在 上是递增函数．
又 ．
∴ 不能恒成立，即关于 的不等式 不能恒成
立．
∴这种情况不存在．
（ ）当 时， ．
∴当 时， ．当 时， ．
∴函数 的最大值为
．
令 ．
∵ ， ，又 在 上是减函数．
∴当 时， ．
所以整数 的最小值为 ．
【标注】【知识点】通过构造函数证明不等式；双变量问题；利用导数解决不等式恒成立问题
4
经典例题
4. 已知函数 ， ．
若函数 在 处取得极值，对 ， 恒成立，求实数 的取值范
围．
【备注】【教师指导】
本题考查利用参变分离法证明不等式恒成立问题，先将 代入，可将参数 进行分离，不
等式右边可看做一个新的函数，研究其单调性、最值.需要给学生明确遇到恒成立与存在性
问题，实际则是对函数最值的求解，遇到含参函数需要对其单调性讨论，再求解最值.
【答案】（ 1 ） ．
【解析】（ 1 ）因为函数 在 处取得极值，所以
解得 ,经检验满足题意．
由已知 ,则
令 ,则
易得 在 上递减，在 上递增,
所以 ,即 ．
【标注】【知识点】利用导数解决不等式恒成立问题；求函数单调区间（含参一次型导函数）
【思想】分类讨论思想
巩固练习
5. 已知函数 ， ．
若 对 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】（ 1 ） ．
【解析】（ 1 ）∵ 在 上恒成立，
∴ ，
即 ，在 上恒成立，
令 ， ，
∴ ，
令 ， ，
∴ 在 上递增，在 递减，
∴ ，
5
∴ ．
【标注】【知识点】求函数单调区间（含参一次型导函数）；利用导数解决不等式恒成立问题
经典例题
6. 已知函数 ．
若对 ，使 成立，求实数 的取值范围（其中 是自然对数的底数）．
【备注】【教师指导】
1.本题考查利用参变分离法证明单变量不等式是能成立问题，也就是存在性问题，
2.这道题用参变分离法会更简单，参变分离后，右侧形成的导数更容易求导，令其为一个
新的函数，
3.对新的函数求导，求单调性，再求最值.
4.让学生明白 能成立， 即可.
【答案】（ 1 ） 的取值范围为 ．
【解析】（ 1 ） ， ，
令 ， ，
，
由 ，
当 时， ， 在 单减，
当 时， ， 在 单增，
， ； ，
∴ 在 的最大值为 ，
所以， ，所以实数 的范围为 ．
【标注】【知识点】利用导数求函数的单调性、单调区间；利用导数解决不等式能成立问题
巩固练习
7. 已知 ， ，其中 是自然常数， ．
（ 1 ）当 时，求 的极值．
（ 2 ）若 有解，求 的取值范围．
6
【答案】（ 1 ）极小值为 ， 无极大值．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）由题意，函数 ，则 ，
∴当 时， ，此时 为单调递减，
当 时， ，此时 为单调递增，
∴当 的极小值为 ， 无极大值．
（ 2 ）∵ ， ，
所以 在 上有解，
即 在 上有解，
令 ， ，
∴ ，
令 ，则 ，
当 时， ，此时 为单调递增，
当 时， ，此时 为单调递减，
∴ ，
∴实数 的取值范围是 ．
【标注】【知识点】求解函数极值；利用导数求函数的最值；利用导数证明不等式能成立问题
2. 双变量型
知识精讲
（1）恒成立问题
① ， 恒成立
② ， 恒成立
（2）存在性问题
① ， 成立
② ， 成立
③ ， ， 成立
④ ， ， 成立
⑤ ， ， 成立
7
知识点睛
常用解题方法
（1）构造法
根据结构特点，把一个变量看成主元，另一个变量看成副元去构造关于主元的函数.
（2）参变分离法
根据式子结构特点，先进行参变分离，构造辅助函数，通过对辅助函数性质的研究，来求解参变量取值
范围.
经典例题
8. 已知函数 ， ．
（ 1 ）当 时，求函数 的极值．
（ 2 ）当 时，讨论函数 单调性．
（ 3 ）是否存在实数 ，对任意的 ， ，且 ，有 恒成立？若
存在，求出 的取值范围；若不存在，说明理由．
【备注】【教师指导】
本题第一问，带入 知求解即可
第二问，导函数属于能分解的二次函数型，讨论两根大小
第三问考查双变量的恒成立问题.可先构造函数 ，再进行参变分离，再
进行单调性的分析，从而求得最值，得到参数的范围.
【答案】（ 1 ） 时， 极大值 ；
时， 极小值 ．
（ 2 ）当 时， 增区间为 ， ，减区间为 ；
当 时， 增区间为 ，无减区间；
当 时， 增区间为 ， ，减区间为 ．
（ 3 ）存在， ．
【解析】（ 1 ）当 时， ，
．
当 或 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，
所以 时， 极大值 ；
时， 极小值 ．
（ 2 ）当 时，
8
，
①当 ，即 时，由 可得 或 ，此时
单调递增；
由 可得 ，此时 单调递减；
②当 ，即 时， 在 上恒成立，此时 单调递
增；
③当 ，即 时，由 可得 或 ，此时
单调递增；
由 可得 ，此时 单调递减．
综上：当 时， 增区间为 ， ，减区间为 ；
当 时， 增区间为 ，无减区间；
当 时， 增区间为 ， ，减区间为 ．
（ 3 ）假设存在实数 ，对任意的 ， ，且 ，有
恒成立，
不妨设 ，则由 恒成立可得：
恒成立，
令 ，则 在 上单调递增，所以 恒成立，
即 恒成立，
∴ ，即 恒成立，
又 ，
∴ 在 时恒成立，
∴ ，
∴当 时，对任意的 ， ，且 ，有 恒
成立．
【标注】【知识点】直接求函数的极值（不含参）；求函数单调区间（含参二次型导函数）；利用
导数解决不等式恒成立问题
巩固练习
9. 设 ， ．
（ 1 ）令 ，求 的单调区间．
（ 2 ）
9
若任意 ， 且 ，都有 恒成立，求
实数 的取值范围．
【答案】（ 1 ）单调递减区间为 ，无单调递增区间．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）由题意知 ，
，令 ，
则 ，令 ，解得 ，
令 ，解得 ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，
， 取得极大值，也是最大值为 ，
故 ， 在 上递减，
所以 的单调递减区间为 ，无单调递增区间．
（ 2 ）已知可转化为 时，
恒成立，
令 ，
则 在 上为单调递增的函数，
故 恒成立，即 恒成立，
令 ，则 ，
∴当 时， ， 在 上单调递减，
，即 ，故实数 的取值范围是 ．
【标注】【知识点】利用导数求函数的最值；二阶导问题；通过构造函数证明不等式；利用导数证
明不等式恒成立问题；双变量问题；利用导数求函数的单调性、单调区间
经典例题
10. 已知函数 ， ，若 ， ，使得 成立，
求 的取值范围．
【备注】【教师指导】
本题考查双变量存在性证明不等式问题，本题建议教师用两种方法为学生讲解，一种是整
体构造法，一种是参变分离法.让学感受各类题目的不同解法.更难一些的题目在【题集】中
可选择.
10
【答案】 ．
【解析】由分析可知， 只需取到 的最小值即可．
而 ．
接下来有两个解法：
解法一：整体法．
易知只需取到 的最大值，
而 ， ，考虑到此时 ，进行如下分类：
①若 ，则 ， 单调递增，在 处取到最大值；
②若 ，则 ， 单调递减，在 处取到最大值；
③若 ，则 在 上单调递减， 上单调递增，
此时 在 或 处取到最大值．
综上所述， 的最大值为 或 ．
∴只需 且 ，解得 ．
解法二：参变分离．
此时是存在 ，使得 ，考虑到 是正数，故：
，
而 在 上是单调增函数，故其最大值为 ，
∴ ．
【标注】【知识点】导数与最值
巩固练习
11. 已知函数 ， ，若任意 ，存在 ，使
，则实数 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】 ， 在 上单增，
若 ，
则 ，
问题转化为 ，
使 ，
即 在 上能成立，
11
即 在 上至少有一个实数解，
而 ，
∴ 得 ，
故 ．
【标注】【知识点】利用导数证明不等式能成立问题
12. 已知函数 ．
（ 1 ）若函数 在 上为减函数，求实数 的最小值．
（ 2 ）若 ， ，使 成立，求实数 的取值范围．
【答案】（ 1 ）实数 的最小值为 ．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）∵ 在 上为减函数，
∴ 在 上恒成立，
∴ 恒成立，
∴ ，即实数 的最小值为 ．
（ 2 ）方法一：∵ ， ，使 ，
∴ ， ，
∵ ，
，
∴当 时， 取得最大值 ，
∴ ，
∴ ， ，亦即 ，
设 ，要 使得 ，
只需满足 ，
∵ ，且当 时， ，
，
∴ ， 在 上单调递减，
∴ ，则 ，
12
∴实数 的取值范围是 ．
方法二：命题“若 ， ，使 成立”，
即 ，
由（ ）得 ， 时， ，
问题等价于当 ， 时，有 ．
当 时，由（ ）得， 在 上为减函数，
∴ ，
∴ ．
当 时，由于 在 上为增函数，
所以 ．
（i）若 ，即 ， 在 上恒成立，故 在 上为增函
数，
所以， ，不合，舍．
（ii）若 ，即 ，由 的单调性和值域知，存在唯一的
，
使得 ， ， ，
为减函数， ， ， 为增函数，
所以， ， ．
，不合题意．
综上， ．
【标注】【知识点】双变量问题；利用导数解决不等式能成立问题；隐零点问题
三、 思维导图
你学会了吗？画出思维导图总结本节课所学吧！
【备注】
13
四、 出门测
13. 已知函数 ， ， ．
（ 1 ）讨论 的单调区间．
（ 2 ）若 恒成立，求 的取值范围．
【答案】（ 1 ）当 时， 的单调减区间是 ，无单调增区间；
当 时， 的单调减区间是 ，
单调增区间是 ．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ） ， ，
当 时，即 时， 在 上恒成立，
所以 的单调减区间是 ，无单调增区间，
当 时，即 时，由 得 ，
由 ，得 ，
所以 的单调减区间是 ，单调增区间是 ．
（ 2 ）由题意， ， 恒成立， ， ，
， ， ．
① 时， ， 在 递增，
14
∴ ， ，舍去；
② 时， ， 在 递减，
∴ ， ，成立；
③ 时， ， ，
∴ ， ． 递增， 舍去．
综上， ．
【标注】【知识点】利用导数解决不等式恒成立问题
15

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